数学等差数列教案9篇
作为一名老师，时常要开展教案准备工作，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。教案应该怎么写呢？以下是小编为大家整理的数学等差数列教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
数学等差数列教案1
一、等差数列
1、定义
注：“从第二项起”及
“同一常数”用红色粉笔标注
二、等差数列的通项公式
（一）例题与练习
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件； f
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0"6vG
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想： a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+（n—1）d
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1） 当n=1时，（1）也成立， 所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。 对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用 同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 是一个实际建模问题 建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的'楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点） 设置此题的目的： 1。加强同学们对应用题的综合分析能力， 2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣； 3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法 （四）反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。 3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1。等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题 （六）布置作业 必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题 选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 五、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。 2．会解决知道中的三个，求另外一个的问题。 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 一、复习引入：（课件第一页） 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 （课件第二页） ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈n ，则此数列是等差数列，d 为公差。 2．等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： （课件第二页） 第二通项公式 （课件第二页） 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 例2 在等差数列 中，已知 ， ，求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论。 小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率 例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。（课本p112例3） 例5 已知数列{ }的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？（课本p113例4） 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 注：①若p=0，则{ }是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的'图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数. 四、练习： 1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项. （2）求等差数列10，8，6，……的第20项. （3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （4）－20是不是等差数列0，－3 ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2.在等差数列{ }中， （1）已知 =10, =19,求 与d; 五、课后作业： 习题3.2 1（2），（4） 2.（2）， 3， 4， 5， 6 . 8. 9. 教学目标： 1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。 3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 教学重点： 等差数列的概念及通项公式。 教学难点： (1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 (2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。 2.由生活中具体的数列实例引入 (1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出： 你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗? (2)某剧场前10排的座位数分别是： 48、46、44、42、40、38、36、34、32、30 引导学生观察：数列①、②有何规律? 引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。 二.新课探究，推导公式 1.等差数列的概念 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 强调以下几点： ① “从第二项起”满足条件; ②公差d一定是由后项减前项所得; ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” ); 所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。 在学生对等差数列有了直观认识的基础上，我将给出练习题，以巩固知识的学习。 [练习一]判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是?如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。 1.3，5，7，…… √ d=2 2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3 3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4. 1，2，3，2，3，4，……;× 5. 1，0，1，0，1，……× 在这个过程中我将采用边引导边提问的方法，以充分调动学生学习的积极性。 2.等差数列通项公式 如果等差数列{an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得： a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d …… 猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的'通项公式：an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： n=a1+(n-1)d a2-a1=d a3-a2=d a4-a3 =d …… an –a(n-1) =d 将这(n-1)个等式左右两边分别相加，就可以得到 an-a1=(n-1)d 即an=a1+(n-1)d (Ⅰ) 当n=1时，(Ⅰ)也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式(Ⅰ)都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。 三.应用举例 例1求等差数列，12，8，4，0，…的第10项;20项;第30项; 例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项? 四.反馈练习 1.P293练习A组第1题和第2题(要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问)。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。 五.归纳小结提炼精华 (由学生总结这节课的收获) 1.等差数列的概念及数学表达式. 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一 六.课后作业运用巩固 必做题：课本P284习题A组第3，4，5题 [教学目标] 1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。 2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。 3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 [教学重难点] 1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。 2.教学难点： (1)对等差数列中“等差”两字的把握; (2)等差数列通项公式的推导。 [教学过程] 一.课题引入 创设情境引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子) 二、新课探究 (一)等差数列的定义 1、等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 (1)定义中的关健词有哪些? (2)公差d是哪两个数的差? (二)等差数列的通项公式 探究1:等差数列的通项公式(求法一) 如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示?呢? 根据等差数列的定义可得： 因此等差数列的通项公式就是:， 探究2:等差数列的通项公式(求法二) 根据等差数列的定义可得： 将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:， 三、应用与探索 例1、(1)求等差数列8，5，2，…，的'第20项。 (2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401? (2)、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。 例2、在等差数列中,已知=10,=31，求首项与公差d. 解：由，得。 在应用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d过程中,对an,a1,n,d这四个变量,知道其中三个量就可以求余下的一个量,这是一种方程的思想。 巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1,则a=()。 2.一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d。 四、小结 1.等差数列的通项公式: 公差; 2.等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式an=a1+(n-1)d,求余下的一个量; 3.判断一个数列是否为等差数列只需看是否为常数即可; 4.利用从特殊到一般的思维去发现数学系规律或解决数学问题. 五、作业： 1、必做题：课本第40页习题2.2第1，3，5题 2、选做题：如何以最快的速度求：1+2+3+???+100= 2。2。1等差数列学案 一、预习问题： 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母 表示。 2、等差中项：若三个数 组成等差数列，那么A叫做 与 的 ， 即 或 。 3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不可能是 。 4、等差数列的通项公式： 。 5、判断正误： ①1，2，3，4，5是等差数列; （ ） ②1，1，2，3，4，5是等差数列; （ ） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; （ ） ④数列 是公差为 的等差数列; （ ） ⑤数列 是等差数列; （ ） ⑥若 ，则 成等差数列; （ ） ⑦若 ，则数列 成等差数列; （ ） ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的'数列; （ ） ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。 （ ） 6、思考：如何证明一个数列是等差数列。 二、实战操作： 例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。 （2） 是不是等差数列 中的项？如果是，是第几项？ （3）已知数列 的公差 则 例2、已知数列 的通项公式为 ，其中 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 求这5个数。 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78. 师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征. 生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数. 师：作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒. 师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列. 这就是我们这节课要研究的内容. 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示). （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差. 师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力) 生：从“第二项起”和“同一个常数”. 师：：很好！ 师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…. 师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的'通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考. ［合作探究］ 等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么? 生：a2-a1=d,即a2=a1+d. 师：对，继续说下去! 生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; …… 师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗? 生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗? 生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的： 因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了. ［教师：精讲］ 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到. ［例题剖析］ 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做. 生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个). 说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立. 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么? 生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数. 师：说得对，请你来求解. 生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数, 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 师：这里要重点说明的是： (1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…. (2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习 (1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙. 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式. (2)求等差数列10，8，6，…的第20项. 解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数. 解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项. (4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为. 令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项. 课堂小结 师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力) 生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1). 教学目标 1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质; 2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力; 归纳――猜想――证明的数学研究方法; 3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。 教学重难点 重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列; 难点：等比数列的性质的探索过程。 教学过程： 1、问题引入： 前面我们已经研究了一类特殊的数列――等差数列。 问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列? (学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。 已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。 师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 (第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。 问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。 (这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。) 2、新课： 1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。 师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的?类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么? 师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。 公式的推导：(师生共同完成) 若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有： 方法一：(累乘法) 3)等比数列的性质： 下面我们一起来研究一下等比数列的性质 通过上面的研究，我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方，这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等差数列的性质，通过类比得到等比数列的性质。 问题4：如果{an}是一个等差数列，它有哪些性质? (根据学生实际情况，可引导学生通过具体例子，寻找规律，如： 3、例题巩固： 例1、一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值。―― 答案：1458或128。 例2、正项等比数列{an}中，a6?a15+a9?a12=30，则log15a1a2a3…a20=_10____. 例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项? (本题为开放题，没有的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，则ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解) 1、小结： 今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习 我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比――猜想――证明的科学思维的过程。 2、作业： P129：1，2，3 思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些项：6，12，24，48，……，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项? 教学设计说明： 1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的`是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比――猜想――证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。 2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开： 1)通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义; 2)等比数列的通项公式的推导; 3)等比数列的性质; 有意识的引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路，一方面使学生回顾旧 知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。 在类比得到等比数列的定义之后，再对几个具体的数列进行鉴别，旨在遵循“特殊――一般――特殊”的认识规律，使学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的应用。培养学生应用知识的能力。 在得到等比数列的定义之后，探索等比数列的通项公式又是一个重点。这里通过问题3的设计，使学生产生不得不考虑通项公式的心理倾向，造成学生认知上的冲突，从而使学生主动完成对知识的接受。 通过等差数列和等比数列的通项公式的比较使学生初步体会到等差和等比的相似性，为下面类比学习等比数列的性质，做好铺垫。 等比性质的研究是本节课的――，通过类比 关于例题设计：重知识的应用，具有开放性，为使学生更好的掌握本节课的内容。 教学目标 1．明确等差数列的定义． 2．掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题 3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1． 等差数列的概念； 2． 等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 启发式数学 教具准备 投影片1张(内容见下面) 教学过程 (I)复习回顾 师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片） （Ⅱ）讲授新课 师：看这些数列有什么共同的特点？ 1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…； ② ③ 生：积极思考，找上述数列共同特点。 对于数列① （1≤n≤6）； （2≤n≤6） 对于数列② -2n（n≥1） （n≥2） 对于数列③ （n≥1） （n≥2） 共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的`差都等于同一个常数。 师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。 一、定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2， 。 二、等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 若将这n-1个等式相加，则可得： 即： 即： 即： …… 由此可得： 师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 。 如数列① （1≤n≤6） 数列②： （n≥1） 数列③： （n≥1） 由上述关系还可得： 即： 则： = 如： 三、例题讲解 例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：（1）由 n=20，得 （2）由 得数列通项公式为： 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。 （Ⅲ）课堂练习 生：（口答）课本P118练习3 （书面练习）课本P117练习1 师：组织学生自评练习（同桌讨论） （Ⅳ）课时小结 师：本节主要内容为：①等差数列定义。 即 (n≥2) ②等差数列通项公式 (n≥1) 推导出公式： （V）课后作业 一、课本P118习题3.2 1，2 二、1．预习内容：课本P116例2—P117例4 2．预习提纲：①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？ ②等差数列有哪些性质？ 板书设计 课题 一、定义 1．（n≥2） 一、通项公式 2．公式推导过程 例题 教学后记 一、教材分析 1、教学目标： A．理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想； B．培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 C 通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 2、教学重点和难点 ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。 二、教法分析 采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，六个教学环节构成。 (一)复习引入： 1.全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是c）分别是 21，22，23，24，25， 2.某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。 3．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：）是： 7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。 共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。 (二) 新课探究 1、给出等差数列的概念： 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③公差可以是正数、负数，也可以是0。 2、推导等差数列的通项公式 若等差数列{an }的首项是 ,公差是d, 则据其定义可得： - =d 即： = +d – =d 即： = +d = +2d – =d 即： = +d = +3d 进而归纳出等差数列的通项公式： = +(n-1)d 此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： – =d – =d – =d – =d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d 当n=1时，上面等式两边均为 ，即等式也是成立的，这表明当n∈ 时上面公式都成立，因此它就是等差数列{an }的通项公式。 接着举例说明：若一个等差数列｛ ｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的 、d、n、 这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的'项？如果是，是第几项？ 第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式 例2 在等差数列｛an｝中，已知 =10， =31，求首项 与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 (四)反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、若数列{ } 是等差数列,若 = ，（为常数）试证明：数列{ }是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1.等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式 = +(n-1) d会知三求一 (六) 布置作业 必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题 选做题：已知等差数列{ }的首项 = -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 四、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 【数学等差数列教案】相关文章： 数学等差数列教案02-25 数学等差数列教案05-31 数学教案：等差数列02-22 数学教案－等差数列08-17 等差数列数学教案06-13 等差数列数学教学教案优秀02-12 数学教案－§3.2.1 等差数列08-17 高一数学等差数列教案11-03 数学等差数列教案12篇（精品）05-31数学等差数列教案2
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