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高中数学教案

时间：2024-02-21 14:05:56 数学教案我要投稿

高中数学教案【集合】

　　作为一名教职工，常常需要准备教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是小编精心整理的高中数学教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

高中数学教案【集合】

高中数学教案1

　　一、教材分析

　　集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容、本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力、

　　函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系、函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些、函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系、用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点、反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识、函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终、高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数、函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型、

　　二、学情分析

　　1、学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面、通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性、

　　2、学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力、但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘、通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯、

　　3、在研究例4时，对分类的情况研究的不全面、为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键、

　　三、设计思路

　　本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”、在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理、一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯、在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题、通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式、在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想、在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点、

　　四、教学目标分析

　　(一)知识与技能

　　1、了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算、

　　A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系、

　　B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并、

　　2、理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质、

　　A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性；

　　B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系、

　　(二)过程与方法

　　1、通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化、

　　2、在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质、

　　(三)情感态度与价值观

　　在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力、在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心、在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质、

　　五、重难点分析

　　重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题、

　　难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系、

　　六、知识梳理(约10分钟)

　　提出问题

　　问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来、

　　问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗?

　　问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系、类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补、

　　问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗?请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点、

　　问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系、

　　在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案、在自己的原有方案的基础上进行补充与完善、

　　学生回答问题要点预设如下：

　　1、集合语言可以简洁准确表达数学内容、

　　2、运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、

　　3、函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用、

　　4、研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法、

　　设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻、让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效、让学生体会到知识的横向联系与纵向联系、通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的

　　七、易错点分析(约3分钟)

　　问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问题?

　　(任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现、教师不进行修改，呈现的是原始的)

　　教师展示学和成果并进行点评、

　　对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充、这个过程尽量由学生来完成，教师可以适应的引导与点评、

　　设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识、通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误、

　　八、考察点分析(约5分钟)

　　问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点、

　　问题8：知识的横纵联系、

　　学生回答问题要点预设如下：

　　1、集合中元素的互异性、

　　2、，则集合A可以是空集、

　　3、交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题、

　　4、函数的`单调性与奇偶性的证明、

　　5、作业与试卷中出现的问题、

　　6、学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面、

　　设计意图：让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答、例如如果试题中出现集合，无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算、

　　九、典型问题分析

　　例1：设集合

　　(1)若，求实数的值;

　　(2)若，求的值;

　　(3)若，求的值、教师点评，同时板书、

　　由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想、(预设有以下几个方面)从知识点来分析，这是集合问题、考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等、学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况、第2、3问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考、

　　设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯、能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍、通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想、

　　例2：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，求函数的解析式、

　　变式：函数是偶函数

　　教师对生回答进行点评、并板书、

　　学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充、

　　学生回答问题要点预设如下：

　　1、考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系、

　　2、函数的奇偶性的定义、

　　3、转化与化归的思想、

　　法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题、

　　法二：本法更具有一般性，已知

　　时，函数的解析式，要分析时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算、由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，所以可以研究的函数值、

　　设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想、函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系、体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质、

　　例3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断、

　　变式1：函数为奇函数

　　变式2：你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析、

　　学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充、

　　学生回答问题要点预设如下：

　　1、考察点为函数的奇偶性与单调性的关系、

　　2、函数的单调性的定义、

　　3、数形结合、转化与化归的思想、

　　法一：通过函数的图象分析、

　　法二：把要研究的范围转化为已知的范围、

　　设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列、同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想、通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明、

　　例4：求在区间上的最大值和最小值、

　　变式：在区间上的最大值是1，求的值、

　　教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响、

　　答案：时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是、

　　变式答案：或、

　　学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略、

　　学生回答考察点分析(预设)：

　　1、二次函数的图象与性质、

　　2、分类与整合、

　　3、逆向思维、

　　学生回答解题思路分析(预设)：

　　研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系、

　　设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点、

　　通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势、学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合、

　　十、课后小结

　　1、知识网络

　　2、知识的来龙去脉

　　3、问题中体现的数学思想

　　4、分析问题的基本思路

　　学生总结，教师板书、

　　设计意图：让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题、

　　十一、课后总结

　　巩固所学，补充课上的不足、主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题、

　　1、已知是定义在R上的函数，设：

　　(1)试判断的奇偶性;

　　(2)试判断的关系;

　　(3)由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由?

　　2、设函数：

　　(1)讨论的奇偶性;

　　(2)求的最小值、

　　3、已知集合，是否存在实数，同时满足、

　　4、将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少?

　　十二、教学反思

　　在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题、在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦、从而养成良好的学习习惯、树立信心、感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题、通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途、通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合、

高中数学教案2

　　教学目的：

　　掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题

　　教学重点：

　　圆的标准方程及有关运用

　　教学难点：

　　标准方程的灵活运用

　　教学过程：

　　一、导入新课，探究标准方程

　　二、掌握知识，巩固练习

　　练习：

　　1、说出下列圆的方程

　　⑴圆心（3，—2）半径为5

　　⑵圆心（0，3）半径为3

　　2、指出下列圆的圆心和半径

　　⑴（x—2）2+（y+3）2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2—6x+4y+12=0

　　3、判断3x—4y—10=0和x2+y2=4的位置关系

　　4、圆心为（1，3），并与3x—4y—7=0相切，求这个圆的`方程

　　三、引伸提高，讲解例题

　　例1、圆心在y=—2x上，过p（2，—1）且与x—y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）

　　练习：1、某圆过（—2，1）、（2，3），圆心在x轴上，求其方程。

　　2、某圆过A（—10，0）、B（10，0）、C（0，4），求圆的方程。

　　例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

　　例3、点M（x0，y0）在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程（一题多解，训练思维）

　　四、小结练习P771，2，3，4

　　五、作业P811，2，3，4

高中数学教案3

　　（一）教学具准备

　　直尺，投影仪．

　　（二）教学目标

　　1．掌握，的定义域、值域、最值、单调区间．

　　2．会求含有、的三角式的定义域．

　　（三）教学过程

　　1．设置情境

　　研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

　　2．探索研究

　　师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

　　生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

　　师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

　　师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

　　师：请同学思考以下几个问题：

　　（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

　　（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

　　（3）他们最值情况如何？

　　（4）他们的正负值区间如何分？

　　（5）的解集如何？

　　师生一起归纳得出：

　　（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是．

　　（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

　　（3）取最大值、最小值情况：

　　正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1．

　　余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1．

　　（4）正负值区间：

　　（）

　　（5）零点：（）

　　（）

　　3．例题分析

　　【例1】求下列函数的定义域、值域：

　　（1）；（2）；（3）．

　　解：（1），

　　（2）由（）

　　又∵，∴

　　∴定义域为（），值域为．

　　（3）由（），又由

　　∴

　　∴定义域为（），值域为．

　　指出：求值域应注意用到或有界性的`条件．

　　【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：

　　（1），；（2），；

　　（3）（4）．

　　解：（1）当，即（）时，取得最大值

　　∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．

　　（2）当时，即（）时，取得最大值．

　　∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．

　　（3）若，，此时函数为常数函数．

　　若时，∴时，即（）时，函数取最大值，

　　∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．

　　（4）若，则当时，函数取得最大值．

　　若，则，此时函数为常数函数．

　　若，当时，函数取得最大值．

　　∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．

　　指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．

　　思考：此例若改为求最小值，结果如何？

　　【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

　　（1）；（2）．

　　解：（1）由，

　　∴当时，式子有意义．

　　（2）由，即

　　∴当时，式子有意义．

　　4．演练反馈（投影）

　　（1）函数，的简图是（）

　　（2）函数的最大值和最小值分别为（）

　　A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

　　（3）函数的最小值是（）

　　A．B．－2 C．D．

　　（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）

　　A．B．C．D．或

　　（5）与都是增函数的区间是（）

　　A．，B．，

　　C．，D．，

　　（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．

　　参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

　　6．；；

　　5．总结提炼

　　（1），的定义域均为．

　　（2）、的值域都是

　　（3）有界性：

　　（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集．

　　（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

　　（6）单调区间也可以从图上看出．

　　（四）板书设计

　　1．定义域

　　2．值域

　　3．最值

　　4．正负区间

　　5．零点

　　例1

　　例2

　　例3

　　课堂练习

　　课后思考题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合

　　提示：

高中数学教案4

　　教学目标

　　（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

　　（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

　　（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；

　　（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

　　（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

　　教学建议

　　一、知识结构

　　二、重点难点分析

　　本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中。

　　从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列。因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同。排列数是指从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数。排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数。从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数。

　　公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解。要重点分析好的推导。

　　排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力。

　　在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用。

　　在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求。

　　三、教法建议

　　①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念。一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数。例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数。

　　②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。

　　从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。

　　在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的'性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别。

　　在排列的定义中，如果有的书上叫选排列，如果，此时叫全排列。

　　要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题。

　　③关于排列数公式的推导的教学。公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解。课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的。

　　导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错。这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘。”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘。

　　公式是在引出全排列数公式后，将排列数公式变形后得到的公式。对这个公式指出两点：

　　(1)在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；

　　(2)为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释。

　　④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解。

　　⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实。随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求。

高中数学教案5

　　第一章：空间几何体

　　1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

　　（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

　　（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

　　（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

　　2．过程与方法

　　（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

　　（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

　　（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

　　二、教学重点、难点

　　重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

　　难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

　　三、教学用具

　　（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

　　（2）实物模型、投影仪

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。

　　2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

　　（二）、研探新知

　　1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

　　2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

　　3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

　　4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

　　5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

　　7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

　　8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

　　9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

　　10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

　　1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）

　　2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

　　3．课本P8，习题1.1A组第1题。

　　4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

　　5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

　　四、巩固深化

　　练习：课本P7练习1、2（1）（2）

　　课本P8习题1.1第2、3、4题

　　五、归纳整理

　　由学生整理学习了哪些内容

　　六、布置作业

　　课本P8练习题1.1B组第1题

　　课外练习课本P8习题1.1B组第2题

　　1.2.1空间几何体的三视图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握画三视图的基本技能

　　（2）丰富学生的空间想象力

　　2．过程与方法

　　主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高学生空间想象力

　　（2）体会三视图的作用

　　二、教学重点、难点

　　重点：画出简单组合体的三视图

　　难点：识别三视图所表示的空间几何体

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：观察、动手实践、讨论、类比

　　2．教学用具：实物模型、三角板

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭开课题

　　“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的.角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

　　在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？

　　（二）实践动手作图

　　1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

　　2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

　　（1）画出球放在长方体上的三视图

　　（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图

　　学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

　　作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

　　3．三视图与几何体之间的相互转化。

　　（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）

　　请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？

　　（2）你能画出圆台的三视图吗？

　　（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

　　教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

　　4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

　　（三）巩固练习

　　课本P12练习1、2P18习题1.2A组1

　　（四）归纳整理

　　请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

　　（五）课外练习

　　1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

　　2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

　　1.2.2空间几何体的直观图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

　　（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

　　2．过程与方法

　　学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高空间想象力与直观感受。

　　（2）体会对比在学习中的作用。

　　（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

　　二、教学重点、难点

　　重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。

　　2．教学用具：三角板、圆规

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

　　把实物圆柱放在讲台上让学生画。

　　2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

　　（二）研探新知

　　1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

　　画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

　　练习反馈

　　根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。

　　2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

　　教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

　　教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。

　　3．探求空间几何体的直观图的画法

　　（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

　　教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。

　　（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

　　4．平行投影与中心投影

　　投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。

　　5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4

　　三、归纳整理

　　学生回顾斜二测画法的关键与步骤

　　四、作业

　　1．书画作业，课本P17练习第5题

　　2．课外思考课本P16，探究（1）（2）

高中数学教案6

　　一、教材分析

　　1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。因此，它起着承上启下的作用。通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。

　　2、教学目标:

　　知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

　　（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

　　能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

　　德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

　　情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

　　3、重点、难点：

　　重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念

　　难点：“二面角的平面角”概念的形成过程

　　二、教法分析

　　1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。

　　２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。

　　3、教学手段：教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用多媒体课件来辅助教学；此外，为加强直观教学，还要预先做好一些二面角的模型。

　　三、学法指导

　　1、乐学：在整个学习过程中学生要保持强烈的好奇心和求知欲，不断强化自己的创新意识，全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。

　　2、学会：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构。

　　3、会学：通过自己亲身参与，学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法，从而既学到知识，又学会创新，既能解决问题，更能发现问题。

　　四、教学过程

　　心理学研究表明，当学生明确数学概念的学习目的和意义时，就会对概念的学习产生浓厚的兴趣。创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创新思维的氛围。

　　（一）、二面角

　　1、揭示概念产生背景。

　　问题情境1、在平面几何中“角”是怎样定义的？

　　问题情境2、在立体几何中我们还学习了哪些角？

　　问题情境3、运用多媒体和身边的实例，展示我们遇到的另一种空间的角——二面角（板书课题）。

　　通过这三个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲。2、展现概念形成过程。

　　问题情境4、那么，应该如何定义二面角呢？

　　创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。教师应注意多让学生说，对于学生的创新意识和创新结果，教师要给与积极的评价。

　　问题情境5、同学们能举出一些二面角的实例吗？通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。

　　（二）、二面角的平面角

　　1、揭示概念产生背景。平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量。说明二面角不仅有大小，而且其大小是唯一确定的。平面

　　与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题。

　　问题情境6、二面角的.大小应该怎么度量？能否转化为平面角来处理？这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。

　　2、展现概念形成过程

　　（1）、类比。教师启发，寻找类比联想的对象。

　　问题情境7、我们以前碰到过类似的问题吗？引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义，电脑演示以提高效率。

　　问题情境8、两定义的共同点是什么？生：空间角总是转化为平面的角，并且这个角是唯一确定的。

　　问题情境9、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的？

　　（2）、提出猜想：二面角的大小也可通过平面的角来定义。对学生提出的猜想，教师应该给予充分的肯定，以培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。

　　问题情境10、那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢？生：顶点放在棱上，两边分别放在两个面内。这也是学生直觉思维的结果。

　　（3）、探索实验。通过实验，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力。

　　（4）、继续探索，得到定义。

　　问题情境11、那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？师生共同探讨后发现，角的顶点确定后，要使此角的大小唯一确定，只须使它的两条边在平面内唯一确定，联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性，由此发现二面角的大小的一种描述方法。

　　（5）、自我验证：要求学生阅读课本上的定义。并说明定义的合理性，教师作适当的引导，并加以理论证明。

　　（三）、二面角及其平面角的画法

　　主要分为直立式和平卧式两种，用电脑《几何画板》作图。

　　（四）、范例分析

　　为巩固学生所学知识，由于时间的关系设置了一道例题。来源于实际生活，不但培养了学生分析问题和解决问题的能力，也让学生领会到数学概念来自生活实际，并服务于生活实际，从而增强他们应用数学的意识。

　　例：一张边长为10厘米的正三角形纸片ABc，以它的高AD为折痕，折成一个1200二面角，求此时B、c两点间的距离。

　　分析：涉及二面角的计算问题，关键是找出（或作出）该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质，最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做，为调动学生的积极性，并增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。

　　变式训练：图中共有几个二面角？能求出它们的大小吗？根据课堂实际情况，本题的变式训练也可作为课后思考题。

　　题后反思：（1）解题过程中必须证明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。

　　（2）求二面角的平面角的方法是：先找（或作）——后证——再解（三角形）

　　（五）、练习、小结与作业

　　练习：习题９．７的第３题

　　小结在复习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统。同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。

　　作业：习题９．７的第４题

　　思考题：见例题

　　五、板书设计（见课件）

　　以上是我对《二面角》授课的初步设想，不足之处，恳请大家批评指正，谢谢！

高中数学教案7

　　一、什么是教学案例

　　教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说，一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述，是一个教学实践过程中的故事，描述的是教学过程中“意料之外，情理之中的事”。

　　这可以从以下几个层次来理解：

　　教学案例是事件：教学案例是对教学过程中的一个实际情境的描述。它讲述的是一个故事，叙述的是这个教学故事的产生、发展的历程，它是对教学现象的动态性的把握。

　　教学案例是含有问题的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教学事件都可以成为案例。能够成为案例的事件，必须包含有问题或疑难情境在内，并且也可能包含有解决问题的方法在内。正因为这一点，案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。

　　案例是真实而又典型的事件：案例必须是有典型意义的，它必须能给读者带来一定的启示和体会。案例与故事之间的根本区别是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄袭的，它所反映的是真是发生的事件，是教学事件的真实再现。是对“当前”课堂中真实发生的实践情景的描述。它不能用“摇摆椅子上杜撰的事实来替代”，也不能从抽象的、概括化的理论中演绎的事实来替代。

　　二、如何进行教学案例研究

　　教学案例是教师教学行为真实、典型的记录，也是教师教学理念和教学思想的真实体现。因此它是教育教学研究的宝贵资源，也是教师之间交流的重要媒介。进行教学案例的研究是教师不断反思、改进自己教学的一种方法，能促使教师更为深刻地认识到自己工作中的重点和难点。这个过程就是教师自我教育和成长的过程。

　　那么如何进行教学案例研究呢?一般情况下，案例研究的程序基本有以下两个环节：案例研究的准备及实施、案例研究报告的撰写与反思。

　　(一)案例研究的准备与实施

　　1.研究主题的选择

　　案例研究都要有研究的重点和主题，这个主题常与教学改革的核心理念、常见的疑难问题和困惑事件相关，一般来说可以从教学的各个方面确定研究的主题，如从教师教学行为确定主题——教学材料的选择、教学中的提问、教学媒体的使用、教学评价语言、课堂教学调控行为等;也可以从学生的学习方式确定主题——探究性学习、问题解决学习、合作学习、实践性活动等。另外从学科特点、教学内容等都可以确定研究的主题。

　　研究者要了解当前教学的大背景，教改的大方向，要熟悉相关的《课程标准》和有针对性地作一些理论准备。还要通过有关的调查，搜集详尽的材料(如阅读教师的教学设计，进行访谈等)，同时初步确定案例研究的方向、研究任务，即初步确定案例的内容是关于教学策略、学生行为或是教学技能的研究。

　　一般来说，案例研究主题的确定往往需要思考下面一些问题：即研究的事件是否对于自我发现更有潜力?选择的事件对学生是否有较大的情感影响(心灵是否受到震撼)?关键事件再现了前人(或自己)过去成功的行为吗?事件呈现的是一个你不能确定怎样解决的问题?事件需要你做出困难的选择吗?事件使得你必须以一种感觉不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答吗?事件暗示一个与道德或道义上相关的问题吗?研究的主题如果反映以上的一些内容，那么这样的案例研究在自我学习、内省和深层次理解方面就可能更加富有成效。

　　高中数学教学案例研究的主题内容主要集中在三方面：(1)学科特点的体现：如数学思想方法的教学、数学思维品质的培养、本质属性的抽象、数学结论的推广等;(2)学生数学学习规律的探究：如数学学习习惯、解决问题的思维方式、独立思考与合作学习等;(3)教师专业知识的提升：如数学板书与电子屏幕的展示对学生思维的影响、数学语言的训练对人们思维的影响、数学知识模式化教学的优劣等。

　　2.案例研究的基本方法

　　(1)课堂观察。观察方法是指研究者按照一定的目的和计划，在课堂教学活动的自然状态下，用自己的感官和辅助工具对研究对象进行观察研究的一种方法。它可以是教师自己对教学对象——学生，在课堂活动中的片断进行观察，也可以由其他教师来实施观察，这两种观察的目的都是为了掌握课堂教学中的第一手资料。课堂观察方法不限于用肉眼观察、耳听手记，还可利用各种工具如照相、录音、摄像等作为辅助观察的手段，以提高观察的效果。对观察的资料，可以逐字逐句整理成课堂教学实录、教学程序表、提问技巧水平检核表、提问行为类型频次表、课堂教学时间分配表等，以便以后继续分析案例提供翔实的原始材料。

　　(2)访谈与调查。对一些课堂教学不能观察到的师生内心活动，如教师教学的目的、教学程序的意图、教学手段的运用以及教学达标的成效等一些需要进一步了解的问题，可以通过与执教教师的交谈以及和学生的座谈，以丰富和充实课堂教学观察的材料;对学生在课堂教学活动中回答问题的心理状态、解题思路等问题，也可以在课后做一些问卷调查;对学生达标的成度、效度，也可以作一些测试调查。从这些访谈、调查的材料中，再分析课堂教学的现象，不难发现造成各种课堂现象与教师教学行为之间的因果关系，然后再具体寻找在哪个教学环节中出现问题，从中提炼出解决问题的对策。

　　(3)文献分析。文献分析是通过查阅文献资料，从过去和现在的有关研究成果中受到启发，从中找到课堂教学现象的理论依据，从而增强案例分析的说服力。当然，对广大第一线教师而言，这里所运用的文献分析方法，并不是为了论证新教育理论，也不是去归纳教育的宏观现象，而是通过有关教育理论文献的查阅，去进一步解读课堂教学的活动，挖掘案例中的教育思想。如在数学教学中，我们常常通过学生的动手操作来获得有关的数学概念、法则与公式，那么，为什么要这样做呢?就可以带着问题，查阅、分析有关文献资料，从学习中提高研究者自身的理论水平。

　　(二)案例研究报告的撰写

　　1.常见的案例报告格式

　　撰写教学案例，结构可以灵活多样，并非要千篇一律、一个模式，而是可以有不同的表现形式，如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例过程——案例反思”、“课例——问题——分析”、“主题与背景——情景描述——问题讨论——诠释与研究”等。当前，国内外课堂教学案例编写的格式有多种多样。但不管何种编写格式，它们都有两个共同的特点：一是对案例的客观描述;二是对案例中所述问题、关键教学事件等的分析。

　　下面介绍两种常用的案例编写的格式：

　　(1)“描述+分析”式

　　此格式的特点是将整个案例分为两大部分，前半部分主要为描述课堂教学活动的情景，后半部分主要针对情景中的一个问题进行理论分析并获得结论。案例的描述一般是把课堂教学活动中的某一片断像讲故事一样原原本本地、具体生动地描绘出来。描述的形式可以是一串问答式的课堂对话，也可以概括式地叙述，主要是提供一个或一连串课堂教学疑难的问题，并把教育理论、教育思想隐藏在描述之中。案例的分析部分是针对描述的情景发表个人或多人的感受，同时加以理论的分析与说明。分析方法可以是对描述中提出的一个问题，从几个方面加以分析：也可以是对描述中的几个问题，集中从一个方面加以分析。分析的目的是要从描述的情景中提炼问题的本质，讲述理论的解释，明确正确的方法，最终获得对关键教学事件的正确把握。

　　(2)“背景+描述+问题+诠释”式

　　此格式是一种要求比较高的编写格式，而且，它在实际教学中的作用也更大。通常它将整个案例分为四个部分：

　　A.主题与背景

　　主题是关键教学事件中所反映的案例主要观点，也是整篇案例的核心思想。背景主要叙述案例发生的地点、时间、人物的一些基本情况。当然，这部分的内容不宜很长，只需提纲挈领叙述清楚即可。

　　B.情景描述

　　与“描述+分析”式中的描述相同，主要突出主题所反映的课堂教学活动。

　　C.问题讨论

　　这是根据主题要求与情景描述，进行的分析、归纳、总结与提炼，包括学科知识的要点、教学法和情景特点以及案例的说明与注意事项。这部分内容主要是为案例教学服务的，目的是提高教师的认识水平与学生主动学习的能力。不同的教学观念，不同的教学手段，所提出的问题也不同。对案例中所提出的主题以及情景描述中提出的问题阐述自己的见解。

　　D.诠释与研究

　　这部分主要是用教育理论对案例情景作多角度的解读。它包括对课堂教学行为的技术资料、课堂教学实录以及教学活动背后的.故事等作理论上的分析。例如，在课堂教学中，我们常看到这样的现象，课堂教学的效果高于预期的目标，反之教师期望的目标学生没有达到或有所偏离，教学内容呈现的先后与学生理解的程度、教学方法运用与学生内在动机的激发等环节存在着矛盾，这些事件的背后，必然隐含着丰富的教育思想。所以，通过诠释，挖掘这些事件背后的内在思想，揭示其教育规律就显得十分的必要。

　　2.案例报告撰写的关键

　　(1)掌握四个原则。要写好教学案例，除了平时多积累素材，学习他人的案例作品以提高写作技巧外，还应把握以下四点：

　　A.主题性原则：要有捕捉关键教学事件的意识，以此确定案例研究的主题。为此要注意了解新的课程改革的动向、把握适合时代要求的数学教育方式、明确学生数学学习的难点和重点，寻找数学教师专业发展的途径与规律。报告围绕主题进行情景描述和获得解决问题的策略。这种描述不是简单的教学活动实录，要反映事件发生的过程，重点描述反映关键教学事件的变化和戏剧化的情境，犹如记叙文写作，突出主题，详写重点，雕刻高潮。

　　案例鲜明的主题通常关系到教学的核心理念、常见问题、处理方法等等，可以说，主题就是案例的灵魂。而主题的最佳表现形式就是文题直接体现主题。因此，设计主题就要有新意、有时代感，通俗地说就是与众不同，要有独特见解、独家发现。来源于实践的教学案例并非都有同等价值，关键要看撰写者对实践的发展与理论的升华程度，包括对题目的推敲。如有的教学案例重点描述了有戏剧性的情节，用了“细节决定成败”的题目，给人耳目一新，一下子揪住了读者的心。再如，一些有创意的题目《“导之有方”方能“导之有效”》、《跳出数学教数学》、《在数学的疑难处悟成长》、《捕捉资源因势利导》等等，让人一看题目就有阅读的欲望。实践证明，在写作案例时，选择有感悟、有新意的内容，在明确主题，恰当拟题后再动笔，才能写出高质量的案例。

　　B.理论性原则：解决问题的策略中应当蕴含一定的教育基本原理和教育思想。实际是将自己对教育理念以及教育基本原理的理解渗透于描述的字里行间，比如学生做了什么，参与程度，投入程度如何，教师如何引导点拨，师生心理、行为变化情况等，无不体现教师的教学思想和教育基本原理。

　　C.叙事性原则：案例报告的书写方式是叙事式，它不同于论述式。叙事方式必须以课堂教学生动的事实为主要情节，可以夹叙夹议，也可以选择情景片段，可以是一节课中的情景，也可以是围绕一个主题的几节课的情景片段。

　　D.学科性原则：数学案例报告一定要体现学科的特征，要有较深刻的理性思考，要反映数学的基本思想与方法，要符合课程标准，满足教材内容的呈现方法，积极培养良好的思维习惯。就是撰写者的教育思想和教育理念在教学实践中具体体现。

　　(2)用好四种表述。教学案例的表述方法很多，可以归纳为以下四种方法：

　　A.故事式陈述法：就是教学全程或某一精彩教学片段实录，包括教师和学生的一言一行。陈述时，根据操作程序作一点“简评”，最后作“总评”。

　　B.以案说理：对教学过程进行陈述时，舍去与文题不相关或不重要的部分，并强化与主题相关的重要情节，尤其是引发高潮的关键行为，然后有较长篇幅的理性思考。

　　C.图表展示法：用图表进行统计的形式体现撰写者的教育思想，给人以一目了然的感觉，帮助读者迅速了解撰写者的写作意图，是常用的一种案例撰写方法。比如，描述学生的参与人数，投入程度，解决问题的质量等多个问题，都可以在一张或数张图表上用百分比或个(次)数进行统计。在每一张图表后，应有一段“分析”或“结论”，将撰写者的教学理念进行理性阐述，亦可在图表展示后，总的提出自己对案例的分析和建议。

　　D.分析讨论法：在撰写时，应汲取分析讨论中最精彩的部分做深入、细致的全面记录，最后撰写者还必须对讨论情况做一分析，或提出一些值得今后进一步思考的问题。

　　3.优秀案例的特征

　　(1)时代性：一个好的案例描述的是现实生活场景——案例的叙述要把事件置于一个时空框架之中，应该以关注今天所面临的疑难问题为着眼点，至少应该是近年发生的事情，展示的整个事实材料应该与整个时代及教学背景相照应，这样的案例读者更愿意接触。一个好的案例可以使读者有身临其境的感觉，并对案例所涉及的人产生移情作用。

　　(2)真实性：一个好的案例应该包括从案例所反映的对象那里引述的材料——案例写作必须持一种客观的态度，因此可引述一些口头的或书面的、正式的或非正式的材料，如对话、笔记、信函等，以增强案例的真实感和可读性。重要的事实性材料应注明资料来源。

　　(3)适用性：一个好的案例需要针对面临的疑难问题提出解决办法——案例不能只是提出问题，它必须提出解决问题的主要思路、具体措施，并包含着解决问题的详细过程，这应该是案例写作的重点。如果一个问题可以提出多种解决办法的话，那么最为适宜的方案，就应该是与特定的背景材料相关最密切的那一个。如果有包治百病、普遍适用的解决问题的办法，那么案例这种形式就不必要存在了。

　　(4)反思性：一个好的案例需要有对已经做出的解决问题的决策的评价——评价是为了给新的决策提供参考点。可在案例的开头或结尾写下案例作者对自己解决问题策略的评论，以点明案例的基本论点及其价值。

　　三、案例研究过程中需注意的问题

　　1.选材面过窄。从内容上看，多数案例是关于课堂教学甚至局限于一节课的研究，往往不能说明问题，或者在一节课中，也只会从简单的对话分析问题，做不到全方位、多角度。这说明教师对教学情境的丰富性、复杂性和联系性认识不够。

　　2.缺乏典型性。有的案例对教学实践没有挖掘与反思，随意摘取一些教学片段泛泛而谈、人云亦云，没有实用价值。不能够通过对某一事件现象的分析、处理、诠释，达到举一反三的效果，这样的案例对他人没什么借鉴作用。

　　3.主题不明确。主要体现为：

　　(1)主题涣散。有的案例象记流水帐，没有根据需要进行恰当的取舍，看不出作者要反映、探讨什么问题，缺乏指导性、创新性和参考性。

　　(2)定题过于随意。有的案例直接用案例研究依据的文题为题目，如《“三角函数”教学案例》、《“抛物线”教学案例》等，题目不鲜明、不形象，影响读者的选读和案例的传播。

　　4.结构不合理。案例作为一种文体，有它自己的写作结构，只有优化案例的结构，才能增强案例的可读性和指导性。如写成一般的教学设计，一般包括“备课思路、教学目标、教学重点、教学方法、课前准备、教学内容、教学过程”等内容;写成教学实录，把一堂课从头到尾详尽地记录下来，再写上作者的看法;重记录轻分析，过程描述多，评析少等等。没有创新，平淡无趣，看不出案例研究和反映的问题。

　　5.描述与分析脱节。有的案例描述与分析矛盾，让人不知所云;有时反映的是一种观点，分析阐明的是另一种观点，虽然不矛盾，但联系不紧密;有的分析中热衷于抄录教育理论的一些条条，脱离案例描述的事件而空谈理论，显得空泛无物。

高中数学教案8

　　教学目标

　　理解数列的概念，掌握数列的运用

　　教学重难点

　　理解数列的.概念，掌握数列的运用

　　教学过程

　　【知识点精讲】

　　1、数列：按照一定次序排列的一列数(与顺序有关)

　　2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。

　　(通项公式不)

　　3、数列的表示:

　　(1)列举法:如1,3,5,7,9……;

　　(2)图解法:由(n,an)点构成;

　　(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1

　　(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1

　　4、数列分类：有穷数列，无穷数列;递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列;有界数列，xx数列

　　5、任意数列{an}的前n项和的性质

高中数学教案9

　　教学目标：

　　(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;

　　(2)了解全集、空集的意义。

　　(3)掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力;

　　(4)会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集;

　　(5)能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想;

　　(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力。

　　教学重点：

　　子集、补集的概念

　　教学难点：

　　弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

　　教学用具：

　　幻灯机

　　教学过程设计

　　(一)导入新课

　　上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识。

　　【提出问题】(投影打出)

　　已知xx，xx，xx，问：

　　1、哪些集合表示方法是列举法。

　　2、哪些集合表示方法是描述法。

　　3、将集M、集从集P用图示法表示。

　　4、分别说出各集合中的元素。

　　5、将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来、将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来。

　　6、集M中元素与集N有何关系、集M中元素与集P有何关系。

　　【找学生回答】

　　1、集合M和集合N;(口答)

　　2、集合P;(口答)

　　3、(笔练结合板演)

　　4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答)

　　5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(笔练结合板演)

　　6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答)

　　【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题、

　　(二)新授知识

　　1、子集

　　(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

　　记作：xx读作：A包含于B或B包含A

　　当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AxxB或BxxA、

　　性质：①xx(任何一个集合是它本身的子集)

　　②xx(空集是任何集合的子集)

　　【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?

　　【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合。

　　因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的。

　　(2)集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

　　例：xx，可见，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。

　　(3)真子集：对于两个集合A与B，如果xx，并且xx，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：xx(或xx)，读作A真包含于B或B真包含A。

　　【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。”

　　集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B。

　　【提问】

　　(1)xx写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

　　(2)xx判断下列写法是否正确

　　①xxAxx②xxAxx③xx④AxxA

　　性质：

　　(1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，则xxA;

　　(2)如果xx，xx，则xx。

　　例1xx写出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的.真子集、

　　解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。

　　【注意】(1)子集与真子集符号的方向。

　　(2)易混符号

　　①“xx”与“xx”：元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如xxR，{1}xx{1，2，3}

　　②{0}与xx：{0}是含有一个元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。

　　如：xx{0}。不能写成xx={0}，xx∈{0}

　　例2xx见教材P8(解略)

　　例3xx判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正、

　　(1)xx表示空集;

　　(2)空集是任何集合的真子集;

　　(3)xx不是xx;

　　(4)xx的所有子集是xx;

　　(5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集;

　　(6)xx与xx不能同时成立、

　　解：(1)xx不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确;

　　(2)不正确、空集是任何非空集合的真子集;

　　(3)不正确、xx与xx表示同一集合;

　　(4)不正确、xx的所有子集是xx;

　　(5)正确

　　(6)不正确、当xx时，xx与xx能同时成立、

　　例4xx用适当的符号(xx，xx)填空：

　　(1)xx;xx;xx;

　　(2)xx;xx;

　　(3)xx;

　　(4)设xx，xx，xx，则AxxBxxC、

　　解：(1)0xx0xx;

　　(2)xx=xx，xx;

　　(3)xx，xx∴xx;

　　(4)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A=B=C、

　　【练习】教材P9

　　用适当的符号(xx，xx)填空：

　　(1)xx;xx(5)xx;

　　(2)xx;xx(6)xx;

　　(3)xx;xx(7)xx;

　　(4)xx;xx(8)xx、

　　解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、

　　提问：见教材P9例子

　　(二)xx全集与补集

　　1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即xx)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作xx，即

　　、

　　A在S中的补集xx可用右图中阴影部分表示、

　　性质：xxS(xxSA)=A

　　如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则xxSA={2，4，6};

　　(2)若A={0}，则xxNA=N;

　　(3)xxRQ是无理数集。

　　2、全集：

　　如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用xx表示。

　　注：xx是对于给定的全集xx而言的，当全集不同时，补集也会不同。

　　例如：若xx，当xx时，xx;当xx时，则xx。

　　例5xx设全集xx，xx，xx，判断xx与xx之间的关系。

　　解：

　　练习：见教材P10练习

　　1、填空：

　　xx，xx，那么xx，xx。

　　解：xx，

　　2、填空：

　　(1)如果全集xx，那么N的补集xx;

　　(2)如果全集，xx，那么xx的补集xx(xx)=xx、

　　解：(1)xx;(2)xx。

　　(三)小结：本节课学习了以下内容：

　　1、五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点)

　　2、五条性质

　　(1)空集是任何集合的子集。ΦxxA

　　(2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ)

　　(3)任何一个集合是它本身的子集。

　　(4)如果xx，xx，则xx、

　　(5)xxS(xxSA)=A

　　3、两组易混符号：(1)“xx”与“xx”：(2){0}与

　　(四)课后作业：见教材P10习题1、2

高中数学教案10

　　教学目标：

　　1.理解流程图的选择结构这种基本逻辑结构

　　2.能识别和理解简单的框图的功能

　　3.能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题

　　教学方法：

　　1.通过模仿、操作、探索，经历设计流程图表达求解问题的过程，加深对流程图的感知

　　2.在具体问题的.解决过程中，掌握基本的流程图的画法和流程图的三种基本逻辑结构

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1.情境：

　　某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为

　　其中(单位：xx)为行李的重量.

　　2.试给出计算费用(单位：xx元)的一个算法，并画出流程图

　　二、学生活动

　　学生讨论，教师引导学生进行表达

　　三、建构数学

　　1.选择结构的概念：

　　先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构

　　虚线框内是一个选择结构，它包含一个判断框，当条件成立(或称条件为“真”)时执行，否则执行

　　2.说明：

　　(1)有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计;

　　(2)选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条;

　　(3)在上图的选择结构中，只能执行和之一，不可能既执行，又执行，但或两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作;

　　(4)流程图图框的形状要规范，判断框必须画成菱形，它有一个进入点和两个退出点。

　　3.思考：教材第7页图所示的算法中，哪一步进行了判断?

高中数学教案11

　　一、自我介绍

　　我姓x，是你们的数学老师，因为是数学老师所以在自我介绍的时候喜欢给出自己的数字特征，也是希望通过这些方式能拓宽与大家交流的平台，希望能与大家在课堂中相识，在生活中相知，不仅能成为你们知识的传授者，方法的指引者，更希望成为你们情感上的依赖者。

　　二、相信大家对于高中学习都充满着好奇，和初中相比，高中课程与初中课程有很大的不同。今天这节课我们不急于上新课，我想和大家聊一聊数学，一起来思考为什么要学习数学及如何学好数学这两个问题。

　　(一)为什么要学习数学

　　相信高一的第一节课是各位科任老师各显神通的时候，通过各种有趣的方式来突出每门课的重要性，作为数学老师我表达上不如文科老师迂回婉转和风趣幽默，我们更喜欢用数字说明问题。大家知道北大最的院系是什么系吗?早在蔡元培先生任北大校长时，就列数学系为北大第一系，这种传统一直保持到现在。为什么数学系在高校中有如此重要的地位?课本主编寄语是这样描述的：数学是有用的，数学有助于提高能力。

　　数学家华罗庚在《人民日报》精彩描述了数学在"宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁"等方面无处不有重要贡献。

　　问题1：大家知道海王星是怎么发现的，冥王星又是怎么被请出十大行星行列的?

　　海王星的发现是在数学计算过程中发现的，天文望远镜的观测只是验证了人们的推论。

　　1812年，法国人布瓦德在计算天王星的运动轨道时，发现理论计算值同观测资料发生了一系列误差。这使许多天文学家纷纷致力这个问题的研究，进而发现天王星的脱轨与一个未知的引力的存在相关。也就是说有一个未知的天体作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文台收到来自法国巴黎的一封快信。发信人就是勒威耶。信中，勒威耶预告了一颗以往没有发现的新星：在摩羯座8星东约5度的地方，有一颗8等小星，每天退行69角秒。当夜，柏林天文台的加勒把巨大的天文望远镜对准摩羯座，果真在那里发现了一颗新的8等星。又过了-天，再次找到了这颗8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。这与勒威耶预告的相差甚微。全世界都震动了。人们依照勒威耶的建议，按天文学惯例，用神话里的名字把这颗星命名为"海王星"。

　　1930年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，以为冥王星比地球还大，所以命名为大行星。然而，经过近30年的进一步观测和计算，发现它的直径只有2300公里，比月球还要小，等到冥王星的大小被确认，"冥王星是大行星"早已被写入教科书，以后也就将错就错了。经过多年的争论，国际天文学联合会通过投票表决做出最终决定，取消冥王星的行星资格。8月24日据国际天文学联合会宣布，冥王星将被排除在行星行列之外，从而太阳系行星的数量将由九颗减为八颗。事实上，位居太阳系九大行星末席70多年的冥王星，自发现之日起地位就备受争议。

　　马克思说："一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。"正因为数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具，一切科学到了最后都归结为数学问题。

　　其实在我们的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的，无非很多人都没有用数学的眼光来看待。

　　问题2：徒认为上帝是万能的。你们认为呢?如何来证明你的结论呢?(让同学发言)

　　我的观点：上帝不是万能的。为什么呢?仔细听我讲来。

　　证明：(反证法)假如上帝是万能的

　　那么他能够制作出一块无论什么力量都搬不动的石头

　　根据假设，既然上帝是万能的，那么他一定能够搬的动他自己制造的那石头

　　这与"无论什么力量都搬不动的石头"相矛盾

　　所以假设不成立

　　所以上帝不是万能的。问题3：抓阄对个人来说公平吗?5张票中有一张奖票，那么先抽还是后抽对个人还说公平吗?

　　当然，我们学习的数学只是数学学科体系中很基础，很小的一部分。现在课本上学的未必能直接应用于生活，主要是为以后学习更高层次的理科打好基础，同时，也为了掌握一些数学的思考方法以及分析问题解决问题的思维方式。哲学家培根说过："读诗使人灵秀，读历史使人明智，学逻辑使人周密，学哲学使人善辩，学数学使人聪明…"，也有人形象地称数学是思维的体操。下面我们通过具体的例子来体验一下某些数学思想方法和思维方式。

　　故事一：据说国际象棋是古印度的一位宰相发明的。国王很欣赏他的这项发明，问他的宰相要什么赏赐。聪明的宰相说，"我所要的从一粒谷子(没错，是1粒，不是1两或1斤)开始。在这个有64格的棋盘上，第一格里放1粒谷子，第二格里放2粒，第三格里放4粒，即每下一格粒数加倍，……如此下去，一直放满到棋盘上的64格。这就是我所要的赏赐。"国王觉得宰相要的`实在不多，就叫人按宰相的要求赏赐。但后来发现即使把全国所有的谷子抬来也远远不够。

　　人们通常凭借自己掌握的数学知识耍些小聪明，使问题妙不可言。

　　数学游戏：两人相继轮流往长方形桌子上放同样大小的硬币，硬币一定要平放在桌面上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，放最后一颗的硬币的人算赢。应该先放还是后放才有必胜的把握。

　　数学思想：退到最简单、最特殊的地方。

　　故事二：聪明的渡边：20世纪40年代末，手写工具突破性进展-圆珠笔问世，它以价廉、方便、书写流利在社会上广泛流传，但写到20万字时就会因圆珠磨小而漏油，影响了销售。工程师们从圆珠质量入手，从改进油墨性能入手进行改良，但收效甚微。于是厂家打出广告：解决此问题获奖金50万元。当时山地制笔厂的青年工人渡边看到女儿把圆珠笔用到快漏油时就德育不用这一现象中受到启发，很好地解决了这一问题，你认为他会怎么做呢?

　　渡边的成功之处就在于思维角度新，从问题的侧面轻巧取胜。也正体现了数学学习中经常用到的发散式思维。在数学学习中，既要有集中式思维又要有发散式思维。集中式思维是一种常用思维渠道，即为对问题的归纳，联系思维方式，表现为对解题方法的模仿和继承;而发散式思维即对问题开拓、创新，表现为对问题举一反三，触类旁通。在解决具体问题中，我们应该将两种思维方式相结合。

　　学数学有利于培养人的思维品质：结构意识、整体意识、抽象意识、化归意识、优化意识、反思意识，尽管数学在培养学生的这些思维品质方面和其他学科存在着交集，但数学在其中的地位是无法被代替的。总之，学习数学可以使人思考问题更合乎逻辑，更有条理，更严密精确，更深入简洁，更善于创造……

　　(二)如何学好数学

　　高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。同时要注意以下几点：

　　第一：对数学学科特点有清楚的认识

　　主编寄语里是这样描述数学的特征的：数学是自然的。数学的概念、方法、思想都是人类长期实践中自然发展形成的，以数域的发展为例，从自然数到有理数到实数再到复数，都是由自然的认知冲突引起的。因此，在学习过程中我们有必要了解知识产生的背景，它的形成过程以及它的应用，让数学显得合情合理，浑然天成。数学中没有含糊不清的词，对错分明，凡事都要讲个为什么，只要按照数学规则去学去想就能融会贯通，但是如果不把来龙去脉想清楚而是"想当然"的话，那就学不下去了。

　　第二：要改变一个观念。

　　有人会说自己的基础不好。那我问下什么是基础?今天所学的知识就是明天的基础。明天学习的知识就是后天的基础。所以要学好每一天的内容，那么你打的基础就是最扎实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的，无所谓基础好不好。过去的几年里我分别带过五十一中和一中的学生，两边学生的课堂感觉差不多，应该说接受能力不相上下，有的时候我会选择在五十一中开公开课，因为课堂气氛活跃、轻松，但是成绩差异却是很大，原因在于我们同学外课自主时间的投入太少，学习习惯不太好。

　　第三：学数学要摸索自己的学习方法

　　学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条，每个人都可以有与众不同的数学学习方法。做习题、用数学解决各种问题是必需的，理解、学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的。此外，还要发挥问题的作用，学会提问，热心帮助别人解决问题，用自己的问题和别人的问题带动自己的学习。同时，注意前后知识的衔接，类比地学、联系地学，既要从概念中看到它的具体背景，又要在具体的例子中想到它蕴含的一般概念。

　　第四：养成良好的学习习惯(与一中学生相比较)

　　㈠课前预习。怎样预习呢?就是自己在上课之前把内容先看一边，把自己不懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的时候重点听，这样才能够很快提高自己的水平。但是预习不是很随便的把课本看一边，预习有个目标，那就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成。一中的同学预习就已经有好几个层次了，先是课本，再是精编，再是高考题典，上课对于他们来说是第一轮高考复习。

　　㈡上课认真听讲。上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿。做不做笔记你们自己决定，不过我不大提倡数学课做笔记的。不过有一点，有些知识点比较重要，课本上又没有的，我要求你们把它写在课本上的相应的空白地方。还有如果你觉得某个例题比较新或者比较重要，也可以把它记在书本的相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。那么草稿要来干什么的呢?课堂上你可以自己演算还有做课堂练习。

　　㈢关于作业。绝对不允许有抄作业的情况发生。如果我发现有谁抄作业，那么既然他这样喜欢抄，我就要你把当天的作业多抄几遍给我。那有人会问，碰到不会做的题目怎么办?有两个办法：一、向同学请教，请教做题目的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相互帮助，如果你让他抄袭你的作业这样不是帮助他而是害他，这个道理大家应该明白吧。我非常提倡同学之间的相互讨论问题的，这样才能够相互促进提高。二、向老师请教，要养成多想多问的习惯。我的办公室在二楼二号，欢迎大家前来交流

　　㈣准备一本笔记本，作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解的还有易错的记录下来，并且要及时的消化，不懂的地方问老师。这是一个很好的办法，到考试的时候就可以有重点、有针对性的自己复习了。我高中的时候就是采用这样的方法把数学成绩提高。

　　好的开始是成功的一半，新的学期开始了，请大家调整好自己的思想，找到学习的原动力。播种一种思想，收获一种行为;播种一种行为，收获一种习惯;播种一种习惯，收获一种性格;播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。

高中数学教案12

　　1. 你能遵守学校的规章制度，按时上学，按时完成作业，书写比较端正，课堂上你也坐得比较端正。如果在学习上能够更加主动一些，寻找适合自己的学习

　　2. 你尊敬老师、团结同学、热爱劳动、关心集体，所以大家都喜欢你。能严格遵守学校的各项规章制度。学习不够刻苦，有畏难情绪。学习方法有待改进，掌握知识不够牢固，思维能力要进一步培养和提高。学习成绩比上学期有一定的进步。平时能积极参加体育锻炼和有益的文娱活动。今后如果能注意分配好学习时间，各科全面发展，均衡提高，相信一定会成为一名更加出色的学生。

　　3. 你性格活泼开朗，总是带着甜甜的笑容，你能与同学友爱相处，待人有礼，能虚心接受老师的教导。大多数的时候你都能遵守纪律，偶尔会犯一些小错误。有时上课不够留心，还有些小动作，你能想办法控制自己吗?一开学老师就发现你的作业干净又整齐，你的字清秀又漂亮。但学习成绩不容乐观，需努力提高学习成绩。希望能从根本上认识到自己的不足，在课堂上能认真听讲，开动脑筋，遇到问题敢于请教。

　　4. 你热情大方，为人豪爽，身上透露出女生少有的霸气，作为班干部，你会提醒同学们及时安静，对学习态度端正，及时完成作业，但是少了点耐心，试着把心沉下来，上课集中注意力，跟着老师的思路走，一步一个脚印，一定能走出你自己绚丽的'人生!

　　5. 学习态度端正，效率高，合理分配时间，学习生活两不误，善良热情，热爱生活，乐于助人，与周围同学相处关系融洽。能严格遵守学校的各项规章制度。上课能专心听讲，认真做好笔记，课后能按时完成作业。记忆力好，自学能力较强。希望你能更主动地学习，多思，多问，多练，大胆向老师和同学请教，注意采用科学的学习方法，提高学习效率，一定能取得满意的成绩!

　　6. 作为本班的班长，你对待班级工作能够认真负责，积极配合老师和班委工作，集体荣誉感很强，人际关系很好，待人真诚，热心帮助人，老师十分欣赏你的善良和聪明，希望在以后能够积极发挥自己的所长，带领全班不仅在班级管理上有进步，而且能在学习上也能成为全班的领头雁，在下学期能取得更大的进步!

　　7. 身为班委的你，对工作认真负责，以身作则，性格和善，与同学关系融洽，积极参加各项活动，不太张扬的你显得稳重和踏实，在学习上，你认真听课，及时完成各科作业，但是我总觉得你的学习还不够主动，没有形成自己的一套方法，若从被动的学习中解脱出来，应该稳定在班级前五名啊!加油!

　　8. 你是个懂礼貌明事理的孩子，你能严格遵守班级纪律，热爱集体，对待学习态度端正，上课能够专心听讲，课下能够认真完成作业。你的学习方法有待改进，若能做到学习时心无旁骛就好了，掌握知识也不够牢固，思维能力要进一步培养和提高。只要有恒心，有毅力，老师相信你会在各方面取得长足进步!

　　9. 你为人热情大方，能和同学友好相处。你为人正直诚恳，尊敬老师，关心班集体，待人有礼，能认真听从老师的教导，自觉遵守学校的各项规章制度，抵制各种不良思想。有集体荣誉感，乐于为集体做事。学习刻苦，成绩有所提高。上课能专心听讲，思维活跃，积极回答问题，积极思考，认真做好笔记。今后如果能注意分配好学习时间，各科全面发展，均衡提高，相信一定会成为一名更加出色的学生。

　　10. 记得和你说过，你是个太聪明的孩子，你反应敏捷，活泼灵动。但是做学问是需要静下心来老老实实去钻研的，容不得卖弄小聪明和半点顽皮话。要知道，学如逆水行舟，不进则退;心似平原野马，易放难收!望你下学期重新抖擞精神早日进入状态，不辜负关爱你的人对你的殷殷期盼。

高中数学教案13

　　整体设计

　　教学分析

　　我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

　　教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。

　　本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

　　根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

　　三维目标

　　1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

　　2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

　　3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

　　4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。

　　重点难点

　　教学重点

　　（1）分数指数幂和根式概念的理解。

　　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。

　　（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

　　教学难点

　　（1）分数指数幂及根式概念的理解。

　　（2）有理指数幂性质的灵活应用。

　　课时安排

　　3课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：路致芳

　　导入新课

　　思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

　　（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

　　（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

　　（4）可否用一个式子表达呢？

　　活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

　　讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

　　（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

　　（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

　　（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

　　教师板书n次方根的意义：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。

　　可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出问题

　　（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

　　①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　　（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

　　（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

　　（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

　　活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

　　讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

　　（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

　　（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

　　类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

　　①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字语言可用下面的式子表示：

　　a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

　　a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

　　零的n次方根为零，记为n0=0.

　　可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

　　思考

　　根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

　　活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

　　如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

　　通过探究得到：n为奇数，nan=a.

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我们得到n次方根的运算性质：

　　①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

　　②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值。

　　应用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　　（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　　（2）(-10)2=10;

　　（3)4(3-π）4=π-3;

　　（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

　　变式训练

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

　　(3)4(3a-3)4=

　　点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。

　　思路2

　　例1下列各式中正确的是（）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

　　(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

　　(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

　　(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.

　　答案：D

　　点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的'关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。

　　解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

　　3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

　　思考

　　上面的例2还有别的解法吗？

　　活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

　　另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

　　两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　变式训练

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

　　解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

　　即a-1≥0，

　　所以a≥1.

　　点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。

　　知能训练

　　（教师用多媒体显示在屏幕上）

　　1、以下说法正确的是（）

　　A.正数的n次方根是一个正数

　　B.负数的n次方根是一个负数

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）

　　答案：C

　　2、化简下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、计算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

　　活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

　　通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

　　当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

　　即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。

　　点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

　　课堂小结

　　学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

　　（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作业

　　课本习题2.1A组1.

　　补充作业：

　　1、化简下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因为5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，

　　不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　设计感想

　　学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a=0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

　　第2课时

　　作者：郝云静

　　导入新课

　　思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）整数指数幂的运算性质是什么？

　　（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，

　　①；

　　②a8=(a4)2=a4=，；

　　③4a12=4(a3)4=a3=；

　　④2a10=2(a5)2=a5= 。

　　（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

　　，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。

　　（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

　　（5）你能推广到一般的情形吗？

　　活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

　　讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　　（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

　　根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

　　（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

　　结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

　　（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

　　规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　提出问题

　　（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

　　（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

　　（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

　　（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

　　（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

　　（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

　　活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。

　　讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　　（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

　　规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　　（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

　　正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？

　　如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。

　　（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

　　应用示例

　　例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

　　活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。

　　解：(1) =22=4;

　　（2）=5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　　（4）=23-3=278.

　　点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

　　例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。

　　解：a3?a=a3? =；

　　a2?3a2=a2? =；

　　a3a= 。

　　点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

　　例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

　　（1）；

　　（2）。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　　（2）=m2n-3=m2n3.

　　点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。

　　本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

　　变式训练

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4计算下列各式：

　　（1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3

　　【补充练习】

　　教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

　　1、(1)下列运算中，正确的是（）

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　　（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　　（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　　（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

　　A. B.

　　C. D.

　　（5）化简的结果是（）

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　　（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解：。

　　因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因为x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化简：。

　　活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：

　　x-1= -13=；

　　x+1= +13=；

　　。

　　构建解题思路教师适时启发提示。

　　解：

　　= 。

　　点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，

　　=a-b，

　　=a± +b，

　　=a±b.

　　2、已知，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　　（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　　（3）由于，

　　所以有=a+a-1+1=8.

　　点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。

　　课堂小结

　　活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：

　　（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　（4）说明两点：

　　①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

　　②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。

　　作业

　　课本习题2.1A组2,4.

　　设计感想

　　本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。

　　第3课时

　　作者：郑芳鸣

　　导入新课

　　思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。

　　思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　　（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？

　　2的过剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　　（3）你能给上述思想起个名字吗？

　　（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？

　　（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

　　活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：

　　问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。

　　问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。

　　问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。

　　问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。

　　问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。

　　讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。

　　（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。

　　第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。

　　从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明是一个实数。

　　（3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。

　　（4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。

　　（5）无理数指数幂的意义：

　　一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

　　也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。

　　提出问题

　　（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？

　　（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？

　　（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？

　　活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。

　　对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。

　　对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。

　　对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。

　　讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。

　　（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

　　①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。

　　②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。

　　③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。

　　（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。

　　实数指数幂的运算性质：

　　对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　应用示例

　　例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。

　　活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；

　　对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；

　　对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。

　　学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。

　　例2求值或化简。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　　（2）(a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。

高中数学教案14

　　一. 学习目标

　　(1)通过实例体会分布的意义与作用; (2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图，频率折线图; (3)通过实例体会频率分布直方图，频率折线图，茎叶图的各自特点，从而恰当的选择上述方法分析样本的分布，准确的作出总体估计。

　　二. 学习重点

　　三.学习难点

　　能通过样本的频率分布估计总体的分布。

　　四.学习过程

　　(一)复习引入

　　(1 )统计的核心问题是什么?

　　(2 )随机抽样的几种常用方法有哪些?

　　(3)通过抽样方法收集数据的目的是什么?

　　(二)自学提纲

　　1.我们学习了哪些统计图?不同的统计图适合描述什么样的数据?

　　2.如何列频率分布表?

　　3.如何画频率分布直方图?基本步骤是什么?

　　4.频率分布直方图的纵坐标是什么?

　　5.频率分布直方图中小长方形的面积表示什么?

　　6.频率分布直方图中小长方形的.面积之和是多少?

　　(三)课前自测

　　1.从一堆苹果中任取了20只，并得到了它们的质量(单位：g)数据分布表如下：

　　分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120g的苹果数约占苹果总数的xxx%. 2.关于频率分布直方图，下列说法正确的是( ) a.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 b.直方图的高表示取某数的频率 c.直方图的高表示该组上的样本中出现的频率与组距的比值 d.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值 3.已知样本：10，8，6，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，11，12，那么频率为0.2的范围是( ) a、5.5-7.5 b、7.5-9.5 c、9.5-11.5 d、11.5-13.5 (四)探究教学典例：城市缺水问题(自学教材65页~68页)

　　问题1.你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作? 2.如何分析数据?根据这些数据你能得出用水量其他信息吗? 知识整理： 1.频率分布的概念：频率分布：频数: 频率：

　　2.画频率分布直方图的步骤： (1).求极差: (2).决定组距与组数组距: 组数: (3).将数据分组 (4).列频率分布表 (5).画频率分布直方图问题： .

　　1.月平均用水量在2.5—3之间的频率是多少?

　　2.月均用水量最多的在哪个区间?

　　3.月均用水量小于4.5 的频率是多少?

　　4.小长方形的面积=?

　　5.小长方形的面积总和=?

　　6.如果希望85%以上居民不超出标准,如何制定标准?

　　7.直方图有那些优点和缺点?

　　例题讲解：例1有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下： [12.5, 15.5) 3 [15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 [24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5)的百分比是多少? (4)数据小于21.5的百分比是多少?

　　3.频率分布折线图、总体密度曲线问题1：如何得到频率分布折线图 ? 频率分布折线图的概念：

　　问题2：在城市缺水问题中将样本容量为100，增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增至10000呢?

　　总体密度曲线的概念：

　　注：用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

　　4. 茎叶图茎叶图的概念：茎叶图的特征：

　　小结：.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。

　　课堂小结：

　　当堂检测：

　　1. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则 [2500,3000)(元)月收入段应抽取人。

　　2、为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图(如图)，由于不慎将部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视力在4.6到5.0之间的频率为b，则

　　a+b= . 3.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则ba?=xx. 4.为了了解中学生的身高情况，对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量，结果如下：(单位：cm)： 175 168 180 176 167 181 162 173 171 177 171 171 174 173 174 175 177 166 163 160 166 166 163 169 174 165 175 165 170 158 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 170 172 165 157 172 173 166 177 169 181

　　(1)列出样本的频率分布表。

　　(2)画出频率分布直方图。

　　(3)画频率分布折线图;