集合
1.理解集合的概念；2.掌握集合的两种表示方法；3.会正确使用符号这三个学习目标即可
1.集合
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.一般用大括号表示集合，例如“汽车，飞机，轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成｛汽车、飞机、轮船｝为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合，例如A＝｛a,b,c｝.
2.集合中的元素
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆.
集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
3.集合中元素的特性
(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x∈A，还是x A，二者必成其一，不会模棱两可.
例如，“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.
(2)互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的；因此，集合中的相同元素只能算作一个，如方程x2-2x+1=0的两个等根，x1＝x2＝1，用集合记为｛１｝，而不写为｛1，1｝，如果把集合｛１，２，３｝，｛2,3,4｝的元素合并起来构成一个新集合，那么新集合只有1，2，3，4这四个元素.
(3)无序性 集合中的元素是不排序的，如集合｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如｛-1，0，1，2｝而不写成｛0，1，-1，2｝，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.
4.集合表示法
(1)列举法 将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内.
(2)描述法 用描述表示的集合，对其元素的属性要准确理解.例如，集合｛y｜y=x2｝表示函数y值的全体，即｛y｜y≥0｝；集合｛x｜y＝x2｝表示自变量x的值的全体，即｛x｜x为任一实数｝；集合｛x,y｜y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线)；而集合｛y=x2｝则是用列举法表示的单元素集，也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集.
(3)图示法 为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭曲线，用它的内部来表示一个集合，例如，如图可表示集合｛1,2,3,4｝
5.特定集合表示法
自然数集(或非负整数集)，记作N，自然数集内排除0的集，也称正整数集，记作N*或N+(注意，自然数集包括0)；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R；
Z，Q，R等数集内排除0的集，分别表示为Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).
6.集合的分类
①有限集：含有限个元素的集合叫做有限集.例如：A＝｛1,2,3,4｝
②无限集：含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如：集合N+
③空集：不含任何元素的集合称为空集.例如：集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集. 例1 下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来.
(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；
(2)高一数学课本中所有的难题；
(3)方程x4+x2+2＝0的实数根；
(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点).
图甲 图乙
解：(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.
可用两种方法表示这个集合：
描述法：｛(x,y)｜y＝?x｜｝；
图示法：如图乙中直线l上的点.
(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.
(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为：
或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.
(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).
图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述表示这个集合；
｛(x,y)｜-1≤x≤2，- ≤y≤2，且xy≤0｝
例2 下面六种表示法：
(1)｛x＝-1，y=2｝，(2)｛(x,y)｜x=-1,y=2｝，(3)｛-1，2｝，(4)(-1，2)，(5)｛(-1，2)｝，(6)｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝，能正确表示方程组 的解集的是：
A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)
C.(2)(5) D.(2)(5)(6)
分析 由于此方程组的解是 因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2).
解：因为｛(x,y)｜ ＝｛(x,y)｜ ＝｛(-1，2)｝故选C.
评析 集合(1)既非列举法，又非描述法.集合(3)表示由-1和2两个数组成的集合.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意.
例3 用符号∈或 填空.
(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0
(2)2 ｛x｜x＜ ＝，3 ｛x｜x＞4｝， + ｛x｜x≤2+ ｝；
(3)3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；
(4)(-1，1) ｛y｜y＝x2｝,(-1,1) ｛(x,y)｜y＝x2｝
解：(1)∈、∈、 、∈、 (空集?不含任何元素)；
(2)2 ＝ ＞ ，3 ＝ ＞ ＝4，
+ ＝
＝ ＜
＝
＝2+ ，故填 、∈、∈；
(3)令n2+1=3，n＝± n N.令n2+1＝5，
n＝±2，2∈N，故填 、∈；
(4) ，∈.(因为｛y｜y＝x2｝中元素是数而(-1，1)代表一个点)
例4 用另一种形式表示下列集合
(1)｛绝对值不大于3的整数｝
(2)｛所有被3整除的数｝
(3)｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝
(4)｛x｜（3x-5）(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z｝
(5)｛(x,y)｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝
解：(1)绝对值不大于3的整数｝还可以表示为｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；
(2)｛x｜x＝3n，n∈Z｝；(说明：｛被3除余1的整数｝可表示为｛x｜x=3n+1,n∈Z｝)；
(3)∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝还可以表示为｛0,1,2,3,4｝
(4)｛-2｝(注意x∈Z｝)
(5)｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝
例5。用另一种形式表示下面的集合：｛x｜(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,x∈Z｝.
错误解答 集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)＝0的根组成的，解方程，得x＝ ，x＝-2，x＝
∴ 原集合可以表示为｛ ，-2， ｝
错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中，解方程时应注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根为x＝ ，x＝-2.注意到已知条件x∈z R，才不致造成错误.
因为 Z 所以，
正确答案应为｛-2｝或写作｛x｜x=-2｝.
例6 已知A＝｛x｜x＝a+b ，a,b∈Z｝，分析判断下列元素x与集合A之间的关系：
(1)x＝0，(2)x＝ ，(3)x＝ .
分析 x与A的关系只有x∈A和x A两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b (a,b∈Z)的形式.
解：(1)因为0＝0+0× ，所以0∈A.
(2)因为x＝ ＝ - ，无论a、b为何整数，a+b ＝ - 不能成立，所以x＝ A.
(3)因为x＝ ＝ ＝1+2 ，
所以 ∈A.
评析 研究元素与集合的关系，一要注意集合的表示方法(列举法或描述法)，二要准确判断元素的属性.
例7 已知集合A＝｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函数y＝2x-1，x∈A的取值范围.
分析 关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.
解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因为x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝.
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