一次函数的图象和性质 —— 初中数学第三册教案

一次函数的图象和性质 —— 初中数学第三册教案

 

 

一次函数的图象和性质

 一、目的要求

    1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

    2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

    3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

    二、内容分析

    1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

    2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13．3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

    三、教学过程

    复习提问：

    1．什么是一次函数?什么是正比例函数?

    2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

    新课讲解：

    1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

    再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

    一般地，一次函数的图象是一条直线。

    前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法．现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

    先看两个正比例项数，

   y=0.5x

 与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

    y=0

即函数图象经过原点．(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

    实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

    (1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

    (2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k)；

    (3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线．

    这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象．

    观察正比例函数  y=0.5x 的图象．

  这里，k＝0．5＞0．

  从图象上看， y随x的增大而增大．

  再观察正比例函数 y＝-0．5x  的图象。

    这里，k＝一0．5＜0

    从图象上看， y随x的增大而减小

    实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

    先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x₁,y₁)与(x₂,y₂)，

如果x₁＞x₂，由k＝0.5＞0，得
    0.5x₁＞0.5x₂

即   y_l＞y₂

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0．5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

    （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

    （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

    2、讲解教科书13．5节例1．与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

 通常选取

(O，b)与(- ，0)

两点，

    对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

 (O，1)与(一0．5，2)，

还有

(0，1)—与(0．5．0)．

    在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象,习惯上也称为直线) y＝kx+b

    结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

    对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

    课堂练习：

    教科书13．5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

    课堂小结：

    1．正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象．

    2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点( ，0)，过这两点的直线即所求图象.

    3．正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳)．

    四、课外作业

    1．教科书习题13．5A组第l一3题．

    2．选作教科书习题13．5B组第1题．

 

 

一次函数的图象和性质

 一、目的要求

    1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

    2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

    3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

    二、内容分析

    1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

    2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13．3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

    三、教学过程

    复习提问：

    1．什么是一次函数?什么是正比例函数?

    2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

    新课讲解：

    1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

    再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

    一般地，一次函数的图象是一条直线。

    前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法．现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

    先看两个正比例项数，

   y=0.5x

 与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

    y=0

即函数图象经过原点．(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

    实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

    (1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

    (2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k)；

    (3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线．

    这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象．

    观察正比例函数  y=0.5x 的图象．

  这里，k＝0．5＞0．

  从图象上看， y随x的增大而增大．

  再观察正比例函数 y＝-0．5x  的图象。

    这里，k＝一0．5＜0

    从图象上看， y随x的增大而减小

    实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

    先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x₁,y₁)与(x₂,y₂)，

如果x₁＞x₂，由k＝0.5＞0，得
    0.5x₁＞0.5x₂

即   y_l＞y₂

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0．5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

    （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

    （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

    2、讲解教科书13．5节例1．与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

 通常选取

(O，b)与(- ，0)

两点，

    对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

 (O，1)与(一0．5，2)，

还有

(0，1)—与(0．5．0)．

    在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象,习惯上也称为直线) y＝kx+b

    结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

    对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

    课堂练习：

    教科书13．5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

    课堂小结：

    1．正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象．

    2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点( ，0)，过这两点的直线即所求图象.

    3．正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳)．

    四、课外作业

    1．教科书习题13．5A组第l一3题．

    2．选作教科书习题13．5B组第1题．

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