基本作图

基本作图

　　教学目标

　　1．熟练运用尺规完成四种基本作图，并会写出已知、求作和作法．

　　2．培养学生准确的数学语言表达能力．

　　教学重点和难点

　　重点是掌握四种基本作图；难点是用准确精练的几何语言叙述作图过程．

　　教学过程设计

　　一、作图的预备知识

　　1．明确尺规作图和基本作图的含义．

　　教师应着重强调尺规作图与以前画图的区别，如解释以前角平分线，垂线、平行线的画法为什么不符合尺规作图的要求．

　　2．常用的作图语句的练习．

　　(1)如图1(a)，平面上有三点A，B，C，按下列要求完成作图：

　　①过点A，点B作直线AB(简称“作直线AB”)；

　　②作射线CA；

　　③延长BC到D，使 CD=BC；

　　④在线段BA上截取BH=BC；

　　⑤连结两点H，C(简称“连结HC”)．

　　答案见图1(b)．

　　(2)如图1(c)，按下列要求完成作图：

　　①以点D为圆心，AD为半径作弧交DC于E；

　　②分别以点B，C为圆心，DC为半径作弧，两弧交于点F，G．

　　以上为七种基本语句．

　　二、思考并实现四种基本作图

　　1．作一个角等于已知角．

　　(1)教师带领学生分析标题，分清已知、求作，并用数学符号表示．注意“求作”中先写出作什么图形，再写出它所需满足的条件．

　　已知∠AOB(如图2(a))．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．

　　(2)教师应启发学生思考作图的实现过程，注意以下几点：

　　①思路：利用全等三角形的判定方法来实现作图过程，将∠AOB放到△COD中(如图2(b))，利用“SAS”公理作出与△COD全等的△C′O′D′，从而得

　　到∠A′O′B′=∠AOB(如图2(c))．

　　②为简化作图过程，便于操作，可取△COD为等腰三角形，即在∠AOB的两边上截取OC=OD．更进一步地，可改造成尺规作图的语言，引导学生用简练的作图语句准确描述作图的实施过程．

　　(3)按照课本作法作图并证明．证明时要注意作图的作法中提供的边的条件．

　　以下几种基本作图都可仿照此步骤处理．

　　2．平分已知角．

　　已知：∠AOB(如图3)．

　　求作：∠AOB内部的射线OC，使∠AOC=∠COB．

　　(1)教师重点分析作法是怎样想出来的．

　　①借鉴基本作图Ⅰ的思路，画出符合条件的示意图，分析如何构造以∠AOC，

　　∠COB为元素的两个全等三角形．

　　答：用“SSS”构造△ODF与△OEF，其中OD=OE，F在OC上，DF=EF．

　　②分析如何用作图实现以上过程：

　　要使OD=OE，以O为圆心任意长为半径作弧即可；要确定∠AOB上一点F，使DF=EF，只要分别以D，E为圆心，特定长a为半径作弧，注意为保证两弧能有

　　
　　(2)让学生整理思路，按课本作法作图并证明．

　　练习1 作平角∠AOB的平分线OC，并回答OC与直线AB有何关系？

　　练习2 如图4，已知：钝角∠MCN．

　　①求作∠MCN的平分线CF；

　　②在学生画出图4的基础上，求证ED⊥CF，CF平分DE．

　　3．经过一点作已知直线的垂线．

　　已知直线AB和一点C，求作AB的垂线，使它过点C．

　　注意以下几点：

　　(1)分析标题时，引导学生自发讨论已知点C与已知直线AB的位置关系(两种情况)．

　　(2)对于点C在直线AB上的情况，引导学生将新问题化归为已知情况——过直线AB上一点C平分平角∠ACB．

　　(3)当点C不在直线AB上时，引导学生由练习2的作法和证明结论来提炼出本题的作图方法：先确定D，E两点(注意书上选取K点的作用)，再确定F点(找F时所作弧的半径有特定条件)．

　　4．作线段的垂直平分线．

　　重点分析基本作图4与练习2的关系．

　　分析图4中的结论：CF垂直平分DE，要作DE的垂直平分线CF，只需确

　　
　　三、四种基本作图的变式和复合练习

　　例1 用尺规按下列要求作图．(不写作法只画图)

　　(1)如图5，在∠AOD的内部作射线OB，使∠AOB=∠COD．

　　(2)作一个角的余角．

　　(3)把线段AB四等分．

　　(4)如图6，在钝角△ABC中，∠ABC为钝角．求作：

　　①△ABC中∠ACB的平分线CD；

　　②△ABC中BC边上的高AH；

　　③AC边的中垂线EF；

　　④AB边上的中线CG．

　　(5)如图7，已知直线AB和AB外一点C．求作：过C的直线CD∥AB．(提示：过C作直线l交AB于点E，在点C处作∠CEB的同位角(或内错角)，使它等

　　于∠CEB．)

　　四、师生共同小结

　　1．目前已学过的五种基本作图；

　　2．几种常用的作图语句；

　　3．尺规作图的基本步骤；

　　4．以后作图中再遇到五种基本作图时，不必再重复作图的详细过程，只需给出标题，如作线段的垂直平分线”．

　　五、作业(略)

　　课堂教学设计说明

　　本教学设计需2课时完成．

　　1．为了分散难点，便于学生用语言准确叙述本节课的基本作图，教师设计了预备知识这一部分，目的是让学生熟悉所要用到的常用作图语句，以及让学生自己分析思考如何用这些语句来解决本节的基本作图．

　　2．基本作图的分析过程要教给学生分析的方法，逐层实现目的，并要揭示四个基本作图分别“怎样想出来”和“为什么这样想”的思维过程，变学生“被动接受”为“主动探索发现”，更好地理解和掌握四种基本作图．

　　3．教师根据课时情况，可将第三部分的基本作图的部分练习题(如例1(1)，(4)①)插到基本作图1，2后．

　　4．本课在基本作图2后面设计了两个练习，目的是既巩固基本作图2的各种变式情况下的作图，又为基本作图3，4启发思路．实质上，作角平分线与作垂线和中垂线的方法相类似．

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