《反比例》数学教案
作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要用到教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。那么你有了解过教案吗？下面是小编整理的《反比例》数学教案，欢迎大家分享。
《反比例》数学教案1
教学目标
1．进一步理解正、反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律．
2．使学生能正确判断正、反比例．
教学重点
正、反比例的联系和区别．
教学难点
能正确判断正、反比例．
教学过程（）
一、复习准备
判断下面每题中两种量成正比例还是成反比例．
1．单价一定，数量和总价．
2．路程一定，速度和时间．
3．正方形的边长和它的面积．
4．时间一定，工效和工作总量．
二、新授教学
（一）出示课题
教师明确：我们已经初步学习了判断两种量是不是成正比例或反比例的关系，这节课通过比较弄清它们有什么相同点和不同点．
（二）教学例7（课件演示：正反比例的比较）
例7．观察下面的两个表，根据表分别填空．
表1
路程（千米）
5
10
25
50
100
时间（时）
1
2
5
10
20
在表1中相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）变化，（ ）是一定的．因此，时间和路程成（ ）关系．
表2
速度（千米/时）
100
50
20
10
5
时间（时）
1
2
5
10
20
在表2中相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）变化，（ ）是一定的．因此，时间和速度成（ ）关系．
1．分组讨论、交流．
2．引导学生讨论回答
（1）从表1中，怎样知道速度是一定的？根据什么判断速度和时间成正比例？
（2）从表2中，怎样知道路程是一定的？根据什么判断速度和时间成反比例？
3．引导学生总结路程、速度、时间三个量中每两个量之间的关系．
速度×时间＝路程
4．练习：判断下面两个量成什么比例．
（1）当速度一定时，路程和时间．
（2）当路程一定时，速度和时间．
（3）当时间一定时，路程和速度．
（三）比较正比例和反比例的关系．（继续演示课件：正反比例的比较）
讨论填表：正、反比例异同点
相同点：都有两种相关联的量，一种量随着另一种量变化．
不同点：正比例是变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．相对应的每两个数的比值（商）是一定的．反比例是变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小（扩大）．相对应的每两个数的积是一定的．
三、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？你还有什么问题吗？
四、巩固练习
（一）判断单价、数量和总价中一种量一定，另外两种量成什么比例．为什么？
1．单价一定，数量和总价成（ ）．
2．总价一定，单价和数量成（ ）．
3．数量一定，总价和单价成（ ）．
（二）从汽车每次运货吨数、运货的次数和运货的`总吨数这三种量中，你能找出哪几种比例关系？
五、课后作业
一个单位食堂每天用大米的数量、用的天数和大米的总量如下表．
表1
在表1中，相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）变化，（ ）是一定的．因此，大米的总量和用的天数成（ ）关系．
表2
在表2中，相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）变化，（ ）是一定的．因此，每天用的数量和用的天数成（ ）关系．
六、板书设计
正比例和反比例的比较
相同点
1．都有两种相关联的量．
2．一种量随着另一种量变化．
不同点
1．变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
2．相对应的每两个数的比值（商）是一定的．
1．变化方向相反，一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小（扩大）．
2．相对应的每两个数的积是一定的．
探究活动
灵活判断
活动目的
1．理解正反比例的意义．
2．能根据正反比例的意义，正确判断两种量是否成比例，成什么比例．
活动过程
1．教师出示思考题目：
（1）正方形的边长和面积是否成比例？
（2）圆的面积和半径是否成比例？
2．学生分小组讨论．
3．学生分小组汇报讨论结果．
4．师生共同小结并总结规律．
《反比例》数学教案2
教学设计思路
由对现实问题的讨论抽象出反比例函数的概念，通过对问题的解决进一步明确：1.反比例函数的意义;2.反比例函数的概念;3.反比例函数的一般形式。
教学目标
知识与技能
1.从现实情境和已有的知识、经验出发，讨论两个变量之间的`相依关系，加深对函数概念的理解。
2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，表述反比例函数的概念。
过程与方法
1.经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养辩证唯物主义观点。
2.经历抽象反比例函数概念的过程，发展抽象思维能力，提高数学化意识。
情感态度与价值观
1.认识到数学知识是有联系的，逐步感受数学内容的系统性;
2.通过分组讨论，培养合作交流意识和探索精神。
教学重点和难点
理解和领会反比例函数的概念。
教学难点
领悟反比例函数的概念。
教学方法
启发引导、分组讨论
课时安排
1课时
教学媒体
课件
教学过程设计
复习引入
1.什么叫一次函数?一次函数的一般形式是怎样的?什么叫正比例函数?它与算术中的正比例有怎样的关系?
2.在上一学段，我们研究了现实生活中成反比例的两个量
《反比例》数学教案3
学习目标
结合丰富的实例，认识反比例。能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。
学习重点
认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。
过程与方法
教师活动
一、复习
1、什么是正比例的量？
2、判断下面各题中的两种量是否成正比例？为什么？
（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。
（2）每头奶牛的产奶量一定，奶牛的头数和产奶总量。
（3）正方形的边长和它的面积。
二、导入新课
利用反义词来导入今天研究的课题。今天研究两种量成反比例关系的变化规律。
三、进行新课
情境（一）
认识加法表中和是12的直线及乘法表中积是12的'曲线。
情境（二）
让学生把汽车行驶的速度和时间的表填完整，当速度发生变化时，时间怎样变化？每两个相对应的数的乘积各是多少？你有什么发现？独立观察，思考
同桌交流，用自己的语言表达写出关系式：速度×时间=路程（一定）观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积（路程）一定
情境（三）
把杯数和每杯果汁量的表填完整，当杯数发生变化时，每杯果汁量怎样变化？每两个相对应的数的乘积各是多少？化关系
写出关系式：每杯果汁量×杯数=果汗总量（一定）
5、以上两个情境中有什么共同点？
反比例意义
引导小结：
活动四：想一想
P26页第1、2、3题
关系式：X×Y=K（一定）
课后反思：
学生活动
学生自由回答，相互补充。
学生观察，弄清题意。
引导学生发现规律：加法表中和是12，一个加数随另一个加数的变化而变化；乘法表中积是12，一个乘数随另一个乘数的变化而变化。
独立观察，思考同桌交流，用自己的语言表达写出关系式：速度×时间=路程（一定）观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积（路程）一定。
你有什么发现？用自己的语言描述变
都有两种相关联通的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，并且这
两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。这两种量之间是反比例关系。
板书设计
教学反思
《反比例》数学教案4
一、背景分析
1．对教材的分析
本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。
本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念。函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其内在规定性的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。
传统教材在内容和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步性质的探索打下良好的基础。因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体性认识。在旧教材中对反比例函数性质只是简单观察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注重从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。
（1）教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
（2）重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。
（3）难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。
2、对学情的分析
九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采用z+z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。
二、教学过程
一、忆一忆
师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗？一次函数的图象是什么图形？
生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：
（1）列表
（2）描点
（3）连线。
生乙：一次函数的图象是一条直线。
师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=4/x是什么函数？
生：反比例函数。
师：你们能作出它的图象吗？
生：可以。
点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。
二、作图象，试比较
师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。
师：再按照上述方法作y=-4/x的图象。
（学生动手操作）
师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。
（学生讨论交流，教师参与）
师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法？
生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。
生2：y=4/x的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=－4/x的图象的两支曲线分布在二、四象限内。
点评：这里让学生自己上台操作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。
三、细观察，找规律
师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。
（展示图象，让学生观察y=k/x的图象，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论）
师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。
生：我发现函数图象的变化与k的`值有关：当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。
师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。
（1）反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。
（2）当k＞0时，两支曲线分别在一、三象限；当k＜0时，两支曲线分别在二、四象限。
（3）当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。
师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，你会发现什么现象？这说明了什么问题？
（由学生在电脑上进行操作）
生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。
师：大家做得很好。那么，如果我们在图象上任取a、b两点，经过这两点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为s1、s2，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。
题目：
（1）拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。
（2）拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。
生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k值怎么变化，矩形的面积始终不变。
师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。
点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。
四、用规律，练一练
1、课本137页随堂练习1
生：第一幅图是y=－2/x的图象，因为在这里的k＜0，双曲线应在第二、四象限。
2、下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个？在其图象所在象限内，的值随的增大而增大的有哪几个？
（1）y=1/(2x)
（2）y=0.3/x
（3）y=10/x
（4）y=－7/(100x)
生：其中（1）（2）（3）的图象在一、三象限；（4）的图象在每一象限内，y随x的增大而增大。
五、想一想，谈收获
师：通过今天的学习，你有什么收获？
生甲：我今天知道了怎样画反比例函数的图象。
生乙：我今天知道了反比例函数的图象是由两支曲线所组成的。
生丙：我还懂得了：当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大
生丁：我还能用反比例函数的相关性质解题。
师：看来大家今天学到了不少知识，只要大家能保持这种对数学的热情和勇于挑战的精神，在数学上一定会有所收获的。
总评：本节课很好的反映了新课程的一些理念，首先，就是将数学教学与多媒体教学进行了很好的整合，尤其是采用了z+z智能教育平台进行教学，在本节课从进入课堂到结束，始终有多媒体教学的参与，如在讲解反比例函数的性质时运用多媒体展示可以给学生以直观的感受，并给学生留下深刻的印象，教师也能熟练地操作电脑，可以看出教师扎实的基本功。其次，在本节课的教学中，教师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探索、合作交流的气氛中进行，如在得出反比例函数的性质时，就在小组内进行了广泛交流，由学生自己去探索，去发现新知识，这样可以激发学生求知的欲望，达到事半功倍的目的。同时教师也主动的参与进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。
教学反思：
本节课由于在课前进行了大量的准备工作，包括对教材的钻研、教学内容的设计、多媒体课件的制作、学生学情的了解，因此在教学中比较顺利，对重难点内容也有效的进行了突破，尤其是电脑的引入，极大的调动了学生的学习积极性。学生由于成了课堂的主人，所以在课堂上保持了高涨的热情，因此这堂课的效果也较好。
《反比例》数学教案5
教学过程设计
一、创设情境 引入课题
活动1
问题:
你们还记得一次函数图象与性质吗?
设计意图
通过创设问题情境，引导学生复习一次函数图象的知识，激发学生参与课堂学习的热情，为学习反比例函数的图象奠定基础。
师生形为：
教师提出问题。学生思考、交流，回答问题。教师根据学生活动情况进行补充和完善。
二、类比联想 探究交流
活动2
问题：
例2 画出反比例函数y= 与y=- 的图象。
(教师先引导学生思考，示范画出反比例函数y= 的图象，再让学生尝试画出反比例函数y=- 的图象。)
设计意图：
通过画反比例函数的图象使学生进一步了解用描点的方法画函数图象的基本步骤，其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力。
师生形为：
学生可以先自己动手画图，相互观摩。
在此活动中，教师应重点关注：
1学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换：
2是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;
3在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。
比较y= 、y=- 的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?
(由学生观察思考，回答问题，并使学生了解反比例函数的图象是一种双曲线。)
设计意图：
学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的'共同特征(都是双曲线)，以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。
师生形为：
学生分组针对问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的共同点，为后面性质的探索打下基础。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
(三)探索比较 发现规律
活动3
问题：
观察反比例函数y= 与y=- 的图象。
你能发现它们的共同特征以及不同点吗?
每个函数的图象分别位于哪几个象限?
在每一个象限内，y随x的变化如何变化?
由学生分小组讨论，观察思考后进行分析、归纳，得到反比例函数y= 的性质：
形状: 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;
位置: 当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内，在每个象限内y随x增大而减小;当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内，在每个象限内y随x增大而增大;
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.
(注意：双曲线的两个分支都不会与x轴，y轴相交。)
学生通过对反比例函数图象进行观察、分析,总结出了反比例函数的性质,使学生明白性质的可靠性;通过对函数图象的位置与k值符号关系的探讨,以及反比例函数的两个分支在相应的象限内,y随x值的增大(或减小)而增大(或减小)的探讨,有利于加深学生对性质的理解和掌握;使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识产生、形成的过程,逐步达到培养学生抽象概括能力和激发求知欲望;同时通过对反比例函数增减性的讨论,对学生进行辩证唯物主义思想教育.
四、 运用新知 拓展训练
设计意图：
拓展练习是为了让学生灵活运用反比例函数性质解决问题,学生在研究问题的特点时,能够紧扣性质进行分析,达到理解并掌握性质的目的.
师生形为：
学生独立思考完成。
教师巡视，引导学困生完成任务。
五、归纳总结 布置作业
问题：
本节课学习了哪些知识?在知识应用过程中需要注意什么?你有什么收获?
《反比例》数学教案6
教学内容
反比例。（教材第47页例2）。
教学目标
1、使学生理解反比例的意义，能正确地判断两种相关联的量是不是成反比例的量。
2、让学生经历反比例意义的探究过程，体验观察比较、推理、归纳的学习方法。
重点难点
引导学生总结出成反比例的量的特点，进而抽象概括出反比例的关系式。利用反比例的意义，正确判断两个量是否成反比例。
教学准备
投影仪。
复习导入
1、让学生说说什么是正比例，然后用投影出示下面的题。
下面各题中哪两种量成正比例？为什么？
（1）每公顷产量一定，总产量和公顷数。
（2）一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的。
（3）修房屋时，粉刷的面积和所需涂料的数量。
2、说出每小时加工零件数、加工零件总数和加工时间三者之间的关系。在什么条件下，其中两种量成正比例？
教师：如果加工零件总数一定，每小时加工数和加工时间会成什么变化？关系怎样？这就是我们这节课要学习的内容。
新课讲授
1、教学例2。
创设情境。
教师：把相同体积的水倒入底面积不同的杯子，高度会怎样变化？
出示教材第47页例2的情境图和表格。
请学生认真观察表中数据的变化情况，组织学生分小组讨论：
（1）水的高度和底面积变化有关系吗？
（2）水的高度是怎样随着底面积变化的？
（3）水的高度和底面积的变化有什么规律？
学生不难发现：底面积越大，水的高度越低；底面积越小，水的高度越高，而且高度和底面积的乘积（水的体积）一定。
教师板书配合说明这一规律：
30×10=20×15=15×20=……=300
教师根据学生的汇报说明：高度和底面积有这样的变化关系，我们就说高度和底面积成反比例的关系，高度和底面积叫做成反比例的量。
2、归纳反比例的意义。
组织学生小组内讨论：反比例的意义是什么？
学生小组内交流，指名汇报。
教师总结：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
3、用字母表示。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子怎么表示？
学生探讨后得出结果。
x×y=k（一定）
4、师：生活中还有哪些成反比例的量？
在教师的引导下，学生举例说明。如：
（1）大米的质量一定，每袋质量和袋数成反比例。
（2）教室地板面积一定，每块地砖的面积和块数成反比例。
（3）长方形的面积一定，长和宽成反比例。
5、组织学生将例1与例2进行比较，小组内讨论：
正比例与反比例的相同点和不同点有哪些？
学生交流、汇报后，引导学生归纳：
相同点：都表示两种相关联的`量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
不同点：正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。
6、你还有什么疑问
？如果学生提出表示反比例关系的图像有什么特征，教师应该引导学生观察教材第48页“你知道吗？”中的图像。
反比例关系也可以用图像来表示，表示两个量的点不在同一条直线上，点所连接起来的图像是一条曲线，图像特征不要求掌握。
课堂作业
1、教材第48页的“做一做”。
2、教材第51页第9、10题。
答案：1.（1）每天运的吨数和所需的天数两种量，它们是相关联的量。
（2）300×1=150×2=100×3=300（答案不唯一），积都是300。积表示货物的总量。
（3）成反比例，因为每天运的吨数变化，需要的天数也随着变化，且它们的积一定。
2、第9题：成反比例，因为每瓶的容量与瓶数的乘积一定。
第10题：5010012
课堂小结
说一说成反比例关系的量的变化特征。
课后作业
1、完成练习册中本课时的练习。
2、教材51～52页第8、14题。
答案：
2、第8题：成反比例，因为教室的面积一定，而每块地砖的面积与所需数量的乘积都等于教室的面积54m2。
第14题：（1）斑马和长颈鹿的奔跑路程和奔跑时间成正比例。
（2）分析：可以通过图像直接估计，先在横轴上找到18分的位置，然后在两个图像中找到相应的点，再分别在竖轴上找到与这个点对应的数值；也可以通过计算找到。
解答：从图像中可以知道斑马10min跑12km，那么1min跑1.2km，18min跑1.2×18=21.6（km）。
从图像中可以知道长颈鹿5min跑4km，1min跑0.8km，18min跑0.8×18=14.4（km）。
（3）斑马跑得快。
第3课时反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用x和y表示两种相关联的量，x和y成反比例关系用字母表示为×y=k（一定）
正比例与反比例的相同点和不同点：
相同点：都表示两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。
不同点：正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。
《反比例》数学教案7
从容说课
我们学习知识的目的就是为了应用，如能把书本上学到的知识运用到实际生活中，这就说明确实把知识学好了，会用了
用函数观点处理实际问题的关键在于分析实际情境、建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，教学时应注意分析的过程，即将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以看成什么?让学生逐步学会用数学的眼光考查实际问题.同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想
此外，解决实际问题时.还要引导学生体会知识之间的联系以及知识的综合运用
教学目标
(一)教学知识点
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力
(二)能力训练要求
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力
(三)情感与价值观要求
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用
教学重点
用反比例函数的知识解决实际问题
教学难点
如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题
教学方法
教师引导学生探索法
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢？
[生]是为了应用
[师]很好；学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢？本节课我们就来学一学
Ⅱ. 新课讲解
某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务；你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板画积为 0.2 m2时.压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象
(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题
请大家互相交流后回答
[生](1)由p=得p=
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数
(2)当S= 0.2 m2时， p==3000(Pa)
当木板面积为 0.2m2时，压强是3000Pa.
(3)当p=6000 Pa时，
S==0.1(m2)
如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要 0.1 m2
(4)图象如下：
(5)(2)是已知图象上某点的'横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢？
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在
[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢？
[生]是，应为p＝ (S>0).
做一做
1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图；
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
[师]从图形上来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.
[生]解：(1)由题意设函数表达式为I＝
∵A(9，4)在图象上，
∴U＝IR＝36
∴表达式为I=
蓄电池的电压是36伏
(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6，4.5，3.6
电源不超过 10 A，即I最大为 10 A，代入关系式中得R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R≥3.6这个范围内
2、如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(,2)
(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的?与同伴进行交流
[师]要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的
坐标即求y＝k1x与y=的交点
[生]解：(1)∵A(,2)既在y＝k1x图象上，又在y＝的图象上
∴k1＝2，2＝
∴k1=2,k2=6
∴表达式分别为y＝2x,y＝
∴x2=3
∴x=±
当x= ?时，y= ?2
∴B(?，?2)
Ⅲ.课堂练习
1.某蓄水池的排水管每时排水 8 m3，6 h可将满池水全部排空
(1)蓄水池的容积是多少？
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？
(3)写出t与Q之间的关系式；
(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？
(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？
解：(1)8×6＝48(m3)
所以蓄水池的容积是 48 m3
(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.
(3)t与Q之间的关系式为t=
(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为=9.6(m3)
(5)已知排水管的最大排水量为每时 12m3，那么最少要＝4小时可将满池水全部排空.
Ⅳ、课时小结
节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.
Ⅴ课后作业
习题5.4.
板书设计
§ 5.3反比例函数的应用
一、1.例题讲解
2.做一做
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业(习题5.4)
《反比例》数学教案8
教学目标
1．使学生理解正、反比例的意义，能够初步判断两种相关联的量是否成比例，成什么比例．
2．通过观察、比较、归纳，提高学生综合概括推理的能力．
3．渗透辩证唯物主义的观点，进行运用变化观点的启蒙教育．
教学重难点
理解正反比例的.意义，掌握正反比例的变化的规律．
教学过程
一、导入新课
（一）昨天老师买了一些苹果，吃了一部分，你能想到什么？
（二）教师提问
1．你为什么马上能想到还剩多少呢？
2．是不是因为吃了的和剩下的是两种相关联的量？
教师板书：两种相关联的量
（三）教师谈话
在实际生活中两种相关的量是很多的，例如总价和单价是两种相关联的量，总价和
数量也是两种相关联的量．你还能举出一些例子吗？
二、新授教学
（一）成正比例的量
例1．一列火车行驶的时间和所行的路程如下表：
时间（时）：路程（千米）
1 ：90
2 ：180
3 ：270
4 ：360
5 ：450
6 ：540
7 ：630
8 ：720
1．写出路程和时间的比并计算比值．
（1） 2表示什么？180呢？比值呢？
（2） 这个比值表示什么意义？
（3） 360比5可以吗？为什么？
2．思考
（1）180千米对应的时间是多少？4小时对应的路程又是多少？
（2）在这一组题中上边的一列数表示什么？下边一列数表示什么？所求出的比值呢？
教师板书：时间、路程、速度
（3）速度是怎样得到的？
教师板书：
（4）路程比时间得到了速度，速度也就是比值，比值相当于除法中的什么？
（5）在这组题中谁与谁是两种相关联的量？它们是如何相关联的？举例说明变化规律．
3．小结：有什么规律？
《反比例》数学教案9
教学内容：
《反比例的意义》是六年制小学数学（北师版）第十二册第二单元中的内容。是在学过“正比例的意义”的基础上，让学生理解反比例的意义，并会判断两个量是否成反比例关系，加深对比例的理解。
学生分析：
在此之前，他们学习了正比例的意义，对“相关联的量”、“成正比例的两个量的变化规律”、“如何判断两个量是否成正比例”已经有了认识，这为学习《反比例的意义》奠定了基础。
教学目标：
1、知识与技能目标：使学生认识成反比例的量，理解反比例的意义，并学会判断两种相关联的量是否成反比例。进一步培养学生观察、学析、综合和概括等能力。初步渗透函数思想。
2、过程与方法：为学生营造一个经历知识产生过程的情境。
3、情感与态度目标：使学生在自主探索与合作交流中体验成功的乐趣，进一步增强学好数学的信心。
教学重点：理解反比例的意义。
教学难点：两种相关联的量的变化规律。
教学准备：学生准备：复习正比例关系，预习本节内容。
教师准备：投影片3张，每张有例题一个。
教学过程设计：
一、谈话引入，激发兴趣。
1、谈话：通过最近一段时间的观察，我发现同学们越来越聪明了，会学数学了，这是因为同学们掌握了一定的`数学学习的基本方法。下面请回想一下，我们是怎样学习成正比例的量的？这节课我们用同样的学习方法来研究比例的另外一个规律。
2、导入：在实际生活中，存在着许多相关联的量，这些相关联的量之间有的是成正比例关系，有的成其他形式的关系，让我们一起来探究下面的问题。
二、创设情景引新：
（出示：十二个小方块）
师：同学们，这十二个小方块有几种排法？
（生答后，老师板书下表的排列过程）
每行个数1234612
行数1264321
师：请你观察上表中每行个数与行数成正比例关系吗？为什么？
生：……
师：这两种量这间有关系吗？有什么关系？这就是我们今天要研究的内容。
（出示课题：反比例的意义）
三、合作自学探知
1、学习例4。
（1）出示例4。
师：请同学们在小组内互相交流，并围绕这三个问题进行讨论，再选出一位组员作代表进行汇报。
A、表中有哪两种量？
B、怎样随着每小时加工的数量变化？
c、每两个相对应的数的乘积各是多少？
学生讨论……
生反馈：……
师：能不能举出三个例子
生：1020＝6002030＝6003020＝600……
师：这里的600是什么数量？你能说出这里的数量关系式吗？
生：……
［板书出示：每小时加工数加工时间=零件总数（一定）］
2、自学例5：
（1）出示例5：
师：先请同学们按要求在书上填空，并说说是怎样算的？根据什么？
生：……
师：模仿例4的方法，提出三个问题自己学习例5（出示三个问题）
生：……
3、讨论准备题：
（1）请你根据例4的方法，四人小组内说一说。
（2）请你举例说明表中每行个数与行数是什么关系？为什么？
四、比较感知特征
综合例4、例5、准备题的共同点师：比较一下例4、例5和准备题，请同学们在小组中讨论一下，互相说说这三个题目有什么共同的特征？
生：……
五、引导概括意义
1、概括反比例意义。
学生在说相同点时老师边引导边说明。当学生说出三个特征后，教师板书这三个特征。
师：请同学们根据我们上节课学的正比例的意义猜测一下，符合三个特征的二个量叫做成什么量？相互这间成什么关系？
生：……
师：请阅读课本第十六页，同桌互相说说怎样的两个量成反比例关系。
学生互相练习……
师：哪位同学来告诉大家，两种量如果成反比例必须符合哪三个条件？
生：……
师：例4、例5和准备题中的两种量成不成反比例？为什么？
生：……（学生回答后，老师及时纠正）
师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么上面这种关系式可以怎样写呢？
生：……［板书出示y=k（一定）］
2、教学例6。
（1）课件出示例6。
（学生读题、思考）
师：怎样判断两种量成不成反比例？
师：哪位同学说说，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？为什么？
生：因为每天播种的公顷数要用的天数＝播种的总公顷数（一定），所以每天播种的公顷数和要用的天数是成反比例的量。
六、小结：这节课同学们学到了哪些知识？运用了哪些学习方法？还有哪些不懂的问题？
[案例分析]：
通过联系生活实际，学习成反比例的量，体会数学与生活的紧密联系。不对研究的过程做详细的引导和说明，只提供研究的素材和数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程，获得学习成功的体验。通过引导学生观察、分析、比较、归纳，形成良好的思维习惯和思维品质。同时加深学生对数量关系的认识，渗透函数思想，为中学的数学学习做好知识准备。学习方式的转变是新课改的显著特征，就是把学习过程中的分析、发现、探究、创新等认识活动凸显出来。在设计《反比例的意义》时，根据学生的知识水平，对教学内容进行处理，克服教材的局限性，最大限度地拓宽探究学习的空间，提供自主学习的机会。
《反比例》数学教案10
教学目标：
1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;
2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质;
3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想;
4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程;
5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.
教学重点：
结合图象分析总结出反比例函数的性质;
教学难点：描点画出反比例函数的图象
教学用具：直尺
教学方法：小组合作、探究式
教学过程：
1、从实际引出反比例函数的概念
我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例
即vt=S(S是常数);
当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S(S是常数)
从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：
(S是常数)
(S是常数)
一般地，函数 (k是常数， )叫做反比例函数.
如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的.反比例函数.当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数.
在现实生活中，也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供
2、列表、描点画出反比例函数的图象
例1、画出反比例函数 与 的图象
解：列表
说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图
一般地反比例函数 (k是常数， )的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.
3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质
前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.
显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案仅供参考)
(1) 的图象在第一、三象限.可以扩展到k 0时的情形，即k0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
的讨论与此类似.
抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
(2)函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小;
从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小;若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
同样可以推出 的图象的性质.
(3)函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零;如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.
函数 的图象性质的讨论与次类似.
4、小结：
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.
5、布置作业 习题13.8 1-4
《反比例》数学教案11
教学目标
1、理解反比例的意义。
2、能根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
3、培养学生的抽象概括能力和判断推理能力。
教学重点
引导学生理解反比例的意义。
教学难点
利用反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
教学过程
一、复习准备（演示课件：成反比例的量）
1、下表中的两种量是不是成正比例？为什么？
购买练习的本数（本）
1
2
4
6
9
总价（元）
0.80
1.60
3.20
4.80
7.20
2、回忆：成正比例的量有什么特征？
二、新授教学
（一）引入新课
我们已经学习了常见数量关系中成正比例关系的量的特征。这节课我们继续研究常见的数量关系中的另外一种特征成反比例的量。
教师板书：成反比例的量
（二）教学例4（演示课件：成反比例的量）
1、出示例4，提出观察思考要求：
从表中你发现了什么？这个表同复习的表相比，有什么不同？
（1）表中的两种量是每小时加工的数量和所需的加工时间。
教师板书：每小时加工数和加工时间
（2）每小时加工的数量扩大，所需的加工时间反而缩小；每小时加工的数量缩小，所需的加工时间反而扩大。
教师追问：这是两种相关联的量吗？为什么？
（3）每两个相对应的数的乘积都是600.
2、这个600实际上就是什么？每小时加工数、加工时间和零件总数，怎样用式子表示它们之间的关系？
教师板书：零件总数
每小时加工数加工时间＝零件总数
3、小结
通过刚才的研究，我们知道，每小时加工数和加工时间是两种相关联的量，每小时加工数变化，加工时间也随着变化，每小时加工数乘以加工时间等于零件总数，这里的零件总数是一定的。
（三）教学例5（演示课件：成反比例的量）
1、出示例5，根据题意，学生口述填表。
2、教师提问：
（1）表中有哪两种量？是相关联的量吗？
教师板书：每本张数和装订本数
（2）装订的本数是怎样随着每本的张数变化的？
（3）表中的两种量有什么变化规律？
（四）比较例4和例5，概括反比例的意义。
1、请你比较例4和例5，它们有什么相同点？
（1）都有两种相关联的量。
（2）都是一种量变化，另一种量也随着变化。
（3）都是两种量中相对应的两个数的积一定。
2、教师小结
像这样的两种量，我们就把它们叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
3、如果用字母x和x表示两种相关联的量，用x表示它们的积一定，反比例关系可以用一个什么样的.式子表示？
教师板书：＝（一定）
（五）教学例6（演示课件：成反比例的量）
1、出示例6，教师提问：
（1）每天播种的公顷数和要用的天数是不是相关联的量？
（2）每天播种的公顷数和要用的天数有什么关系？它们的积是什么？这个积一定吗？
（3）播种总公顷数一定，每天播种公顷数和要用的天数成反比例吗？为什么？
2、思考：播种的总公顷数一定，已经播种的公顷数和剩下的公顷数是不是成反比例？
三、课堂小结
这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两种量是成反比例的量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。在判断时，同学们要按照反比例的意义，认真分析，做出正确的判断。
四、课堂练习
（一）判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。
1、路程一定，速度和时间。
2、小明从家到学校，每分走的速度和所需时间。
3、平行四边形面积一定，底和高。
4、小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。
5、小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量。
（二）你能举一个反比例的例子吗？
五、课后作业
判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由。
1、煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数。
2、种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。
3、李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。
4、华容做12道数学题，做完的题和没有做的题。
5、生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。
6、长方形的面积一定，它的长和宽。
7、小林拿一些钱买练习本，单价和购买的数量。
六、板书设计
成反比例的量
例4.每小时加工数加工时间＝零件总数（一定）
例5.每本页数装订本数＝纸的总页数（一定）
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。
＝（一定）
例6.因为：每天播种的公顷数天数＝播种的总公顷数（一定）
所以：每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。
《反比例》数学教案12
三维目标
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2． 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
教学重点
掌握从物理问题中建构反比例函数模型．
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问 属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．
在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
设计意图：
运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力．
师生行为：
可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．
教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．
师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值．
生：(1)解：设I＝kR ∵R＝5，I＝2，于是
2＝k5 ，所以k＝10，∴I＝10R ．
(2) 当I＝0.5时，R＝10I＝100.5 ＝20(欧姆)．
师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么 样的原理呢?
生：这是古希腊科学家阿基米德的.名言．
师：是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”： 若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；
阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如下图)
下面我们就来看一例子．
二、讲授新课
活动2
小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
设计意图：
物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用．
师生行为：
先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．
教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系．
教师在此活动中应重点关注：
①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；
②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；
③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣．
师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题．
生：解：(1)根据“杠杆定律” 有
Fl＝1200×0.5．得F ＝600l
当l＝1.5时，F＝6001.5 ＝400．
因此，撬动石头至少需要400牛顿的力．
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有
Fl＝600，
l＝600F ．
当F＝400×12 ＝200时，
l＝600200 ＝3．
3－1.5＝1.5(米)
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．
生：也可用不等式来解，如下：
Fl＝600，F＝600l ．
而F≤400×12 ＝200时．
600l ≤200
l≥3．
所以l－1.5≥3－1.5＝1.5．
即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米．
生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出．
师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：
用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?
生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力×阻力臂＝k(常数且k＞0)，所以根据“杠杆定理”得Fl＝k，即F＝kl (k为常数且k＞0)
根据反比例函数的性质，当k＞O时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力．
师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用．
活动3
问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0．4)元成反比例．又当x＝0．65元时，y＝0.8．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
设计意图：
在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．
师生行为：
由学生先独立思考，然后小组内讨论完成．
教师应给予“学困生”以一定的帮助．
生：解：(1)∵y与x －0．4成反比例，
∴设y＝kx－0.4 (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入y＝kx－0.4 ，得
k0.65－0.4 ＝0.8．
解得k＝0.2，
∴y＝0.2x－0.4＝15x－2
∴y与x之间的函数关系为y＝15x－2
(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x－2 )＝0.3(1＋10.6×5－2 )＝0.3×2＝0.6(亿元)
答：本年度的纯收人为0.6亿元，
师生共析：
(1)由题目提供的信息知y与(x－0.4)之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x＝0.65时，y＝0.8得出字母系数的值；
(2)纯收入＝总收入－总成本．
三、巩固提高
活动4
一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m3)是密度ρ(kg／m3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度ρ＝1.1 kg／m3时二氧化碳气体的体积V的值．
设计意图：
进一步体现物理和反比例函数的关系．
师生行为
由学生独立完成，教师讲评．
师：若要求出ρ＝1.1 kg／m3时，V的值，首先V和ρ的函数关系．
生：V和ρ的反比例函数关系为：V＝990ρ ．
生：当ρ＝1.1kg／m3根据V＝990ρ ，得
V＝990ρ ＝9901.1 ＝900(m3)．
所以当密度ρ＝1. 1 kg／m3时二氧化碳气体的气体为900m3．
四、课时小结
活动5
你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解 析式，再根据解析式解得．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性．
师生行为：
学生可分小组活动，在小组内交流收获， 然后由小组代表在全班交流．
教师组织学生小结．
反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
板书设计
17．2 实际问题与反比例函数(三)
1．
2．用反比例函数的知识解释：在我们使 用撬棍时，为什么动 力臂越长越省力?
设阻力为F1，阻力臂长为l1，所以F1×l1＝k(k为常数且k＞0)．动力和动力臂分别为F，l．则根据杠杆定理，
Fl＝k 即F＝kl (k＞0且k为常数)．
由此可知F是l的反比例函数，并且当k＞0时，F随l的增大而减小．
活动与探究
学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y与另一边x之间的函数关系式如下图所示．
(1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗?
(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m，那么它的宽应控制在什么范围内?
x(m) 10 20 30 40
y(m)
过程：点A(40，10)在反比例函数图象上说明点A的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数k的值．
结果：(1)绿化带面积为10×40＝400(m2)
设该反比例函数的表达式为y＝kx ，
∵图象经过点A(40，10)把x＝40，y＝10代入，得10＝k40 ，解得，k＝400．
∴函数表达式为y＝400x ．
(2)把x＝10，20，30，40代入表达式中，求得y分别为40，20，403 ，10．从图中可以看出。若长不超过40m，则它的宽应大于等于10m。
《反比例》数学教案13
1、成正比例的量
教学内容：成正比例的量
教学目标：
1.使学生理解正比例的意义，会正确判断成正比例的量。
2.使学生了解表示成正比例的量的图像特征，并能根据图像解决有关简单问题。
教学重点：正比例的意义。
教学难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。
教学过程：
一揭示课题
1．在现实生活中，我们常常遇到两种相关联的量的变化情况，其中一种量变化，另一种量也随着变化，你以举出一些这样的例子吗？
在教师的此导下，学生会举出一些简单的例子，如：
（1）班级人数多了，课桌椅的数量也变多了；人数少了，课桌椅也少了。
（2）送来的牛奶包数多了，牛奶的总质量也多了；包数少了，总质量也少了。
（3）上学时，去的速度快了，时间用少了；速度慢了，时间用多了。
（4）排队时，每行人数少了，行数就多了；每行人数多了。行数就少了。
2．这种变化的量有什么规律？存在什么关系呢？今天，我们首先来学习成正比例的量。板书：成正比例的量
二探索新知
1．教学例1
（1）出示例题情境图。
问：你看到了什么？
生：杯子是相同的。杯中水的高度不同，水的体积也不同，高度越高体积越大；高度越低，体积越小。
（2）出示表格。
高度/㎝24681012
体积/㎝350100150200250300
底面积/㎝2
问：你有什么发现？
学生不难发现：杯子的底面积不变，是25㎝2。
板书：
教师：体积与高度的比值一定。
（2）说明正比例的意义。
①在这一基础上，教师明确说明正比例的意义。
因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的'高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积和高度的比值一定。
板书出示：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
②学生读一读，说一说你是怎么理解正比例关系的。
要求学生把握三个要素：
第一，两种相关联的量；
第二，其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。
第三，两个量的比值一定。
（3）用字母表示。
如果用字母X和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的比值（一定），比例关系可以用正的式子表示：
（4）想一想：
师：生活中还有哪些成正比例的量？
学生举例说明。如：
长方形的宽一定，面积和长成正比例。
每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。
衣服的单价一不定期，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。
地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例。
2．教学例2。
（1）出示表格（见书）
（2）依据下表中的数据描点。（见书）
（3）从图中你发现了什么？
这些点都在同一条直线上。
（4）看图回答问题。
①如果杯中水的高度是7㎝，那么水的体积是多少？
生：175㎝3。
②体积是225㎝3的水，杯里水面高度是多少？
生：9㎝。
③杯中水的高度是14㎝，那么水的体积是多少？描出这一对应的点是否在直线上？
生：水的体积是350㎝3，相对应的点一定在这条直线上。
（5）你还能提出什么问题？有什么体会？
通过交流使学生了解成正比例量的图像特往。
3．做一做。
过程要求：
（1）读一读表中的数据，写出几组路程和时间的比，说一说比值表示什么？
比值表示每小时行驶多少千米。
（2）表中的路程和时间成正比例吗？为什么？
成正比例。理由：
①路程随着时间的变化而变化；
②时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；
③种程和时间的比值（速度）一定。
（3）在图中描出表示路程和时间的点，并连接起来。有什么发现？所描的点在一条直线上。
（4）行驶120KM大约要用多少时间？
（5）你还能提出什么问题？
4．课堂小结
说一说成正比例关系的量的变化特征。
三巩固练习
完成课文练习七第1～5题。
2、成反比例的量
教学内容：成反比例的量
教学目标：
1．经历探索两种相关联的量的变化情况过程，发现规律，理解反比例的意义。
2．根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
教学重点：反比例的意义。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学过程：
一导入新课
1．让学生说一说成正比例的两种量的变化规律。
回答要点：
（1）两种相关联的量；
（2）一个量增加，另一个量也相应增加；一个量减少，另一个量也相应减少；
（3）两个量的比值一定。
2．举例说明。
如：每袋大米质量相同，大米的袋数与总质量成正比例。
理由：
（1）每袋大米质量一定，大米的总质量随着袋数的变化而变化；
（2）大米的袋数增加，大米的总质量也相应增加，大米的袋数
减少，大米的总质量也相应减少；
（3）总质量与袋数的比值一定。
所以，大米的袋数与总质量成正比例。
板书：
3．揭示课题。
今天，我们一起来学习反比例。两种量是什么样的关系时，这两种量成反比例呢？
板书课题：成反比例的量[ 内 容 结 束 ]
《反比例》数学教案14
教学内容：教科书第22—24页反比例的意义，练习六的第4—6题。
教学目的：
1．使学生理解反比例的意义．能够正确判断两种量是不是成反比例。
2．使学生进一步认识事物之间的相互联系和发展变化规律。
3．初步渗透函数思想。
教具准备：投影仪、投影片、小黑板。
教学过程（）：
一、复习
1．让学生说说什么是成正比例的量：
2．用投影片出示下面的题：
(1)下面各题中哪两种量成正比例?为什么?
①笔记本单价一定，数量和总价：
⑨汽车行驶速度一定．行驶的路程和时间。
②工作效率一定．’工作时间和工作总量。
①一袋大米的重量一定．吃了的和剩下的。
(2)说出每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在什么条件下，其中两种量成正比例?
二、导入新课
教师：如果加工零件总数一定。每小时加工数和加工时间会成什么样的变化．关系怎样?就是我们这节课要学习的内容。
三、新课
1．教学例4。
出示例4；丰机械厂加工一批机器零件。每小时加工的数量和所需的加工时间如下表。
让学生观察这个表，然后每四人一组讨论下面的问题：
(1)表中有哪两种量?
(2)所需的加工时间怎样随着每小时加工的个数变化?
(3)每两个相对应的数的乘积各是多少?
学生分组讨论后集中发言。然后每个小组选代表回答上面的问题。随着学生的回答，教师板书如下：每小时加工数加工时间
10 × 60 ＝600。
30 × 20 ＝600。
40 × 15 ＝600，
“这个积600。实际上是什么?”在“加工时间”后面板书：零件总数
“积一定，就说明零件总数怎样?”在零件总数后面板书：(一定)
“每小时加工数、加工时间和零件总数这三种量有什么关系呢?”
学生回答后，教师小结：通过刚才的观察分析．我门可以看出。表中每小时加工零件数和所需的加工时间是两种相关联的量。所需的加工时间是随着每小时加工数量的变化而变化的，每小时加工的数量扩大。所需的加工时间反而缩小3每小时加工的数量缩小，所需的加工的时间反而扩大。它们扩大、缩小的规律是：每小时加工的零件的数量和所需的加工时间的积都等于600，即总是一定的：我们把这种关系写成式子就是：每小时加工数×加工的时间＝零件总数(一定)。
2．教学例5。
用小黑板出示例5用600页纸装订成同样的练习本，每本的页数和装订的本数有什么关系呢?请你先填写下表。
(1)理解题意，填写装订本数。
“谁能说说表中第一栏数据的意思?”(用600页纸装订练习本，如果每本练习本15页，可以装订40本。)
“这40本是怎么计算出来的?”(用600÷15)
“如果每本练习本是20页，你能计算出可以装订多少这样的练习本吗?如果每本是25页呢?……请你把计算出来的本数填在教科书第23页的表中。”教师把学生报出的数据填在黑板上的表中。
(2)观察分析表中两种量的变化规律。
让学生观察上表，回答下面的问题：“表中有哪两种量?”(板书：每本的页数装订的本数)
“装订的本数是怎样随着每本的页数变化的.?”随着学生的回答，板书如下：每本的页数 装订的本数
15 40
20 30
25 24
一’然后让学生判断下面每题中的两种量成不成比例，是成正比例还是成反比例。
1，单价一定．数量和总价。
2，路程一定，速度和时间。。
3，正方形的边长和它的面积。
1．时间一定，工效和工作总量。
二、导入新课
教师：我们在前两节课分别学习了成正比例的量和成反比例的量。初步学会判断
两种量是不是成正比例或反比例的关系，发现有些同学判断时还不够准确。这节课我
们要通过比较弄清成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点。
板书课题：正比例和反比例的比较
三、新课
1．教学例7。
出示例7的两个表：
表1 表2
让学生观察上面的两个表，然后根据两个表所提的问题，分别在教科书上填空。订正时。指名说出自己是怎样填的，教师板书：
在表l中： 在表2中：
相关联的量是路程和时间． 路程随着相关联的量是速度 路程随 时间变化，速度是 和时间，速度随着时间变化
一定。因此，路程和时间 ，路程是一定的。因此，速
成正比例关系。 度和时间成反比例关系
然后提问：
(1)从表1，你怎样发现速度是一定的?你根据什么判断路程和时间成正比例/
(2)从表2，你怎样发现路程是一定的?你根据什么判断速度和时间成反比例?
教师：路程、速度和时间这三个量中每两个量之间有什么样的比例关系?
板书：速度×时间＝路程
=速度 =速度
教师：当速度一·定时，路程和时间成什么比例关系?
教师：当路程一定时，速度和时间成什么比例关系?
教师：当时间一定时。路程和速度成什么比例关系?
2．比较正比例和反比例关系。
教师：结合上面两个例子，比较——下正比例关系和反比例关系，你能写出它们的相同点和不同点吗?试试看。组织讨论，教师归纳并板书：
四、巩固练习
1．做教科书第28页“做一做”中的题目。
让学生自己填，并说一说为什么。
2．做练习七的第1—2题。
教师巡视，个别辅导，最后订正。
五、小结
教师：请同学们说说正比例和反比例关系有什么相同点和不同点?
《反比例》数学教案15
知识技能目标
1、理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质；
2、利用反比例函数的图象解决有关问题。
过程性目标
1、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；
2、探索反比例函数的图象的性质，体会用数形结合思想解数学问题。
教学过程
一、创设情境
上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线。那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质。
二、探究归纳
1、画出函数的图象。
分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0。
解
1、列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2、描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点（—6，—1）、（—3，—2）、（—2，—3）等。
3、连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象。
上述图象，通常称为双曲线（hyperbola）。
提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）。
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题。
1、这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？
2、反比例函数（k≠0）的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
反比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
（2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。
注
1、双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2、双曲线的两个分支关于原点成中心对称。
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？
在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少。
在问题2中反映了在面积一定的情况下，饲养场的一边越长，另一边越小。
三、实践应用
例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值。
分析由反比例函数的定义可知：，又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值。
解由题意，得解得。
例2已知反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx—k的图象经过的象限。
分析由于反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，因此k<0，而一次函数y=kx—k中，k<0，可知，图象过二、四象限，又—k>0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方。
解因为反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx—k的图象经过一、二、四象限。
例3已知反比例函数的图象过点（1，—2）。
（1）求这个函数的解析式，并画出图象；
（2）若点A（—5，m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析（1）反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
（2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上。
解（1）设：反比例函数的解析式为：（k≠0）。
而反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。
所以，k=—2。
即反比例函数的解析式为：。
（2）点A（—5，m）在反比例函数图象上，所以，
点A的坐标为。
点A关于x轴的对称点不在这个图象上；
点A关于y轴的对称点不在这个图象上；
点A关于原点的对称点在这个图象上；
例4已知函数为反比例函数。
（1）求m的值；
（2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
（3）当—3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值。
解（1）由反比例函数的`定义可知：解得，m=—2。
（2）因为—2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大。
（3）因为在第个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x=时，y最大值=；
当x=—3时，y最小值=。
所以当—3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为。
例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米。
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象。
解（1）因为100=5xy，所以。
（2）x>0。
（3）图象如下：
说明由于自变量x>0，所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支。
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质。
1、反比例函数的图象是双曲线（hyperbola）。
2、反比例函数有如下性质：
（1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
（2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。
五、检测反馈
1、在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）；（2）。
2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求：
（1）y和x的函数关系式；
（2）当时，y的值；
（3）当x取何值时，？
3、若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值。
4、已知反比例函数经过点A（2，—m）和B（n，2n），求：
（1）m和n的值；
（2）若图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1<0
【《反比例》数学教案】相关文章：
《反比例》数学教案12-07
《反比例》数学教案15篇02-17
《反比例》数学教案(15篇)02-17
《反比例的意义》六年级数学教案03-13
《反比例》教学反思08-28
数学反比例教案03-25
《反比例》教学反思03-13
反比例函数教学反思04-05
《反比例的意义》教学反思03-15