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二次根式的化简

时间：2022-08-17 01:00:37 八年级数学教案我要投稿

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二次根式的化简

教学建议

　　知识结构

　　重难点分析

　　本节的重点是的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.

　　本节的难点是正确理解与应用公式

　　这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.

　　教法建议

　　1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

　　（１）设计问题引导启发：由设计的问题

　　1）、、各等于什么？

　　2）、、各等于什么？

　　启发、引导学生猜想出

　　（2）从算术平方根的意义引入．

　　2．性质的巩固有两个方面需要注意：

　　（1）注意与性质进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；

　　（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等．

（第1课时）

　　一、教学目标

　　1.掌握二次根式的性质

　　2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

　　3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

　　二、教学设计

　　对比、归纳、总结

　　三、重点和难点

　　1.重点：理解并掌握二次根式的性质

　　2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程

　　一、导入新课

　　我们知道，式子（）表示非负数的算术平方根．

　　问：式子的意义是什么？被开方数中的表示的是什么数？

　　答：式子表示非负数的算术平方根，即，且，从而可以取任意实数．

　　二、新课

　　计算下列各题，并回答以下问题：

　　（1）；　　　（2）；　　　（3）；

　　（4）；　　（5）；　（6）

　　（7）；　（8）

　　1．各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

　　2．各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

　　3．用字母表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论．

　　答：

　　（1）；　（2）；　（3）；

　　（4）；　（5）；　（6）

　　（7）；　（8）．

　　1．（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0．

　　2．（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数．

　　3．用字母表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

　（），

　　用字母表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

　（）．

　　一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数．

　　问：请把上述讨论结论，用一个式子表示．（注意表示条件和结论）

　　答：

　　请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

　　答：

　　填空：

　　1．当 _________时，；

　　2．当时，，当时，；

　　3．若，则 ________；

　　4．当时，．

　　答：

　　1．当时，；

　　2．当时，，

　　　当时，；

　　3．若，则；

　　4．当时，．

　　例1 化简（）．

　　分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简．

　　解，因为，所以，所以

．

　　指出：在化简和运算过程中，把先写成，再根据已知条件中的取值范围，确定其结果．

　　例2 化简（）．

　　分析：根据二次根式的性质，当时，．

　　解．

　　例3 化简：（1）（）；　（2）　（）．

　　分析：根据二次根式的性质，当时，．

　　解（1）．

　　　　（2）．

　　注意：（1）题中的被开方数，因为，所以．

　　（2）题中的被开方数，因为，所以．

　　这里的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出．

　　例4 化简．

　　分析：根据二次根式的性质，有

．

　　所以要比较与3及1与的大小以确定及的符号，然后再进行化简．

　　解因为，，所以

，．

　　所以

　　　．

　　三、课堂练习

　　1．求下列各式的值：

　　（1）；　　（2）．

　　2．化简：

　　（1）；　　（2）；

　　（3）（）；　（4）　（）．

　　3．化简：

　　（1）；　　　　（2）；

　　（3）；　　（4）；

　　（5）；　（6）（）．

　　答案：

　　1．（1）0.1；　（2）．

　　2．（1）；　（2）；　（3）；　（4）．

　　3．（1）4；　（2）1.5；　（3）0.09；　（4）－1；　（5）4；　（6）－1．

　　四、小结

　　1．二次根式的意义是，所以，因此，其中可以取任意实数．

　　2．化简形如的二次根式，首先可把写成的形式，再根据已知条件中字母的取值范围，确定其结果．

　　3．在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式有意义的条件是被开方，这是隐含条件．

　　五、作业

　　1．化简：

　　（1）；　　　　（2）；

　　（3）　（）；　　（4）　（）；

　　（5）；　　　　（6）（，）；

　　（7）（）．

　　2．化简：

　　（1）；

　　（2）（）；

　　（3）（，）．

　　答案：

　　1．（1）－30；　（2）；　（3）；

　　（4）；　（5）；　（6）；　（7）．

　　2．（1）2；　（2）0；　（3）．

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