不等式 —— 初中数学第二册教案

不等式 —— 初中数学第二册教案

不等式的基本性质

 

教学目标

1．  使学生掌握不等式的三条基本性质；

2．  培养学生观察、分析、比较的能力，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．

 

教学重点和难点

重点：不等式的三条基本性质的运用．

难点：不等式的基本性质3的运用．

 

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．  什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质．

2．  当x取下列数值时，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2．5，0，-1．

3．  用不等式表示下列数量关系：
（1）       x的３倍大于x的2倍与5的差；  （3）y的 与x的 的差小于2；

（2）       y的一半与4的和是负数；      （4）5与a的4倍的差不是正数．

4．  按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：

（1）m＞n，两边都减去3；      （2）m＞n，两边同乘以3；

（3）m＞n，两边同乘以-3；      （4）m＞n，两边同乘以-3；

（5）m＞n，两边同乘以 ．

（以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨）在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质。

 

 

二、讲授新课

例1 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．

（1）若a–3＜9，则a_____12；      （2）若-a＜10，则a_____–10；

（3）若 a＞–1，则a_____–4；       （4）若- a＞，则a_____0．

答：（1）a＜12，根据不等式基本性质1．  （2）a＞-10，根据不等式基本性质3．

（3）a＞-4，根据不等式基本性质2．  （4）a＜0，根据不等式基本性质3．

（在讲授本课时，应启发学和在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的．同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向＝

例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”号填空：

（1）a+2_____2；  （2）a-1_____–1；  （3）3a_____0；  (4)a-1______0;  (5)a² _______0;  (6)a³______0;  (7)a-1______0;  (8)|a|______0.

答：（１）a+2＜２，根据不等式基本性质１．  （２）a-1＜-1,根据不等式基本性质１．

（３）因为３a,根据不等式基本性质２．       （４）－ ＞０，根据不等式基本性质３．

（５）因为a＜０，两边同乘以a＜０，由不等式基本性质３，得a^２＞０．

（６）因为a＜０，两边同乘以a^２＞０，由不等式基本性质２，得a³＜0.

（７）因为a＜０，两边同加上－１，由不等式基本性质１，得a－１＜－１．

又已知，－１＜０，所以a－1＜0．

（８）因为.a＜０，所以a≠０，所以｜a｜＞０．

（本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识，如a＜０表示a是负数；a＞０表示a是正数；｜a｜是非负数．后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键）

例外  判断下列各题的推导是否正确？为什么？（投影）（请学生回答）

（１）因为７．５＞５．７，所以－７．５＜－５．７；  （２）因为a+8＞4,，所以a＞－４；  （３）因为４a＞４b，所以a＞b；        （４）因为a＜b，所以 ＜ ＞＇

（５）因为 ＞－１，所以a＞4;          (６)因为－１＞－２，所以－a－１＞－a－２；

（７）因为３＞２，所以３a＞２a．

答：（１）正确，根据不等式基本性质３．      （２）正确，根据不等式基本性质１．

（３）正确，根据不等式基本性质２． （４）不对，根据不等式基本性质３，应改为 ＞ ；         （５）因为 ＞－１，所以a＞4

答：(1)正确，根据不等式基本性质3.    (2)正确，根据不等式基本性质1.

(3)正确，根据不等式基本性质2.       (4)不对，根据不等式基本性质3，应改为 .

(5)不对，根据不等式基本性质5，应改为a＜4.   

(6)正确，根据不等式基本性质1.    (7)不对，应分情况逐一讨论.

当a＞0时，3a＞2a.(不等式基本性质2)

当a=0时，3a＜2a.

当a＜0时，3a＜2a.(不等式基本性质3)

(当学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助)

 

三、课堂练习(投影)

1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

(1)由-2＜-1，两边都加-a；   (2)由-4x＜0，两边都乘以- ；

(3)由7＞5，两边都乘以不为零的-a.

2?用“＞”或“＜”号填空：

(1)当a-b＜0时，a______b：  (2)当a＜0,b＜0时，ab_____0；

(3)当a＜0，b＜0时，ab____0；  (4)当a＞0,b＜0时，ab____0；

(5)若a____0，b＜0，则ab＞0；  (6)若＜0，且b＜0，则a_____0.

 

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号.

 

五、作业

1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)x-1＜0；    (2) x＞- x+6；

(3)3x＞7；     (4)- x＜-3.

2.设a＜b，用“＞”或“＞”号连接下列各题中的两个代数式：

(1)a-1，b-1；    (2)a+2,b+2；    (3)2a，2b；

(4) ；     (5) ；   (6)-b，-a.

3.用“＞”号或“＜”号填空：

(1)若a-b＜0，则a_____b；    (2)若b＜0，则a+b_____a；

(3)若a=0，则a+b_____b；     (4)若 ＜0，则ab_____；

(5)b＜a＜2，则(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).

 

课堂教学设计说明

由于本节课的教学目标是使学生进一步掌握不等式基本性质，尤其是基本性质3.故在设计教学过程时，注意在教师的主导作用下让学生以练为主，从而使学生在初步掌握不等式的三条基本性质的基础上，通过口答，笔做，讨论等不同的方式的练习，提高学生将不等式正确、灵活进行变形的能力.

 

 

不等式的基本性质

 

教学目标

1．  使学生掌握不等式的三条基本性质；

2．  培养学生观察、分析、比较的能力，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．

 

教学重点和难点

重点：不等式的三条基本性质的运用．

难点：不等式的基本性质3的运用．

 

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．  什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质．

2．  当x取下列数值时，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2．5，0，-1．

3．  用不等式表示下列数量关系：
（1）       x的３倍大于x的2倍与5的差；  （3）y的 与x的 的差小于2；

（2）       y的一半与4的和是负数；      （4）5与a的4倍的差不是正数．

4．  按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：

（1）m＞n，两边都减去3；      （2）m＞n，两边同乘以3；

（3）m＞n，两边同乘以-3；      （4）m＞n，两边同乘以-3；

（5）m＞n，两边同乘以 ．

（以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨）在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质。

 

 

二、讲授新课

例1 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．

（1）若a–3＜9，则a_____12；      （2）若-a＜10，则a_____–10；

（3）若 a＞–1，则a_____–4；       （4）若- a＞，则a_____0．

答：（1）a＜12，根据不等式基本性质1．  （2）a＞-10，根据不等式基本性质3．

（3）a＞-4，根据不等式基本性质2．  （4）a＜0，根据不等式基本性质3．

（在讲授本课时，应启发学和在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的．同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向＝

例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”号填空：

（1）a+2_____2；  （2）a-1_____–1；  （3）3a_____0；  (4)a-1______0;  (5)a² _______0;  (6)a³______0;  (7)a-1______0;  (8)|a|______0.

答：（１）a+2＜２，根据不等式基本性质１．  （２）a-1＜-1,根据不等式基本性质１．

（３）因为３a,根据不等式基本性质２．       （４）－ ＞０，根据不等式基本性质３．

（５）因为a＜０，两边同乘以a＜０，由不等式基本性质３，得a^２＞０．

（６）因为a＜０，两边同乘以a^２＞０，由不等式基本性质２，得a³＜0.

（７）因为a＜０，两边同加上－１，由不等式基本性质１，得a－１＜－１．

又已知，－１＜０，所以a－1＜0．

（８）因为.a＜０，所以a≠０，所以｜a｜＞０．

（本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识，如a＜０表示a是负数；a＞０表示a是正数；｜a｜是非负数．后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键）

例外  判断下列各题的推导是否正确？为什么？（投影）（请学生回答）

（１）因为７．５＞５．７，所以－７．５＜－５．７；  （２）因为a+8＞4,，所以a＞－４；  （３）因为４a＞４b，所以a＞b；        （４）因为a＜b，所以 ＜ ＞＇

（５）因为 ＞－１，所以a＞4;          (６)因为－１＞－２，所以－a－１＞－a－２；

（７）因为３＞２，所以３a＞２a．

答：（１）正确，根据不等式基本性质３．      （２）正确，根据不等式基本性质１．

（３）正确，根据不等式基本性质２． （４）不对，根据不等式基本性质３，应改为 ＞ ；         （５）因为 ＞－１，所以a＞4

答：(1)正确，根据不等式基本性质3.    (2)正确，根据不等式基本性质1.

(3)正确，根据不等式基本性质2.       (4)不对，根据不等式基本性质3，应改为 .

(5)不对，根据不等式基本性质5，应改为a＜4.   

(6)正确，根据不等式基本性质1.    (7)不对，应分情况逐一讨论.

当a＞0时，3a＞2a.(不等式基本性质2)

当a=0时，3a＜2a.

当a＜0时，3a＜2a.(不等式基本性质3)

(当学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助)

 

三、课堂练习(投影)

1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

(1)由-2＜-1，两边都加-a；   (2)由-4x＜0，两边都乘以- ；

(3)由7＞5，两边都乘以不为零的-a.

2?用“＞”或“＜”号填空：

(1)当a-b＜0时，a______b：  (2)当a＜0,b＜0时，ab_____0；

(3)当a＜0，b＜0时，ab____0；  (4)当a＞0,b＜0时，ab____0；

(5)若a____0，b＜0，则ab＞0；  (6)若＜0，且b＜0，则a_____0.

 

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号.

 

五、作业

1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)x-1＜0；    (2) x＞- x+6；

(3)3x＞7；     (4)- x＜-3.

2.设a＜b，用“＞”或“＞”号连接下列各题中的两个代数式：

(1)a-1，b-1；    (2)a+2,b+2；    (3)2a，2b；

(4) ；     (5) ；   (6)-b，-a.

3.用“＞”号或“＜”号填空：

(1)若a-b＜0，则a_____b；    (2)若b＜0，则a+b_____a；

(3)若a=0，则a+b_____b；     (4)若 ＜0，则ab_____；

(5)b＜a＜2，则(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).

 

课堂教学设计说明

由于本节课的教学目标是使学生进一步掌握不等式基本性质，尤其是基本性质3.故在设计教学过程时，注意在教师的主导作用下让学生以练为主，从而使学生在初步掌握不等式的三条基本性质的基础上，通过口答，笔做，讨论等不同的方式的练习，提高学生将不等式正确、灵活进行变形的能力.

 

 

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