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浅谈使用Matlab软件作为计算物理教学平台的优势
浅谈使用Matlab软件作为计算物理教学平台的优势
文林，邱旭
（重庆师范大学物理与电子工程学院，重庆401331）
摘要：Matlab为数值计算提供了大量功能强大的应用工具箱，使数值计算变得更加的高效。作为数值计算的软件平台，Matlab在计算物理教学中的应用能降低学生学习计算物理的难度，提高学生对计算物理的学习兴趣。
关键词：Matlab；计算物理；线性方程；BCS理论
一、引言
计算物理是伴随着计算机的出现和发展而逐步形成的物理学科，是运用计算机对所要研究的复杂物理问题进行数值计算或模拟实验，并从中探索和发现新的物理规律。因此，计算物理是物理、数学和计算机三者相结合的产物[1]。在当今的物理学各个分支领域，大量物理问题的求解都离不开计算机的辅助。可以说，计算物理的发展对物理学起着重要的推动作用。
在高等教育中，许多高校都为物理学专业本科生开设了计算物理课程。通过对该门课程的学习，学生可掌握许多科学计算中所应用的方法与技术，培养他们对科研的兴趣，并为将来开展科学研究和应用打下良好的基础。然而，对于大学本科生来说，在计算物理的学习中存在着许多的困难。首先，计算物理课程通常涉及较为复杂的数学知识，如线性代数、偏微分方程等。在传统的计算物理教学中，大部分教师把数值计算方法和原理作为教学重点和难点，使得高等数学知识基础较差的学生学习起来较为困难[2]。另一方面，计算物理课程的教学离不开计算软件。在早期的教学过程中，大部分教师都以Fortran作为软件平台进行程序的编写，要求学生具有较强的编程能力。但学生通常很难掌握和应用复杂的Fortran语言，使得计算物理教学过程中存在教与学的难度，降低了学生学习的效率[3]。随着科学的进步，许多新型计算软件的诞生为计算物理教学和学生的学习提供了便利，最为典型的就是Matlab软件在计算物理教学中的应用。
Matlab是美国MathWorks公司所开发的商业数学软件，其全称为Matrix Laboratory，意为矩阵实验室。
Matlab的主要功能包括数值分析、数字图像处理、数字信号处理、工程与科学绘图和通讯系统设计与仿真等[4]。与其他数值计算软件相比，Matlab的优势主要体现在如下几方面：（1 ）Matlab为用户提供了高效的数值计算和符号计算功能，特别是在处理矩阵方面具有明显的优势；（2）Matlab在编程语言上较为简单，语法结构更加接近人们常用的数学表达习惯，提高了编程效率。最重要的是，Maltab内嵌了许多功能强大的应用工具箱，为用户提供了大量方便且实用的处理工具，使得一些烦琐的数值计算过程能用单个简单的命令代替；（3）Matlab具有完美的图像处理功能，让复杂的计算结果变得可视化。因此，如果将Matlab作为计算物理教学的软件平台，将有效地改变学生学习计算物理困难的现状，提高学生学习积极性的同时，也能降低高校教师的教学难度。本文将通过一些计算物理实例，进一步分析Matlab软件作为计算物理教学平台的优势。
二、Matlab在求解线性方程组中的应用
在物理学中，许多实际物理问题可用线性方程组来描述，如电学网络、分子振动、应力分析等问题，而这些线性方程组又可用转化成如下的矩阵形式AX=B其中X=（x1，x2，…，xN）为未知数所构成的N×1矩阵，A为N×N的系数矩阵，而B为N×1矩阵。如果矩阵A是非奇异矩阵，则方程组的解为X=A-1B。所以，非线性方程组的求解转变为求逆A-1。在线性代数中，矩阵的逆A-1＝A*/|A|，这里A*为伴随矩阵。|A|为矩阵的行列式。如果利用标准的线性代数方法求N×N矩阵A的行列式值[5]，则必须要计算N!个乘积。对于较小的矩阵来说，通常可利用简单的数学公式求解行列式。当N较大时，尽管理论上仍然可以运用线性代数公式进行计算，但计算量非常大。以N=20的矩阵为例，如果我们的计算机每秒可做1010次运算，那么计算该矩阵的行列式要花费大约为7.7年的时间。这说明，在实际的数值计算中，不能用标准的线性代数公式做计算。此外，伴随矩阵A*的求解在数值上也不太容易实现。
Matlab为我们提供了一个计算矩阵行列式的命令———det。该命令所使用的算法为高斯消去法，其基本思想是将矩阵化为上三角或下三角矩阵，然后将对角元素相乘即可得到矩阵的行列式。我们以N=20的随机矩阵为例，发现计算该矩阵的行列式所需要的时间约为5×10-5秒。由此可见，Matlab所提供的命令det在计算行列式时，既高效又简单。特别的，基于高斯－约当消去法，Matlab也为我们提供了计算矩阵逆的命令———inv。因此，学生在利用这些命令求解线性方程组时，不仅可以节省计算量，而且还可以避免编写高斯消去法和高斯－约当消去法时所涉及的烦琐程序。
三、Matlab求解非线性方程的应用举例
在日常生活中，许多现象在理论上可用一些复杂的非线性方程或方程组来描述。通过求解这些非线性方程，可以深入研究这些现象背后所隐藏的物理规律。非线性方程的求解没有简单的求根公式，必须借助数值计算方法进行近似求解。对于单个非线性方程的求解，常用的数值方法有区间对分法、迭代法、搜索法及牛顿迭代法[1]。尽管这些方法能够有效地求解非线性方程，但在实际的应用中，学生很难直接利用这些算法求解较为复杂的非线性方程或方程组。Matlab为我们提供了一个求解非线性方程或方程组的命令———fsolve，该命令主要采用最小二乘法来求解非线性方程[1]，其用法比较简单，学生容易学习和掌握。
为了说明利用Matlab求解非线性方程的优势，我们以BCS超导理论中的能隙方程和粒子数方程为例，其基本形式如下：
这里为as原子相互作用的s波散射长度，kF为费米动量，配对序参量Δ和化学势μ需要自洽求解。该方程组为非线性方程组，可以通过牛顿迭代法进行求解。牛顿迭代法的基本思想是，将两个方程在初始值附近用二元泰勒级数做展开，并取线性部分，可得到求解方程时所需要的迭代格式[1]。然而，牛顿迭代法在每一步迭代的过程中都需要计算一次雅可比行列式。对于较为复杂的非线性方程组而言，雅可比行列式的求解较为困难，程序编写过程比较复杂，以至于学生在编程过程中容易出现错误。如果直接利用Matlab的fsolve命令，则可有效避地免该问题。以下是利用fsolve求解配对序参量和化学势的Matlab程序：
作为例子，我们利用上述程序展示配对序参量和化学势随相互作用强度的变化（见图1）。由此可见，以Matlab作为平台，利用fsolve求解非线性方程组时，可使学生从烦琐的数值算法推导及编程过程中解脱出来，将精力更多地投入到物理问题的分析中。
四、总结
以线性和非线性方程的求解为例，我们说明了Matlab在计算物理教学中的优势。通过利用Matlab所提供的数值计算工具箱，可降低学生学习计算物理的难度，为计算物理教学提供便利。
参考文献：
[1]马文淦。计算物理学[M].北京：科学出版社，2005.
[2]李晓莉，张建飞。计算物理的教学改革研究与实践[J].物理通报，2010，（8 ）：57.
[3]彭芳麟，梁颖，忻蓓。计算机软件在计算物理课程中的地位和作用[J].大学物理，2013，32（8）：6.
[4]张志涌。精通Matlab[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011.
[5]叶其孝，沈永欢。实用数学手册[M].第2版。科学出版社，2006.
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