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三角形的中位线 —— 初中数学第三册教案
教学目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质及初步应用．
2．通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
教学重点与难点
重点是三角形中位线的性质定理．
难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
教学过程设计
一、联想，提出问题．
１．（投影）复习平行线等分线段定理及两个推论（图４－８９）．
(1)请同学叙述定理及推论的内容．
(2)用数学表态式叙述图４－８９（c）中的结论．
已知在ΔＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ中点，ＤＥ∥ＢＣ，则ＡＥ＝ＥＣ．
２．逆向思维，探索新结论．
引导学生思考：在图４－９０中，反过来，若Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ中点，ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ（逆向联想），ＤＥ＝
由此引出课题．
二、证明猜想，形成定理
1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．
2．证明上述猜想成立，教师重点分析辅助线的作法的思考过程．
教师提示学生：所证结论即有平行又有数量关系，联想已有知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用对平行且相等证明结论成立，或者用书上的同一法．教师引导学生发散思维后，还要注意比较，选择最简捷的证明方法．
3．板书一种证明过程．
4．将“猜想改成定理，引导学生用文字叙述出三角形中位线定理的具体内容．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
5．分析定理成立的条件、结论及作用．
条件：连结两边中点得到中位线．
结论有两个，即位置关系和数量关系，根据题目需要选用．
作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．
三、应用举例、变式练习
（投影）例1（直线给出图4-90的问题）根据图4-91中的条件，回答问题．
（1） 已知：如图4-91（a），D，E分别为AB和AC的中点DE=5．BC；
（2） 如图4-91（b），D，E，F分别为AB，AC，BC中点，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如图4-91（c），①它包含几个图4-90这样的基本图形？②哪些三角形全等？③有几个平行四边形？④若ΔDEF周长为10 cm，求ΔABC的周长．⑤若ΔABC的面积等于20cm2，求ΔDEF的面积．⑥AF与DE有何关系？怎样用语言叙述这结论？
分析：
（1） 可利用复合投影片实现三个图的叠加过程，以提高课堂效益并帮助学生建立分解基本图形的思想．
（2） 通过此题总结：三角形三和中位线围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的14．这个过程可以无限进行下去，如图4-92．
（3） 从解题过程可以得到：三角形的一条中位线（DE）与第三边上的中线（AF）互相平分．
（板书）例2 （包含图4-90的问题）如图4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分别为AB，AC，BC的中点．求证：（1）四边形MNDE为等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN．
分析：
（1） 由条件分析，图中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位线是MN，ME，NE”，“直角三角形斜边上中线MD，ND” ．想一想，这些基本图形都有什么性质？
（2） 从结论出发，要证四边形MEDN是等腰梯形，只需证MN∥DE，且MN≠DE及以下三种情况之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM．从而证得结论成立．
让学生口述，教师板书证明过程．
例3 构造图4-90问题．
（1） 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形；
（2）若已知四边形为特殊四边形呢？
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：
(1)已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
（2）让学生画图观察并思考此题的特殊情况，如图4－95，顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形？
投影显示：
1．教师提问引起学生思考：
（1）这节课学习了哪些具体内容：
（2）用什么思维方法提出猜想的？
（3）应注意哪些概念之间的区别？
2．在学生回答的基础上，教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基
本图形（如图4－96）．
（2）三角线的中位线的判定方法有两种：定义及判定定理，图4－96（b），（。）．
（3）证明线段倍分关系的方法常有三种，图4－96（b），（d），（）．
3．先猜想后证明的研究问题方法；逆向思维，探究逆命题是否成立，由此经常得到一些好
的结论；添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法．
4．三角形的中位线有这样的性质，那么梯形有中位线吗？它有类似的性质吗？（为下节
课作思维上的准备）
五、作业
课本第180页第4题，第184页第5，7，8题，第185页B组第1题．
补充题：（构造三角形的中位线）
1．如图4－97，AD是上ABC的外角平分线，CD上AD于D．E是BC的中点．求证：（1）DE ∥／ AB：（2）DE ＝
（提示：延长CD交BA延长线于F．）
2．如图 4－98，正方形 ABCD对角线交于点O，E是BO中点，连结”并延长交BC于F．求证：BF=
3．如图4－99，在四边形 ABCD中，AB＝CD， E，F分别是AD，BC的中点，延长 BA和CD分别交FE的延长线于 G，H点．求证：∠BGF＝∠CHF．（提示：连结 AC，取 AC中声、 M，连结EM，FM．）
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
1．本节课的设计，力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证
明”的过程．变被动接受知识为主动应用已有知识，探索新知识，获得成功的喜悦．
2．在应用性质定理时，通过一组层次递进的变式题的训练，由直接给出定理的基本图形
到包含基本图形，学生分解图形后使用性质，再到通过添加辅助线构造基本图形来使用性质，
学生逐步学会运用性质来解决问题，他们的解题能力、思考问题的方法得到逐步提高．
教学目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质及初步应用．
2．通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
教学重点与难点
重点是三角形中位线的性质定理．
难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
教学过程设计
一、联想，提出问题．
１．（投影）复习平行线等分线段定理及两个推论（图４－８９）．
(1)请同学叙述定理及推论的内容．
(2)用数学表态式叙述图４－８９（c）中的结论．
已知在ΔＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ中点，ＤＥ∥ＢＣ，则ＡＥ＝ＥＣ．
２．逆向思维，探索新结论．
引导学生思考：在图４－９０中，反过来，若Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ中点，ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ（逆向联想），ＤＥ＝
由此引出课题．
二、证明猜想，形成定理
1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．
2．证明上述猜想成立，教师重点分析辅助线的作法的思考过程．
教师提示学生：所证结论即有平行又有数量关系，联想已有知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用对平行且相等证明结论成立，或者用书上的同一法．教师引导学生发散思维后，还要注意比较，选择最简捷的证明方法．
3．板书一种证明过程．
4．将“猜想改成定理，引导学生用文字叙述出三角形中位线定理的具体内容．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
5．分析定理成立的条件、结论及作用．
条件：连结两边中点得到中位线．
结论有两个，即位置关系和数量关系，根据题目需要选用．
作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．
三、应用举例、变式练习
（投影）例1（直线给出图4-90的问题）根据图4-91中的条件，回答问题．
（1） 已知：如图4-91（a），D，E分别为AB和AC的中点DE=5．BC；
（2） 如图4-91（b），D，E，F分别为AB，AC，BC中点，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如图4-91（c），①它包含几个图4-90这样的基本图形？②哪些三角形全等？③有几个平行四边形？④若ΔDEF周长为10 cm，求ΔABC的周长．⑤若ΔABC的面积等于20cm2，求ΔDEF的面积．⑥AF与DE有何关系？怎样用语言叙述这结论？
分析：
（1） 可利用复合投影片实现三个图的叠加过程，以提高课堂效益并帮助学生建立分解基本图形的思想．
（2） 通过此题总结：三角形三和中位线围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的14．这个过程可以无限进行下去，如图4-92．
（3） 从解题过程可以得到：三角形的一条中位线（DE）与第三边上的中线（AF）互相平分．
（板书）例2 （包含图4-90的问题）如图4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分别为AB，AC，BC的中点．求证：（1）四边形MNDE为等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN．
分析：
（1） 由条件分析，图中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位线是MN，ME，NE”，“直角三角形斜边上中线MD，ND” ．想一想，这些基本图形都有什么性质？
（2） 从结论出发，要证四边形MEDN是等腰梯形，只需证MN∥DE，且MN≠DE及以下三种情况之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM．从而证得结论成立．
让学生口述，教师板书证明过程．
例3 构造图4-90问题．
（1） 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形；
（2）若已知四边形为特殊四边形呢？
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：
(1)已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
（2）让学生画图观察并思考此题的特殊情况，如图4－95，顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形？
投影显示：
1．教师提问引起学生思考：
（1）这节课学习了哪些具体内容：
（2）用什么思维方法提出猜想的？
（3）应注意哪些概念之间的区别？
2．在学生回答的基础上，教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基
本图形（如图4－96）．
（2）三角线的中位线的判定方法有两种：定义及判定定理，图4－96（b），（。）．
（3）证明线段倍分关系的方法常有三种，图4－96（b），（d），（）．
3．先猜想后证明的研究问题方法；逆向思维，探究逆命题是否成立，由此经常得到一些好
的结论；添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法．
4．三角形的中位线有这样的性质，那么梯形有中位线吗？它有类似的性质吗？（为下节
课作思维上的准备）
五、作业
课本第180页第4题，第184页第5，7，8题，第185页B组第1题．
补充题：（构造三角形的中位线）
1．如图4－97，AD是上ABC的外角平分线，CD上AD于D．E是BC的中点．求证：（1）DE ∥／ AB：（2）DE ＝
（提示：延长CD交BA延长线于F．）
2．如图 4－98，正方形 ABCD对角线交于点O，E是BO中点，连结”并延长交BC于F．求证：BF=
3．如图4－99，在四边形 ABCD中，AB＝CD， E，F分别是AD，BC的中点，延长 BA和CD分别交FE的延长线于 G，H点．求证：∠BGF＝∠CHF．（提示：连结 AC，取 AC中声、 M，连结EM，FM．）
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
1．本节课的设计，力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证
明”的过程．变被动接受知识为主动应用已有知识，探索新知识，获得成功的喜悦．
2．在应用性质定理时，通过一组层次递进的变式题的训练，由直接给出定理的基本图形
到包含基本图形，学生分解图形后使用性质，再到通过添加辅助线构造基本图形来使用性质，
学生逐步学会运用性质来解决问题，他们的解题能力、思考问题的方法得到逐步提高．
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