初中数学函数教案(14篇)
作为一位无私奉献的人民教师，往往需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是小编为大家收集的初中数学函数教案，希望能够帮助到大家。
初中数学函数教案1
教学目标：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点难点：
重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程：
一、例题精析，强化练习，剖析知识点
用待定系数法确定二次函数解析式．
例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。
（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。
（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。
（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）
强化练习：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。
（1）若m为定值，求此二次函数的`解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
二、知识点串联，综合应用
例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交
初中数学函数教案2
一、教学目标
①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义、能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义、
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力、
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情、在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心、
二、教学重点与难点
重点：函数概念的形成过程、
难点：正确理解函数的概念、
三、教学准备
每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子、
四、教学设计
（一）提出问题:
1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶、行驶里程为s千米,行驶时间为t小时、先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：
t(小时) 1 2 3 4 5
s(千米)
2、已知每张电影票的售价为10元、如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?
3、要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评、
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验、
（二）动手实验
1、在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,
观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：
悬挂重物的质量m(kg)
弹簧长度l(cm)
如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0、5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?
2、用10dm长的绳子围成矩形、试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示)、设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?
注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报、
通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息、
五、探究新知
(一)变量与常量的.概念
1、在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程、其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量、也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量、
2、请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量、
3、举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量、
注:分组活动、先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报、
培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力、
(二)函数的概念
1、在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?
师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系、当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值、
2、分组讨论教科书P、7 “观察”中的两个问题、
注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象、
3、一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数、如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值、例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数、t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120、
同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数；
在人口统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数、当x=1999时,函数值y=12、52、
六、巩固新知
下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗?
1、右图是北京某日温度变化图
2、如图,已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长在变化,设BD的长为x,则菱形的面积为y= ×4×x
3、国内平信邮资(外埠,100克内)简表：
信件质量m/克O 邮资y/元O、80 1、60 2、40 注:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步了解函数的三种表示方法、 七、总结归纳 1、常量与变量的概念； 2、函数的定义； 3、函数的三种表示方式、 注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构、 八、布置作业 1、必做题：教科书P、18习题11、1第1题、 2、选做题：教科书P、18习题11、1第2题、 3、备选题： (1)下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况： ①图象表示的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是函数? ②这周哪天的日平均温度最低?大约是多少度?哪天的日平均温度最高?大约是多少度? ③14、15、16日的日平均温度有什么关系? ④点A表示的是哪天的日平均温度?大约是多少度? ⑤说说这一周的日平均温度是怎样变化的 (2)如右图所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8、 ①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什么?并指出其中的变量和常量、自变量与函数、 ②用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值、 ③当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由、 ④当x=0时,y等于多少?此时它表示的是什么? (3)研究表明,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 施肥量(千克/公顷) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量(吨/公顷) 15、18 21、36 25、72 32、29 34、03 39、45 43、15 43、46 40、83 30、75 ①上表反映的是哪两个变量之间的关系?指出其中的自变量和函数、 ②当氮肥的施用量为101千克/公顷时,土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢? ③根据表中的数据,你认为氮肥的施用量为多少比较适宜?说说你的理由、 ④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响、 九、设计思想 变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学,是学生数学认识上的一大飞跃、因此,设计本课时应根据学生的认知基础,创设丰富的现实情境,使学生从中感知变量与函数的存在和意义,体会变量之间的相互依存关系和变化规律、遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则,引导学生探究新知,引导学生在观察、分析后归纳,然后提出注意问题,帮助学生把握概念的本质特征,并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力、同时在引导学生探索变量之间的规律,抽象出函数概念的过程中,要注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题,并能从中提出问题、分析问题和解决问题、还要培养一种团队合作精神,提高探索、研究和应用的能力,使学生真正成为数学学习的主人、 教学目标 ①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义。能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。 ②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力。 ③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。 教学重点与难点 重点：函数概念的形成过程。 难点：正确理解函数的概念。 教学准备 每个小组一副弹簧秤和挂件，一根绳子。 教学设计 提出问题： 1。汽车以60千米/时的速度匀速行驶。行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。先填写下面的表，再试着用含t的式子表示s： t（小时） 1 2 3 4 5 s（千米） 2。已知每张电影票的售价为10元。如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，怎样用含x的式子表示y？ 3。要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？ 注：（1）让学生充分发表意见，然后教师进行点评。 （2）挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。 动手实验 1。在一根弹簧秤上悬挂重物，改变并记录重物的质量， 观察并记录弹簧长度的变化，填入下表： 悬挂重物的质量m（kg） 弹簧长度l（cm） 如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0。5cm，怎样用重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）？ 2。用10dm长的绳子围成矩形。试改变矩形的长，观察矩形的面积怎样变化，记录不同的矩形的长的值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律（用表格表示）。设矩形的长为xdm，面积为Sdm2，怎样用含x的式子表示S？ 注：分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报。 通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。 探究新知 （一）变量与常量的概念 1。在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：上面的.问题和实验都反映了不同事物的变化过程。其中有些量（时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等）的值是按照某种规律变化的。在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量。也有些量是始终不变的，如上面问题中的速度60（千米/时）、票价10（元）等，我们称之为常量。 2。请具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量。 3。举出一些变化的实例，指出其中的变量和常量。 注：分组活动。先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选派代表汇报。 培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力。 （二）函数的概念 1。在前面的每个问题和实验中，是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？ 师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系。当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有惟一确定的值。 2。分组讨论教科书P。7 “观察”中的两个问题。 注：使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象。 3。一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么，我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么，b叫做当自变量的值为a时的函数值。例如在问题1中，时间t是自变量，里程s是t的函数。t=1时，其函数值s为60，t=2时，其函数值s为120。 同样，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数； 在人口统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数。当x=1999时，函数值y=12。52。 巩固新知 下列各题中分别有几个变量？你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗？ 1。右图是北京某日温度变化图 2。如图，已知菱形ABCD的对角线AC长为4，BD的长在变化，设BD的长为x，则菱形的面积为y= ×4×x 3。国内平信邮资（外埠，100克内）简表： 信件质量m/克 O 邮资y/元 O。80 1。60 2。40 注：巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，初步了解函数的三种表示方法。 总结归纳 1。常量与变量的概念； 2。函数的定义； 3。函数的三种表示方式。 注：通过总结归纳，完善学生已有的知识结构。 布置作业 1。必做题：教科书P。18 习题11。1第1题。 2。选做题：教科书P。18 习题11。1第2题。 3。备选题： （1）下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况： ①图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？ ②这周哪天的日平均温度最低？大约是多少度？哪天的日平均温度最高？大约是多少度？ ③14、15、16日的日平均温度有什么关系？ ④点A表示的是哪天的日平均温度？大约是多少度？ ⑤说说这一周的日平均温度是怎样变化的。 （2）如右图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8。 ①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什么？并指出其中的变量和常量、自变量与函数。 ②用表格表示当x从10变到20时（每次增加1），y的相应值。 ③当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由。 ④当x=0时，y等于多少？此时它表示的是什么？ （3）研究表明，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 施肥量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量（吨/公顷） 15。18 21。36 25。72 32。29 34。03 39。45 43。15 43。46 40。83 30。75 ①上表反映的是哪两个变量之间的关系？指出其中的自变量和函数。 ②当氮肥的施用量为101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？ ③根据表中的数据，你认为氮肥的施用量为多少比较适宜？说说你的理由。 ④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。 设计思想 变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一大飞跃。因此，设计本课时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生从中感知变量与函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力。同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题。还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人。 这节课的内容是义务教育课程标准教材数学九年级下册锐角三角函数——正弦。我将从以下几个方面来就本节课的教学进行解说。 一、教材分析 教材所处的地位及作用： 本章是在学生已学了一次函数、反比例函数、二次函数以及相似形的基础上进行的，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系,这对学生来说是个全新的领域。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础. 二、学情分析 1、九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的`意识。 2、学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,学生要得出锐角与比值之间的对应关系，这种对应关系不同于以前学习的数值与数值之间的对应关系，因此对学生而言建立这种对应关系有一定困难。 三、教学目标 1、理解锐角正弦的意义，了解锐角与锐角正弦值之间的一一对应关系，进一步体会函数的变化与对应的思想； 2、会根据锐角正弦的意义解决直角三角形中已知边长求锐角正弦，以及已知正弦值和一边长求其它边长的问题； 3、经历锐角正弦意义的探索过程，体会从特殊到一般的研究问题的思路和数形结合的思想方法； 4、经历由实际问题引发出对正弦函数讨论的过程，培养学生观察生活、发现问题、研究问题的能力。 四、重点、难点 1、重点：锐角正弦的定义及应用； 2、难点：理解锐角正弦是锐角与边的比值之间的函数关系. 3、难点突破方法：由特殊角入手开展讨论，自然过度到一般角；从具体情境抽象出正弦的概念，并结合多个实例从不同角度深化理解。 五、教法及学法 本节课采用情境引导和探究发现教学法，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突，建立知识间的联系。同时采用多媒体辅助教学，以直观生动地呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 六、教学过程 为了实现本节的教学目标，教学过程分为以下六个环节： （一）复习旧知，情境引入（二）合作探究，获得新知：（三）巩固训练，落实双基 （四）强化提高，培养能力（五）小结归纳，拓展深化（六）反馈练习，自主评价。 下面就几个主要环节进行解说 （一）复习旧知，情境引入 （二）先让学生回顾直角三角形知识，再从铺设水管引入30°的直角三角形中的边与角的关联。 （二）合作探究，获得新知： 先让学生猜想，再利用几何画板演示，在直角三角形中，任意角度的锐角的对边和斜边的比和这个角的关系。得出结论： 当∠A的度数一定时，∠A的对边和斜边的比值是一个定值。这个比值随着角度的变化而变化，当角度一定时，有唯一和它对应的比值。所以∠A的对边和斜边的比值是关于∠A度数的函数。 再引出课题和正弦概念，给出正弦的含义和表示方法。认识几个特殊角的正弦值。 （三）巩固训练 讲解一道求正弦值的例题。 （四）强化提高，培养能力 出示三道提高题，第一道是关于直接利用正弦值求斜边的题，然后进行变式，第二题是关于不是直角三角形中求正弦的题，第三题是关于用不同的方法求一个锐角的正弦值。 （五）小结归纳，拓展深化 教学目标： 利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。 利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。 在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。 教学重点和难点： 运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。 教学过程： （一）引入： 分组复习旧知。 探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？ 可引导学生从几个方面进行讨论： （1）如何画图 （2）顶点、图象与坐标轴的交点 （3）所形成的三角形以及四边形的面积 （4）对称轴 从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。 （二）新授： 1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E使SBCE= SABC。 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使BCE与BCD全等。 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使BOM与ABC相似。 2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的'解析式。 例如：已知一抛物线的顶点坐标是C（2，1）且与x轴交于点A、点B，已知SABC=3，求抛物线的解析式。 （三）提高练习 根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境： 让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。 让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。 （四）让学生讨论小结（略） （五）作业布置 1、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。 （1）求二次函数的解析式； （2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求 POC的面积。 2、如图，一个二次函数的图象与直线y= x—1的交点A、B分别在x、y轴上，点C在二次函数图象上，且CBAB，CB=AB，求这个二次函数的解析式。 3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0。9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。 （1）求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM=0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米） 教学目标 1、知识与技能 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系。 2、过程与方法 经历探索函数概念的过程，感受函数的模型思想。 3、情感、态度与价值观 培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值。 重、难点与关键 1、重点：认识函数的概念。 2、难点：对函数中自变量取值范围的确定。 3、关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型。 教学方法 采用“情境──探究”的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法。 教学过程 一、回顾交流，聚焦问题 1、变量（P94）中5个思考题。 教师提问 同学们通过学习“变量”这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量。 学生活动思考问题，踊跃发言。（先归纳出5个思考题的关系式，再举例） 教师活动激发兴趣，鼓励学生联想， 2、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以挖地用T=10—来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题： （1）指出这个关系式中的变量和常量。 （2）填写下表。 高度d/m 0，200，400，600，800，1000 温度T/℃ （3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就______。 3、课本P7“观察”。 学生活动四人小组互动交流，踊跃发言 二、讨论交流，形成概念 函数定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的.函数。 教师活动归纳出函数的定义。强调在上述活动中的关系式是函数关系式。提问学生，两个变量中哪个是自变量呢？哪个是这个自变量的函数？ 学生活动辨析理解，如：T=10—这个函数关系式中，d是自变量，T是d的函数等。弄清函数定义中的问题。 三、继续探究，感知轻重 课本P8探究题。 学生活动使用计算器进行探索活动，回答问题，理解函数概念。（1）y=2x+5，y是x的函数；（2）y=2x+1，y是x的函数。 四、范例点击，提高认知 例1一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为/km。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子。 （2）指出自变量x的取值范围。 （3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ 教师活动讲例，启发引导学生共同解决上述例1。 五、随堂练习，巩固深化 课本P99练习。 六、课堂总结，发展潜能 1、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法），它只是函数表示法的一种。 2、求函数的自变量取值范围的方法。 （1）要使函数的表达式有意义；（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。 3、把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。 七、布置作业，专题突 课本P106习题14。1第1，2，3，4题。 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、 复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、 展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表 函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集R 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集R 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1） y=ax （a＞0且a≠1） 图像 Y y=(1/2)x y=2x (0,1) X Y y=log2x (1,0) X y=log1/2x 三、 同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成， 观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的值域与y＝ax的.定义域相同。 Y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） X y＝log1/2x 注意：不能由图像得到y＝2x与y＝（1/2）x为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于Y轴对称。此图虽有y＝2x与y＝（1/2）x图像对称，但它们是2个不同的函数。 四、 利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的定义域、值域问题及比较函数的大小值。 五、 例题 例⒈比较（Л）（－0.1）与（Л）（－0.5）的大小。 解：∵ y＝ax中， a＝Л＞1 ∴ 此函数为增函数 又∵ ﹣0.1＞﹣0.5 ∴ （Л）（－0.1）＞（Л）（－0.5） 例⒉比较log67与log76的大小。 解： ∵ log67＞log66＝1 log76＜log77＝1 ∴ log67＞log76 注意：当2个对数值不能直接进行比较时，可在这2个对数中间插入一个已知数，间接比较这2个数的大小。 例⒊ 求y＝3√4-x2的定义域和值域。 解：∵√4-x2 有意义，须使4-x2≥0 即x2≤4， |x|≤2 ∴-2≤x≤2，即定义域为[-2，2] 又∵0≤x2≤4， ∴0≤4-x2≤4 ∴0≤√4-x2 ≤2，且y＝3x是增函数 ∴30≤y≤32，即值域为[1，9] 例⒋ 求函数y＝√log0.25（log0.25x）的定义域。 解：要函数有意义，须使log0.25（log0.25x）≥0 又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是减函数 ∴ 0＜log0.25x≤1 ∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25 ∴ 0.25≤x＜1，即定义域为[0.25，1） 六、 课堂练习 求下列函数的定义域 1. y＝8[1/（2x-1）] 2. y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1） 七、 评讲练习 八、 布置作业 第113页，第10、11题。并预习指数函数与对数函数 在物理、社会科学中的实际应用。 三维目标 一、知识与技能 1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题． 2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题． 二、过程与方法 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题． 2． 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力． 三、情感态度与价值观 1．积极参与交流，并积极发表意见． 2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具． 教学重点 掌握从物理问题中建构反比例函数模型． 教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想． 教具准备 多媒体课件． 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问 属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一． 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值． 设计意图： 运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力． 师生行为： 可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用． 教师应给“学困生”一点物理学知识的引导． 师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值． 生：(1)解：设I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是 2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R ． (2) 当I＝0.5时，R＝10I＝100.5 ＝20(欧姆)． 师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么 样的原理呢? 生：这是古希腊科学家阿基米德的名言． 师：是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”： 若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为； 阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如下图) 下面我们就来看一例子． 二、讲授新课 活动2 小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米． (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少? 设计意图： 物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用． 师生行为： 先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题． 教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系． 教师在此活动中应重点关注： ①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系； ②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径； ③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣． 师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题． 生：解：(1)根据“杠杆定律” 有 Fl＝1200×0.5．得F ＝600l 当l＝1.5时，F＝6001.5 ＝400． 因此，撬动石头至少需要400牛顿的力． (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有 Fl＝600， l＝600F ． 当F＝400×12 ＝200时， l＝600200 ＝3． 3－1.5＝1.5(米) 因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米． 生：也可用不等式来解，如下： Fl＝600，F＝600l ． 而F≤400×12 ＝200时． 600l ≤200 l≥3． 所以l－1.5≥3－1.5＝1.5． 即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米． 生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出． 师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题： 用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力? 生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力×阻力臂＝k(常数且k＞0)，所以根据“杠杆定理”得Fl＝k，即F＝kl (k为常数且k＞0) 根据反比例函数的性质，当k＞O时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力． 师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用． 活动3 问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0．4)元成反比例．又当x＝0．65元时，y＝0.8．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 设计意图： 在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的.函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题． 师生行为： 由学生先独立思考，然后小组内讨论完成． 教师应给予“学困生”以一定的帮助． 生：解：(1)∵y与x －0．4成反比例， ∴设y＝kx－0.4 (k≠0)． 把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得 k0.65－0.4 ＝0.8． 解得k＝0.2， ∴y＝0.2x－0.4＝15x－2 ∴y与x之间的函数关系为y＝15x－2 (2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为 (0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(亿元) 答：本年度的纯收人为0.6亿元， 师生共析： (1)由题目提供的信息知y与(x－0.4)之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x＝0.65时，y＝0.8得出字母系数的值； (2)纯收入＝总收入－总成本． 三、巩固提高 活动4 一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度ρ＝1.1 kg／m3时二氧化碳气体的体积V的值． 设计意图： 进一步体现物理和反比例函数的关系． 师生行为 由学生独立完成，教师讲评． 师：若要求出ρ＝1.1 kg／m3时，V的值，首先V和ρ的函数关系． 生：V和ρ的反比例函数关系为：V＝990ρ ． 生：当ρ＝1.1kg／m3根据V＝990ρ ，得 V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3)． 所以当密度ρ＝1. 1 kg／m3时二氧化碳气体的气体为900m3． 四、课时小结 活动5 你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解 析式，再根据解析式解得． 设计意图： 这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性． 师生行为： 学生可分小组活动，在小组内交流收获， 然后由小组代表在全班交流． 教师组织学生小结． 反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系． 板书设计 17．2 实际问题与反比例函数(三) 1． 2．用反比例函数的知识解释：在我们使 用撬棍时，为什么动 力臂越长越省力? 设阻力为F1，阻力臂长为l1，所以F1×l1＝k(k为常数且k＞0)．动力和动力臂分别为F，l．则根据杠杆定理， Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k为常数)． 由此可知F是l的反比例函数，并且当k＞0时，F随l的增大而减小． 活动与探究 学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y与另一边x之间的函数关系式如下图所示． (1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m，那么它的宽应控制在什么范围内? x(m) 10 20 30 40 y(m) 过程：点A(40，10)在反比例函数图象上说明点A的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数k的值． 结果：(1)绿化带面积为10×40＝400(m2) 设该反比例函数的表达式为y＝kx ， ∵图象经过点A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400． ∴函数表达式为y＝400x ． (2)把x＝10，20，30，40代入表达式中，求得y分别为40，20，403 ，10．从图中可以看出。若长不超过40m，则它的宽应大于等于10m。 教学目标： 1、进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式； 2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围. 3、会求函数值，并体会自变量与函数值间的对应关系. 4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的求法. 5、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的. 教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值. 教学难点：函数概念的抽象性. 教学过程： （一）引入新课： 上一节课我们讲了函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数. 生活中有很多实例反映了函数关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与函数吗？ 1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系. 2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系. 解：1、y=30n y是函数，n是自变量 2、n是函数，a是自变量. （二）讲授新课 刚才所举例子中的函数，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数. 例1、求下列函数中自变量x的取值范围． （1）（2） （3）（4） （5）（6） 分析：在（1）、（2）中，x取任意实数，与都有意义. （3）小题的是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是，因此要求. 同理（4）小题的也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是，因此要求且. 第（5）小题，是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零.的被开方数是． 同理，第(6)小题也是二次根式,是被开方数, 小结：从上面的例题中可以看出函数的解析式是整数时，自变量可取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零. 注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似. 但象第（4）小题，有些同学会犯这样的错误，将答案写成或.在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力，教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里与是并且的.关系.即2与-1这两个值x都不能取. 例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每次一辆0.3元. （1）若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式； （2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围. 解：（1） （x是正整数， （2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%， 则收入在1225元至1330元之间 总结：对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析. 对于函数，当自变量时，相应的函数y的值是.60叫做这个函数当时的函数值. 例3、求下列函数当时的函数值： （1）————（2）————— （3）————（4）—————— 注：本例既锻炼了学生的计算能力，又创设了情境，让学生体会对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对函数的理解. （二）小结： 这节课，我们进一步地研究了有关函数的概念.在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析. 作业：习题13.2A组2、3、5 今天的内容就介绍到这里了。 教学目标： 1、使学生能进一步理解函数的定义，根据实际情况求函数的定义域，并能利用函数解决实际问题中的最值问题。 2、渗透函数的`数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的能力。 3、能初步建立应用数学的意识，体会到数学的抽象性和广泛应用性。 教学重点： 1、从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式。 2、通过函数的性质及定义域范围求函数的最值。 教学难点： 从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式 教学方法：讨论式教学法 教学过程： 例1、A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D校8台，已知从A校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少? (1)几分钟让学生认真读题，理解题意 (2)由题意可知，一种调配方案，对应一个费用。不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用。它们之间存在着一定的关系。究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化。 解法（一）列表分析： 设从A校调到C校x台，则调到D校（12―x）台，B校调到C校是（10―x）台。B校调到D校是[6-(10-x)]即（x-4）台，总运费为y。 根据题意： y=40x+80（12-x）+30（10-x）+50（x-4） y=40x+960-80x+300-30x+50x-200 =-20x+1060（4≤x≤10，且x是正整数） y=-20x+1060是减函数。 ∴当x=10时，y有最小值ymin=860 ∴调配方案为A校调到C校10台，调到D校2台，B校调到D校2台。 解法（二）列表分析 设从A校调到D校有x台，则调到C校（12―x）台。B校调到C校是[10-(12-x)]即（x-2）台。B校调到D校是（8―x）台，总运费为y。 y=40（12–x）+80x+30（x–2）+50（8-x） =480–40x+80x+30x–60+400–50x =20x+820（2≤x≤8，且x是正整数） y=20x+820是增函数 ∴x=2时，y有最小值ymin=860 教学目标： 1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。 3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。 教学重点、难点： 重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题 难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 教学过程： 一、情景创设： 为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题: (1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么? 二、新授： 例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 （1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？ （2）录入文字的`速度v（字/min）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？ （3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 例2某自来水公司计划新建一个容积为 的长方形蓄水池。 （1）蓄水池的底部S 与其深度 有怎样的函数关系？ （2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？ （3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数） 三、课堂练习 1、一定质量的氧气,它的密度 (kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时,=1.43kg/m3. (1)求与V的函数关系式；(2)求当V=2m3时求氧气的密度. 2、某地上年度电价为0.8元度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=(实际电价－成本价)(用电量)] 3、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C重合),设PA=x,点D到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围. 四、小结 五、作业 30.31、2、3 一、目的要求 1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。 2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。 二、内容分析 1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。 2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。 3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。 三、教学过程 复习提问： 1、什么是函数? 2、函数有哪几种表示方法？ 3、举出几个函数的例子。 新课讲解： 可以选用提问时学生举出的例子，也可以直接采用教科书中的.四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式)，y=x，s=3t等。观察时，可以按下列问题引导学生思考： (1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后，可指出，这是函数。) (2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后，可指出，式子中等号左边的y与s是函数，等号右边是一个代数式，其中的字母x与t是自变量。) (3)在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念，表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子，都是关于自变量的一次式。) (4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。) 由以上的层层设问，最后给出一次函数的定义。 一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数。 对这个定义，要注意： (1)x是变量，k，b是常数； (2)k≠0 (当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数，这点，不一定向学生讲述。) 由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。 在讲述正比例函数时，首先，要注意适当复习小学学过的正比例关系，小学数学是这样陈述的： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 写成式子是(一定) 需指出，小学因为没有学过负数，实际的例子都是k＞0的例子，对于正比例函数，k也为负数。 其次，要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系：正比例函数是特殊的一次函数。 课堂练习： 教科书13、4节练习第1题． 教学目标： (1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 (2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m)123456789 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么?(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的.矩形面积最大;最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20-2x)(0 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价-进价)×销售量] 2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10-8=2(元)，(10-8)×100=200(元)] 3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10-8-x);(100+100x)] 4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10-8-x) (100+100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20-2x)(0 y=-2x2+20x (0 将函数关系式y=(10-8-x)(100+100x)(0≤x≤2)化为： y=-100x2+100x+20D (0≤x≤2)……………………(2) 三、观察;概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答; (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点? 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。 2.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项. 四、课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x+1 (2)y=4x2-1 (3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1 2.P3练习第1，2题。 五、小结 1.请叙述二次函数的定义. 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：略 知识技能目标 1、理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质； 2、利用反比例函数的图象解决有关问题。 过程性目标 1、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2、探索反比例函数的图象的性质，体会用数形结合思想解数学问题。 教学过程 一、创设情境 上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线。那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质。 二、探究归纳 1、画出函数的图象。 分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0。 解 1、列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值： 2、描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点（—6，—1）、（—3，—2）、（—2，—3）等。 3、连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象。 上述图象，通常称为双曲线（hyperbola）。 提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？ 学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）。 学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题。 1、这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？ 2、反比例函数（k≠0）的图象在哪两个象限内？由什么确定？ 3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？ 反比例函数有下列性质： （1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少； （2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。 注 1、双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点； 2、双曲线的两个分支关于原点成中心对称。 以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？ 在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少。 在问题2中反映了在面积一定的情况下，饲养场的一边越长，另一边越小。 三、实践应用 例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值。 分析由反比例函数的定义可知：，又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值。 解由题意，得解得。 例2已知反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx—k的图象经过的象限。 分析由于反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，因此k<0，而一次函数y=kx—k中，k<0，可知，图象过二、四象限，又—k>0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方。 解因为反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx—k的图象经过一、二、四象限。 例3已知反比例函数的图象过点（1，—2）。 （1）求这个函数的解析式，并画出图象； （2）若点A（—5，m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析（1）反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象； （2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上。 解（1）设：反比例函数的.解析式为：（k≠0）。 而反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。 所以，k=—2。 即反比例函数的解析式为：。 （2）点A（—5，m）在反比例函数图象上，所以， 点A的坐标为。 点A关于x轴的对称点不在这个图象上； 点A关于y轴的对称点不在这个图象上； 点A关于原点的对称点在这个图象上； 例4已知函数为反比例函数。 （1）求m的值； （2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？ （3）当—3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值。 解（1）由反比例函数的定义可知：解得，m=—2。 （2）因为—2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大。 （3）因为在第个象限内，y随x的增大而增大， 所以当x=时，y最大值=； 当x=—3时，y最小值=。 所以当—3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为。 例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米。 （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）画出函数的图象。 解（1）因为100=5xy，所以。 （2）x>0。 （3）图象如下： 说明由于自变量x>0，所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支。 四、交流反思 本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质。 1、反比例函数的图象是双曲线（hyperbola）。 2、反比例函数有如下性质： （1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少； （2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。 五、检测反馈 1、在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）；（2）。 2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求： （1）y和x的函数关系式； （2）当时，y的值； （3）当x取何值时，？ 3、若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值。 4、已知反比例函数经过点A（2，—m）和B（n，2n），求： （1）m和n的值； （2）若图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1<0 【初中数学函数教案】相关文章： 初中数学函数教案01-03 初中数学函数教案14篇01-03 初中数学函数的图象教案01-29 数学函数的教案03-06 一次初中数学函数教案12-29 数学教案：函数与方程02-25 函数的概念的数学教案02-07 数学函数的教案 15篇03-06 数学函数的教案 (15篇)03-06初中数学函数教案3
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