【精华】高中数学函数教案15篇
作为一位杰出的教职工，编写教案是必不可少的，借助教案可以有效提升自己的教学能力。我们该怎么去写教案呢？下面是小编精心整理的高中数学函数教案，希望能够帮助到大家。
高中数学函数教案1
对数函数及其性质教学设计
1.教学方法
建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.
在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导
新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。
3.教学手段
本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务．
4.教学流程
四、教学过程
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
活动1：（1）同学们有没有看过《冰河世纪》这个电影?先播放视频，引入课题。
（2）考古学家经过长期实践，发现冻土层内某微量元素的含量P与年份t的`关系：，这是一个指数式，由指数与对数的关系，此指数式可改写为对数式。
（3）考古学家提取了冻土层内微量元素，确定它的残余量约占原始含量的1％，即P=0.01，代入对数式，可知
（4）由表格中的数据：
碳14的含量P
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
生物死亡年数t
5730
9953
19035
39069
57104
可读出精确年份为39069，当P值为0.001时，t大约为57104年，所以每一个P值都与一个t值相对应，是一一对应关系，所以p与t之间是函数关系。
（5）数学知识不但可以解决猛犸象的封存时间，也可以与其他学科的知识相结合来解决视频中的遗留问题，就是不知道咱们中国的猛犸象克隆问题会由班里的哪位同学解决，我们拭目以待。
（6）把函数模型一般化，可给出对数函数的概念。
通过这个实例激发学生学习的兴趣，使学生认识到数学来源于实践，并为实践服务。
和学生一起分析处理问题，体会函数关系，并体现学生的主体地位。
二、形成概念、获得新知
定义：一般地，我们把函数
叫做对数函数。其中x是自变量，定义域为
例1求下列函数的定义域：
（1）；（2）.
解：（1）函数的定义域是。
（2）函数的定义域是。
归纳：形如的的函数的定义域要考虑—
三、探究归纳、总结性质
活动1：小组合作，每个组内分别利用描点法画和的图象，组长合理分工，看哪个小组完成的最好。
选取完成最好、最快的小组，由组长在班内展示。
活动2：小组讨论，对任意的a值，对数函数图象怎么画？
教师带领学生一起举手，共同画图。
活动3：对a＞1时，观察图象，你能发现图象有哪些图形特征吗？
然后由学生讨论完成下表左边：
函数的图象特征
函数的性质
图象都位于y轴的右方
定义域是
图象向上向下无限延展
值域是R
图象都经过点（1，0）
当x=1时，总有y=0
当a>1时，图象逐渐上升；
当0当a>1时，是增函数
当0通过对定义的进一步理解，培养学生思维的严密性和批判性。
通过作出具体函数图象，让学生体会由特殊到一般的研究方法。
学生可类比指数函数的研究过程，独立研究对数函数性质，从而培养学生探究归纳、分析问题、解决问题的能力。
师生一起完成表格右边，对0＜a＜1时，找两位同学一问一答共同完成，再次体现数形结合。
四、探究延伸
（1）探讨对数函数中的符号规律.
（2）探究底数分别为与的对数函数图像的关系.
（3）在第一象限中，探究底数分别为的对数函数图象与底数a的关系.
五、分析例题、巩固新知
例2比较下列各组数中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），。
解：
（1）在上是增函数，
且3.4<8.5,
（2）在上是减函数，
且3.4<8.5,.
（3）注：底数非常数，要分类讨论的范围.
当a>1时，在上是增函数，
且3.4<8.5，；
当0且3.4<8.5，
练习1：比较下列两个数的大小：
练习2：比较下列两个数的大小：
（找学生上黑板讲解练习2的第一题，强调多种做法，一起完成第二小题.）
考察学生对对数函数图像的理解与掌握，进一步强调数形结合。
通过运用对数函数的单调性“比较两数的大小”培养学生运用函数的观点解决问题，逐步向学生渗透函数的思想，分类讨论的思想，提高学生的发散思维能力。
六、对比总结、深化认识
先总结本节课所学内容，由学生总结，教师补充，强调哪些是重要内容
（1）对数函数的定义；
（2）对数函数的图象与性质；
（3）对数函数的三个结论；
（4）对数函数的图象与性质的应用.
七、课后作业、巩固提高
（1）理解对数函数的图象与性质；
（2）课本74页，习题2.2中7，8；
（3）上网搜集一些运用对数函数解决的实际问题，根据今天学习的知识予以解答.
八、评价分析
坚持过程性评价和阶段性评价相结合的原则。坚持激励与批评相结合的原则.
教学过程中，评价学生的情绪、状态、积极性、自信心、合作交流的意识与独立思考的能力；
在学习互动中，评价学生思维发展的水平；
在解决问题练习和作业中，评价学生基础知识基本技能的掌握.
适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。
课后作业的设计意图：
一、巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标；二、让不同基础的学生学到不同的技能，体现因材施教的原则；
三、使同学们体会到科学的探索永无止境，为数学的学习营造一种良好的科学氛围。
高中数学函数教案2
内容与解析
（一）内容：对数函数及其性质
（二）解析：从近几年高考试题看，主要考查对数函数的性质，一般综合在对数函数中考查。题型主要是选择题和填空题，命题灵活。学习本部分时，要重点掌握对数的运算性质和技巧，并熟练应用。
一、目标及其解析：
（一）教学目标
（1）了解对数函数在生产实际中的简单应用。进一步理解对数函数的图象和性质；
（2）学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质。。
（二）解析
（1）在对数函数中，底数且，自变量，函数值。作为对数函数的三个要点，要做到道理明白、记忆牢固、运用准确。
（2）反函数求法：①确定原函数的值域即新函数的定义域。②把原函数y=f（x）视为方程，用y表示出x。③把x、y互换，同时标明反函数的定义域。
二、问题诊断分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易理解反函数，熟练掌握其转化关系是学好对数函数与反函数的.基础。
三、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 20xx。因为使用PowerPoint 20xx，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
四、教学过程
问题一。对数函数模型思想及应用：
①出示例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？
（Ⅱ）纯净水摩尔/升，计算纯净水的酸碱度。
②讨论：抽象出的函数模型？如何应用函数模型解决问题？强调数学应用思想
问题二。反函数：
①引言：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量新的函数的因变量。我们称这两个函数为反函数（inverse function）
②探究：如何由求出x？
③分析：函数由解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为。
那么我们就说指数函数与对数函数互为反函数
④在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数图象，发现什么性质？
⑤分析：取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？
⑥探究：如果在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？
由上述过程可以得到什么结论？（互为反函数的两个函数的图象关于直线对称）
⑦练习：求下列函数的反函数：；
（师生共练小结步骤：解x；习惯表示；定义域）
（二）小结：函数模型应用思想；反函数概念；阅读P84材料
五、目标检测
1（20xx全国卷Ⅱ文）函数y=（x 0）的反函数是
1B解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x 0可知A、C错，原函数y 0可知D错，选B。
2（20xx广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则（）
2 B解析：，代入，解得，所以，选B。
3求函数的反函数
3解析：显然y0，反解可得，将x，y互换可得。可得原函数的反函数为。
高中数学函数教案3
一、教学内容
本节主要内容为：经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。
二、教学目标
1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的.过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义。
2、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算。
3、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小。
三、过程与方法
通过进行有关推理，探索30°、45°、60°角的三角函数值。在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富，教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．
四、教学重点和难点
重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值
五、教学准备
教师准备
预先准备教材、教参以及多媒体课件
学生准备
教材、同步练习册、作业本、草稿纸、作图工具等
六、教学步骤
教学流程设计
教师指导学生活动
1。新章节开场白。 1。进入学习状态。
2。进行教学。 2。配合学习。
3。总结和指导学生练习。 3记录相关内容，完成练习。
教学过程设计
1、从学生原有的认知结构提出问题
2、师生共同研究形成概念
3、随堂练习
4、小结
5、作业
板书设计
1、叙述三角函数的意义
2、30°、45°、60°角的三角函数值
3、例题
七、课后反思
本节课基本上能够突出重点、弱化难点，在时间上也能掌控得比较合理，学生也比较积极投入学习中，但是学生好像并不是掌握得很好，在今后的教学中应该再加强关于这方面的学习。
高中数学函数教案4
教学目标
1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.
(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.
(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.
2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学建议
一、知识结构
(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.
(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.
二、重点难点分析
(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.
(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
三、教法建议
(1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.
(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.
函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以
的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值
开始,逐渐让
在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式
时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如
)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.
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设计说明
1、指导思想
本设计依据新课标的要求，立足于培养学生识记理解古汉语知识和鉴赏古典文学作品的能力，在自主、合作、探究的学习过程中养成自主学习、深入探究的良好习惯。
2、教学设想
《孔雀东南飞》是我国古代最长的叙事诗，也是乐府诗中的一朵奇葩，在思想上和艺术上都有极高的成就，对于这样一篇经典名作，我认为应该不惜时间精读细研，因此我确定用三课时完成。
本单元的话题为“爱的生命的乐章”，与单元话题相一致，我把本课的教学重点确定为：理解青年男女对美好爱情的执著追求和封建礼教、专制家长摧残青年男女爱情的罪恶。要深入理解这一重点问题，必须先扫清字词障碍，读懂原文。本文写作年代离我们十分久远，文中有很多生词、古今异义词等文言知识，可通过本课的学习让学生积累有关文言基础知识，培养学生阅读文言文的能力。另外，人物形象的塑造、思想价值的实现要借助于一定的`写作手法，乐府诗常用的赋、比、兴手法也应是学习的内容之一。因此，我确定了这样三个方面的学习目标。
疏通文意，学习积累文言基础知识，学生依靠课下注释和工具书基本可以完成，因此可采用自主、合作、探究的学习方式以学生自行解决为主，教师可就疑难问题略作指导。重点目标的实现可从分析人物形象入手，采用问题研讨的方式引导学生层层深入地理解作品思想内涵和社会意义。难点（起兴手法）的突破可引导学生拓展联想，用学生较为熟悉的例子帮助他们理解。
3、本设计的特点
本设计没有刻意求新，而是重在扎实严谨上作文章。教学内容的安排由易到难；各教学环节环环相扣，层层深入，过渡严谨自然。教学活动突出了学生的主体地位。
《孔雀东南飞》教学设计
教学目标：
1、学习积累文言基础知识：实词、多义词、偏义复词、古今异义词、互文等，培养学生阅读文言文的能力
2、分析人物形象，理解刘兰芝、焦仲卿对爱情的执著追求和封建礼教、专制家长摧残青年男女爱情幸福的罪恶，深入理解作品的社会意义，培养学生分析鉴赏文学作品的能力并引导学生树立正确的爱情观、价值观
3、了解乐府诗歌的常用表现手法赋、比、兴
教学重点：刘兰芝、焦仲卿对爱情的执著追求和封建礼教、专制家长摧残青年男女爱情幸福的罪恶
教学难点：赋、比、兴手法
教学用具：课件
教学时数：三课时
教学过程：
第一课时
活动内容：疏通文本，理清情节结构，初步认识作品思想内涵
活动过程：
一、导入
爱情是文学作品永恒的主题，古今中外的文人墨客写下无数优美的诗篇讴歌美丽的爱情。但在中国漫长的封建社会里，封建礼教、家长制等传统文化的冷漠残酷使无数美丽的爱情遭到了无情的摧残，从而造成了一幕幕爱情悲剧。今天就让我们走近焦仲卿和刘兰芝的爱情悲剧，感受封建家长制的罪恶和这种制度下的青年男女对爱情的不屈追求。
二、学生自己阅读注解，识记有关文学常识
1、乐府：本是汉武帝设立的音乐机关，它的职责是采集民间歌谣或文人的诗来配乐，以备朝廷之用。它所搜集整理的诗歌后世就叫“乐府诗”或“乐府”。
2、《孔雀东南飞》是我国古代最长的一首长篇叙事诗，也是乐府民歌的代表作之一，与北朝的《木兰辞》并称“乐府双璧”。
3、本诗出自南朝徐陵编写的《玉台新咏》。《玉台新咏》是继《诗经》、《楚辞》之后最早的一部诗歌总集。
三、初读课文，疏通文意，掌握有关文言知识
1、学生默读全诗，借助工具书和注释疏通文意，不懂的词句做出记号
2、就自己不懂的词句在小组内讨论交流
3、教师解答学生解决不了的疑难字词，并指导学生理解归纳本课中古今异义词、偏义复词、互文等文言知识
出示示例：（前两类现象各出示一个例子，其他让学生自己去整理）
①古今异义词
汝岂得自由（古：自作主张 今：没有束缚）
可怜体无比（古：可爱 今：值得同情）
叶叶相交通（古：交错相通 今：指运输）
本自无教训（古：教养 今：失败的经验）
处分适兄意（古：处理 今：处罚）
②偏义复词
两个意义相关或相反的词连起来当作一个词使用，实际上只取其中一个词的意义，另一个词只作陪衬。如：
昼夜勤作息（只取“作”之意，“息”只为陪衬）
便可白公姥（只取“姥”之意）
我有亲父母（只取“母”之意）
逼迫兼弟兄（只取“兄”之意）
③ 互文句
东西植松柏，左右种梧桐
枝枝相覆盖，叶叶相交通
四、在扫清文字障碍的基础上，再浏览课文。
1、结合诗前小序，了解故事梗概
2、理清情节结构，给故事发展的每一个阶段拟一个小标题
学生回答后教师出示：
故事开端（1-2段） 自请遣归
教案网权威发布高中高一数学教案：两角差的余弦公式教案，更多高中高一数学教案相关信息请访问教案网。
两角差的余弦公式
【使用说明】 1、复习教材P124-P127页，40分钟时间完成预习学案
2、有余力的学生可在完成探究案中的部分内容。
【学习目标】
知识与技能：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。
过程与方法：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观： 通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。
.【重点】通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用
【难点】两角差余弦公式的推导过程
预习自学案
一、知识链接
1. 写出 的三角函数线 ：
2. 向量 , 的数量积,
①定义：
②坐标运算法则：
3. ， ，那么 是否等于 呢?
下面我们就探讨两角差的余弦公式
二、教材导读
1.、两角差的余弦公式的推导思路
如图,建立单位圆O
(1)利用单位圆上的三角函数线
设
则
又OM=OB+BM
=OB+CP
=OA_____ +AP_____
=
从而得到两角差的余弦公式：
____________________________________
(2)利用两点间距离公式
如图，角 的终边与单位圆交于A( )
角 的终边与单位圆交于B( )
角 的终边与单位圆交于P( )
点T( )
AB与PT关系如何?
从而得到两角差的余弦公式：
____________________________________
(3) 利用平面向量的知识
用 表示向量 ，
=( , ) =( , )
则 . =
设 与 的夹角为
①当 时:
=
从而得出
②当 时显然此时 已经不是向量 的夹角，在 范围内，是向量夹角的补角.我们设夹角为 ，则 + =
此时 =
从而得出
2、两角差的余弦公式
____________________________
三、预习检测
1. 利用余弦公式计算 的值.
2. 怎样求 的值
你的疑惑是什么?
________________________________________________________
______________________________________________________
探究案
例1. 利用差角余弦公式求 的值.
例2.已知 ， 是第三象限角，求 的值.
训练案
一、 基础训练题
1、
2、
3、
二、综合题
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高中数学函数教案5
教学目标
1.使学生了解反函数的概念；
2.使学生会求一些简单函数的反函数；
3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。
教学重点
1.反函数的概念；
2.反函数的求法。
教学难点
反函数的概念。
教学方法
师生共同讨论
教具装备
幻灯片2张
第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；
第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。
教学过程
（I）讲授新课
（检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？
生：（略）
（学生回答之后，打出幻灯片A）。
师：反函数的定义着重强调两点：
（1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；
（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。
师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？
生：一一映射确定的函数才有反函数。
（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。
师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）
在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）
由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。
师：从反函数的`概念可知：函数y= f (x)与y= f –1(x)互为反函数。
从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）将x= f –1(y)改写成y= f –1(x)，即对调x= f –1(y)中的x、y。
（3）指出反函数的定义域。
下面请同学自看例1
（II）课堂练习 课本P68练习1、2、3、4。
（III）课时小结
本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。
（IV）课后作业
一、课本P69习题2.4 1、2。
二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。
板书设计
课题： 求反函数的方法步骤：
定义：（幻灯片）
注意： 小结
一一映射确定的
函数才有反函数
函数与它的反函
数定义域、值域的关系。
高中数学函数教案6
一、教学目标
(一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式。
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力。
(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想。
二、教材分析
1。重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫。
2。难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点。由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了。
3。疑点：是否有继续研究直线方程的必要？
三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习。
四、教学过程
(一)复习一次函数及其图象
已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上。初中我们是这样解答的：∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上。
∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上。
现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会。)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的.图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式。简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系。
(二)直线的方程
引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是。一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应。
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线。
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的。
显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念。
(三)进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究。
(四)直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α。特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：
(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；
(2)直线向上的方向作为终边；
(3)最小正角。
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系。
(五)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线。它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即
直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率。
(六)过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的。当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的。怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？
P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q。那么：
α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)
综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(七)例题
例1如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，
本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板。
例2求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
∴tgα=-1。∵0°≤α＜180°，∴α=135°。
因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°。
讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得。
(八)课后小结
(1)直线的方程的倾斜角的概念。(2)直线的倾斜角和斜率的概念。
(3)直线的斜率公式。
五、布置作业
1。(练习
六、板书设计
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
高中数学函数教案7
一、教学目标
【知识与技能】
理解函数的概念，能对具体函数指出定义域、对应法则、值域。
【过程与方法】
通过对函数的学习，进一步体会集合与对应的'数学思想方法。
【情感、态度与价值观】
在探索中感受到成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点
【重点】函数的概念。
【难点】从具体实例中抽象出函数概念。
三、教学过程
（一）导入新课
带领学生复习初中阶段函数的概念，并举例说明，从而引出高中阶段对函数的学习。
（二）讲解新知
利用多媒体展示上一节的实例，例如：
（1）加油站储油罐的储油量和高度的关系；
（2）高速公路总里程与年份的关系。引导学生分析归纳以上两个实例，变量分别是谁、变量的范围是什么、变量之间存在的关系是什么、这些例子有什么共同特点。
高中数学函数教案8
教学目标
（1）理解四种命题的概念；
（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；
（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；
（4）初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；
（5）通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；
（6）通过对四种命题的存在性和相对性的认识，进行辩证唯物主义观点教育；
（7）培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．
教学重点和难点
重点：四种命题之间的关系；难点：反证法的运用．
教学过程设计
第一课时：四种命题
一、导入新课
【练习】1．把下列命题改写成“若则”的形式：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）正方形的四条边相等．
2．什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？
将命题写成“若则”的形式，关键是找到命题的条件与结论．
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题．
上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”．
值得指出的是原命题和逆命题是相对的．我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题．
3．原命题真，逆命题一定真吗？
“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真．但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真．
学生活动：
口答：（1）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
设计意图：
通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础．
二、新课
【设问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？
【讲述】可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题．
【提问】你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？
学生活动：
口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
教师活动：
【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
若用和分别表示原命题的条件和结论，用┐和┐分别表示和的否定．
【板书】原命题：若则；
否命题：若┐则┐．
【提问】原命题真，否命题一定真吗？举例说明？
学生活动：
讲论后回答：
原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真．
原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等”不真．
由此可以得原命题真，它的否命题不一定真．
设计意图：
通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成否命题及判断它们的真假，调动学生学习的积极性．
教师活动：
【提问】命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题和否命题外，还可以不可以构成别的命题？
学生活动：
讨论后回答
【总结】可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题．
教师活动：
【提问】原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？
学生活动：
口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形．
教师活动：
【讲述】一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题．
原命题是“若则”，则逆否命题为“若则．
【提问】“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？
学生活动：
讨论后回答
这两个逆否命题都真．
原命题真，逆否命题也真．
教师活动：
【提问】原命题的真假与其他三种命题的真
假有什么关系？举例加以说明？
【总结】1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．
2．原命题为真，它的否命题不一定为真．
3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．
设计意图：
通过设问和讨论，让学生在自己举例中研究如何由原命题构成逆否命题及判断它们的真假，调动学生学的积极性．
教师活动：
三、课堂练习
1．设原命题是“若，则”，写出它的.逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
学生活动：
笔答：
逆命题“若，则”．逆命题是假命题．
否命题“若，则”．否命题是假命题．
逆否命题“若，则”．逆否命题是真命题．
教师活动：
2．设原命题是“当时，若，则”，写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假．
学生活动：
笔答
逆命题“当时，若，则”．
否命题“当时，若，则”．否命题为真．
逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．
设计意图：
通过练习巩固由原命题构成否命题、逆否命题及判断它的真假的能力．
教师活动：
【总结】“当时”是大前提，写其他命题时应该将“当时”写在前面．原命题的条件是，结论是
“”的否定是“”，而不是“”，同样“”的否定是“”，而不是“”．
【投影】
3．填图
1．若原命题是“若则”，其它三种命题的形式怎样表示？请写在方框内？
学生活动：笔答
教师活动：
2．根据上图所给出的箭头，写出箭头两头命题之间的关系？举例加以说明？
学生活动：讨论后回答
设计意图：
通过学生自己填图，使学生掌握四种命题的形式和它们之间的关系．
教师活动：
四、小结
四种命题的形式和关系如下图：
由原命题构成道命题只要将和换位就可以．由原命题构成否命题只要和分别否定为和，但和不必换位．由原命题构成逆否命题时不但要将和换位，而且要将换位后的和否定·
原命题为真，它的逆命题不一定为真．
原命题为真，它的否命题不一定为真．
原命题为真，它的逆否命题一定为真．
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式—一加以讨论．
教师活动：
五、作业
1．阅读课本四种命题．
2．四种命题，练习（31页）1、2，练习（32页）1、2
3．习题1、2、3、4
第12页
高中数学函数教案9
教学准备
1.教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依
赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；
3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.
教学重点/难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学用具
多媒体
4.标签
函数及其表示
教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的'数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．
注意：
①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f(x)=+
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为x，且边长x为正数，所以0＜x＜40.
所以s==（40－x）x（0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P19第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
分析：
1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：
课本P18例2
（四）归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念.
（五）设置问题，留下悬念
1、课本P24习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系.
课堂小结
高中数学函数教案10
自读要求：
1、理解“记忆所蕴涵着的真谛”及“门槛”的象征意义。
2、体会两篇散文诗中所饱含的作者的思想感情，品味隽永的富有哲理的语言。
3、学习比喻、象征等手法的运用，认知散文诗的基本特点，初步学会对散文诗的欣赏。
学习重点：
从品味语言入手，通过两首散文诗的对比阅读，归纳散文诗的基本特点，进而欣赏两首散文诗的语言美、形式美、意境美。
◆ 自读程序
记忆
一、导语设计
前苏联作家高尔基的《海燕》运用象征的手法，使人们在鸟儿（海燕、海鸥、海鸭、企鹅……）“叽叽喳喳”的叫喊声中听出了革命先驱对暴风雨的渴望，看到了革命勇士搏击长空的雄姿，文章具有散文的形式美，更具有诗歌的意境美。这种诗歌散文化、散文诗歌化的文学体裁，人们称之为散文诗。今天我们再阅读两篇散文诗，了解体会这种文体。
二、整体感知——理解，感受结构美
首先明确本文是一篇散文诗，它具有诗一样优美的语言，优美的意境；同时又兼具散文的形散神聚的`特点。
1，学生快速默读《记忆》，根据文章的内容，将其划分一下层次，理出作者的写作思路。
明确：
第一部分：1—7自然段，引出记忆的话题。以文学家的笔墨来表现记忆的社会本质。
第二部分：8—14自然段，谈到记忆，既涉及话题，又脱离话题。描述有关记忆的种种现象，进一步探讨记忆的社会本质。
第三部分：15—24自然段，用比喻性的说法正面回答什么是记忆。
第四部分：25—31自然段，描写各种人对待记忆的态度，或者说记忆在各种人身上的表现。
综合以上，本文围绕“记忆”展开话题，但却始终没有明确点出记忆到底是什么，。可见记忆不过是作者思想感情赖以表达的凭借，作者真正想表达的是对正义、对高尚情操的歌颂，对恶势力、对卑下行为的批判，但这写作意图藏而不露。
2，论“记忆所蕴涵着的真谛”。学生自由发言，回答文中“记忆”究竟指什么？进而初步了解作者所表达的观点态度。
明确：本文从记忆这一角度入手，对纷繁的社会现象和人们的种种品行作了概括而生动的描写，表达了对真善美的歌颂，对假恶丑的批判。从根本上说，这里的“记忆”，是广大人民心中判断是非曲直的客观尺度。
三、揣摩剖析——悟读，领悟意境美
1，理解“记忆嘛，没有重量……又可以使另一个人的灵魂贬值到零以下”这段话的含义。
明确：
“没有重量”——过去犯了错误，而又没有正确对待，那么犯错误的记忆就可以压得你匍匐在地；由于你刻苦学习从而取得了学习或工作的进步，学或工作进步的记忆就可以鼓舞你在理想的空间里飞翔。
“没有体积”——襟怀坦荡，光明磊落的做事的记忆，可以让人去拥抱整个世界；反之以小心眼处事，那么你的世界会很狭小。
“没有色彩”——做过的有损于社会的事情的记忆，就可以使人的心灵变得苍白幽暗；而对人民，对社会做出贡献的记忆，可以使人的内心世界绚丽辉煌。
“没有标价”——对人民对社会做出巨大贡献的的记忆，可以让一个人生命价值上升到崇高境界，而做出严重危害社会危害人民的记忆，则可以是一个人的灵魂贬值到零以下。
1，轻声阅读“记忆没有体积……”这部分，讨论记忆对人有哪些影响。学生自由发言，回答作者从人生的哪些方面对人类品性作了剖析？你还能列举出哪些方面？
2，默读两个传说，轻读“嗯，只记得一己忧患的，是庸人。……才是勇士，真正的勇士！”讨论：两个传说表达了作者的什么观点？后面的议论表达了作者什么样的爱憎情感？
3，综合以上两大段，讨论：你体会到了作者什么样的心灵境界？
四、鉴别赏析——品读，欣赏形式美
1，声情并茂阅读“……而你，朋友，却执拗地望着我……他就永不会从后人的记忆中泯灭”。讨论：这一段语言有何特色？运用了哪些表达方式？通过哪些表现手法表达情感？
2，由此段推及全文，讨论语言、结构形式、体裁有何特色，从而掌握散文诗的一般特点。
五、迁移运用——练读，体验鉴赏美
1，自读《门槛》，揣摩“门槛”的象征意
2，讨论文中“俄罗斯的姑娘”具有怎样的性格特征。
3，比较《记忆》与《门槛》在语言、取材、表现手法、意境上的异同。
◆自读点拨
1、多方面的美感在《记忆》中的体现。
①情操美：见“自读程序”三。
②结构美：全文采用了层进式与错综分承式相结合的开放性创新结构。对“人生价值”这一永恒的话题，以一老者向年轻人谈话的形式，娓娓而谈，步步推进，赋予了有形的篇章以无限的联想空间。
③章法美：成功地运用了美学中“和谐”与“奇异”的原理，采用的是参照系方法。在关于“记忆真谛”方面，采用虚实参照，表现出奇异。
④语言美：化虚为实，变抽象说理为形象思考，极具感染力，不仅具有视觉美和听觉美，更具有灵觉美（使读者心灵受到感动）。形式上既有诗歌视觉整齐，听觉爽朗，富有气势的特点，又有散文“形散神聚”、意象广博、文化价值内涵丰富的特征，形象、生动、精练、深邃、隽永，富有哲理。
⑤意境美：文中化虚为实，又因实悟虚，以“记忆”作为审视“人生真谛”的载体，进行多层面、多视角的价值评判，从而构成了开阔的、积极向上的多视角意象和多层面意境。
2、强烈感情在《记忆》中的表现。
对记忆真谛揭示的全过程，鲜明地表现了作者的爱憎。首先是对“记忆”的价值评判中，四句名言，作者从忘却（记忆的反面）的角度表达了对忘恩负义和背叛的坚决否定。接着，在描述“记忆”时，以“重量”“体积”“色彩”“标价”为突破口，对理想远大、胸怀?宽阔、心灵绚丽、价值崇高的人生予以了充分的肯定；同时对胸无大志、心胸狭隘、心灵幽暗、价值低下的人生给予了彻底的批判。随后的设喻更是对勇于奉献精神的高度赞美。两个传说对流芳千古与遗臭万年的人生态度十分鲜明，加上反面的议论，使作者对庸人、叛徒、蠢货、懦夫的愤慨，和对智者、勇士的颂扬得到充分的体现，作者的感情也达到了高潮。
3、《记忆》与《门槛》在语言、取材、表现手法、情感、意境上有许多异同点 。
◆自读训练
课外阅读一篇散文诗，说说散文诗这种文体的一些特征。
高中数学函数教案11
教材：已知三角函数值求角(反正弦，反余弦函数)
目的：要求学生初步(了解)理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出 范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。
过程：
一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。
由
1在R上无反函数。
2在 上， x与y是一一对应的，且区间 比较简单
在 上， 的反函数称作反正弦函数，
记作 ，(奇函数)。
同理，由
在 上， 的反函数称作反余弦函数，
记作
二、已知三角函数求角
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。
已知三角函数值求角是多值的。
例一、1、已知 ，求x
解： 在 上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个
(即 )
2、已知
解： ， 是第一或第二象限角。
即( )。
3、已知
解： x是第三或第四象限角。
(即 或 )
这里用到 是奇函数。
例二、1、已知 ，求
解：在 上余弦函数 是单调递减的`，
且符合条件的角只有一个
2、已知 ，且 ，求x的值。
解： ， x是第二或第三象限角。
3、已知 ，求x的值。
解：由上题： 。
介绍：∵
上题
例三、(见课本P74-P75)略。
三、小结：求角的多值性
法则：1、先决定角的象限。
2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x;
如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x，
3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。
四、作业：
P76-77 练习 3
习题4.11 1，2，3，4中有关部分。
高中数学函数教案12
今天我说课的课题是《锐角三角函数》（第一课时），所选用的教材为人教版义务教育课程标准实验教科书。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法和学法分析，教学过程分析四个方面加以说明。
一、教材的地位和作用
本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章第一节内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础，也是高中进一步研究三角函数、反三角函数、三角方程的工具性内容。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析
从学生的年龄特征和认知特征来看：
九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
从学生已具备的知识和技能来看：
九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础
从心理特征来看：初三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
从学生有待于提高的知识和技能来看：
学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的剖析。
3、教学重、难点
根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：理解正弦函数意义，并会求锐角的正弦值。
难点确定为：根据锐角的正弦值及一边，求直角三角形的其他边长。
二、教学目标分析
新课标指出，教学目标应从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面阐述，而这四维目标又应是紧密联系的一个完整的整体，学生学知识技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识技能为主线，渗透情感态度，并把前面两者通过数学思考充分体现在问题解决中。借此结合以上教材分析，我将四个目标进行整合，确定本节课的教学目标为：
1。理解锐角正弦的意义，并会求锐角的正弦值；
2。初步了解锐角正弦取值范围及增减性；
3。掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形的其他边长的方法；
4。经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力；
5。通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
三、教学方法和学法分析
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的学情情况，本节课我采用“三动五自主”的教学模式，以问题的'提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式，在教师的指道下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
本节课的教法采用的是情境引导和探究发现教学法，在教学过程中，通过适宜的问题情境引发新的认知冲突；建立知识间的联系。教师通过引导、指导、反馈、评价，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中主动参与概念的建构过程，并运用数学知识解决实际问题，享受数学学习带来的乐趣。
本节课的学习方法采用自主探究法与合作交流法相结合。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，旨在让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。
四、教学过程
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
（一）自主探究
1、复习旧知，温故知新
1、已知：在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=350，则∠B= 0
2、已知：在Rt△ABC中，∠C=900，AB=5，AC=3，则BC=
设计意图：建构注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，相似的三角形性质是本节课深入研究锐角正弦的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。
2、创设情境，提出问题
利用多媒体播放意大利比萨斜塔图片，然后老师问：比萨斜塔中条件和要探究的问题：“你能根据问题背景画出直角三角形并且利用边求出斜塔的倾斜角吗？”这就是今天我们要学习锐角三角函数（板书课题）
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望‘
通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节———
（二）自主合作
1、发现问题，探求新知（要求学生独立思考后小组内合作探究）
1、（播放绿化荒山的视频）课本P74问题与思考，求的值
2、课本P75思考：求的值
设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳。
2、分析思考，加深理解
1、课本P75探索，问：与有什么关系？你能解释吗？
2、正弦函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=
对定义的几点说明：
1、sinA是一个完整的符号，表示∠A的正切习惯上省略“∠”的符号。
2、本章我们只研究锐角∠A的正弦。
3、sinA的范围：0
设计意图：数学教学论指出，数学概念要明确其内涵和外延（条件、结论、应用范围等），通过对锐角正弦定义阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。
通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，于是我把学生引入到下一环节。
（三）自主展示（强化训练，巩固双基）
1、（例1课本P76）已知：在Rt△ABC中，∠C=900，根据图中数据
求sinA和sinB
2、判断对错（学生口答）
（1）若锐角∠A=∠B，则sinA=sinB （ ）
（2）sin600=sin300+sin300 （ ）
3、如图，将Rt△ABC各边扩大100倍，则tanA的值（ ）
A。扩大100倍B。缩小100倍C。不变D。不确定
4、如图，平面直角坐标系中点P（3，— 4），OP与x轴的夹角为∠1，求sin∠1的值。
设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，其中例1……例2……，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
（四）自主拓展（提高升华）
1、课本习题28。1第1、2、题；
2、选做题：已知：在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=，周长为60，求：斜边AB的长？
以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
（五）自主评价（小结归纳，拓展深化）
我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：
①通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
②通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，为了使课堂效益达到最佳状态，我设计以下问题加以追问：
1、sinA能为负吗？
2、比较sin450和sin300的大小？
设计要求：（1）先学生独立思考后小组内探究
（2）各组交流展示探究结果，并且组内或各组之间自主评价。
设计意图：
（1）有一定难度需要学生进行合作探究，有利于培养学生善于反思的好习惯。
（2）学生通过互评自评，可以使学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，同时促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据。我的说课到此结束，敬请各位老师批评、指正，谢谢！
教学反思
1。本教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学。
2。在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用。
3。正弦是生活中应用较广泛的三角函数。因而在本节课的设计中力求贴近生活。又从意大利比萨斜塔提炼出了数学问题，让学生体会学数学、用数学的乐趣。
高中数学函数教案13
【教学目标】
（一）知识与技能
1、了解幂函数的概念，会画幂函数y?x,y?x,y?x，y?x，y?x的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2、了解几个常见的幂函数的性质。
（二）过程与方法
1、通过观察、总结幂函数的性质，提高概括抽象和识图能力。
2、体会数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观
1、通过生活实例引出幂函数的概念，体会生活中处处有数学，树立学以致用的意识。
2、通过合作学习，增强合作意识。
【教学重点】
幂函数的定义
【教学难点】
会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象、
【教学方法】
启发式、讲练结合教学过程
一、复习旧课
二、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S?a2，这里S是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V?a3,这里V是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a?S12,这里a是S的函数
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度V?t?1km/s，这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的`一般式吗？幂函数的定义：一般地，我们把形如y?x?的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，?是常数。 【探究一】幂函数有什么特点？
结论：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数试一试：判断下列函数那些是幂函数练习1判断下列函数是不是幂函数3(1) y＝2 x；(2) y＝2 x5；7(3) y＝x8；(4) y＝x2＋3、
根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？
（二）：求幂函数的定义域
1.什么是函数的定义域？
函数自变量的取值范围叫做函数的定义域2.求函数的定义域时依据哪些原则？(1)解析式为整式时，x取值是全体实数。
2 (2)解析式是分式时,x取值使分母不等于零。
(3)解析式为偶次方根时，x取值使被开方数取非负实数。 (4)以上几种情况同时出现时，x取各部分的交集。
(5)当解析式涉及到具体应用题时，x取值除了使解析式有意义还要使实际问题有意义。例1写出下列函数的定义域：1(1) y＝x3；(2) y＝x2；－32、 (3) y＝x－；(4) y＝x2解：(1)函数y＝x3的定义域为R；
1(2)函数y＝x2，即y＝x，定义域为[0，＋∞)；
12(3)函数y＝x－，即y＝2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
x3－1(4)函数y＝x2，即y＝，其定义域为(0，＋∞)、
3 x练习2求下列函数的定义域：
11－(1) y＝x2；(2) y＝x 3；(3) y＝x-1；(4) y＝x2、
（三）、几个常见幂函数的图象和性质
我们已经学习了幂函数(1) y＝x；(2) y＝x2.(3) y＝x－、（4）y=x3 (5) y＝1x2；请同学们在同一坐标系中画出它们的图象.性质：幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限;当??0是，图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间?0,???上是单调增函数。??0时幂函数y?x?图象的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0,??)上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接 近Y轴。
（四）课堂小结
（五）课后作业
1、教材P 100，练习A第1题、
12在同一坐标系中画出函数y＝x与y＝x2的图象，并指数这两个函数各有什么性质以
3及它们的图象关系
高中数学函数教案14
整体设计
教学分析
本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.
如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在.
三维目标
1.通过学生自主探究，理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响，A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
2.通过探究图象变换，会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
3.通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观.
重点难点
教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.
教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
推进新课
新知探究
提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？
②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？
③请你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
④你能用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便，先不妨固定为φ=，从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).
⑤类似地，你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便，不妨令ω=2，φ=.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？
活动:问题①，教师先引导学生阅读课本开头一段，教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再整合.
图1
问题②，由学生作出φ取不同值时，函数y=sin(x+φ)的图象，并探究它与y=sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的`方便，不妨先取φ=，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y值，y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况，这说明y=sin(x+)的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=，用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.
如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③，引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
问题④，教师指导学生独立或小组合作进行探究，教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论，具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照，把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较，取点A、B观察.发现规律:
图2
如图2，对于同一个y值，y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=，让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到y=sin(x+)的图象.
当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系，得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化，归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系，得出结论:
函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
图3
问题⑤，教师点拨学生，探索A对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响完全一致，鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系.可以发现，对于同一个x值，函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明，y=3sin(2x+)的图象，可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的通过实验可以看到，A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论:
函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移.但学生很容易在第三步出错，可在图象变换时，对比变换，以引起学生注意，并体会一些细节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想.
讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程，分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响，然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略.
③图象左右平移，φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变，横坐标伸缩，ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变，纵坐标伸缩，A影响了图象的形状.
⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)，但要注意第三步的平移.
y=sinx的图象
得y=Asinx的图象
得y=Asin(ωx)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
得y=sin(x+φ)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移的步骤程序(见上).
应用示例
例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝，ω＝，A＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象，如图4所示.
图4
(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生作换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质.
(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(x-)，简图的方法，教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为
y=sinxy=sin(x-)
y=sin(x-)
y=2sin(x-).
方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为
y=sinxy=sinx
y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).
方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X=x-，则x=3(X+).列表:
X
π
2π
X
2π
5π
Y
2
-2
描点画图，如图5所示.
图5
点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x而言，这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=ωx+φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π来确定对应的x值.
变式训练
1.20xx山东威海一模统考，12 要得到函数y=sin(2x+)的图象，只需将函数y=sinx的图象( )
A.向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D.向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
答案:C
2.20xx山东菏泽一模统考，7 要得到函数y=2sin(3x)的图象，只需将函数y＝2sin3x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
答案:D
例2 将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图象?
活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+)，把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式是y=sin(2x+)，而不是y=sin2(x+).
解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=sin(x+)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=sin(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sin(2x+)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象.
方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=2sin2(x+)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象.
点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
变式训练
1.将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图象?
解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).
在y=cos(2x-)中以x-a代x，有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根据题意，有2x-2a-=2x-，得a=-.
所以将y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图象.
2.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？
方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)
y=sin(x+)y=sinx.
方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x
y=sin2xy=sinx.
3.20xx山东高考，4 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x-)的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
答案:A
知能训练
课本本节练习1、2.
解答:
1.如图6.
点评:第(1)(2)(3)小题分别研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响，第(4)小题则综合研究了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
2.(1)C;(2)B;(3)C.
点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度，在A1与A2，ω1与ω2，φ1与φ2中，每题只有一对数值不同.
课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象，并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.
作业
1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象.
2.要得到函数y=cos(2x-)的图象，只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?
3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.
解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x，作图过程:
y=sinxy=sin2xy=sin2x.
2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)，
∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.
3.∵y=cos2x+1，
∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y=cos2x+1.
设计感想
1.本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神，符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.
2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.
3.学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.
(设计者:张云全)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.
思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图，学生动手画图，教师适时的点拨、纠正，并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？
②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？
③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y=sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.
对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)
甲生:所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度，得到y=sin(x-)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y=sin(2x-)，即y=cos2x的图象，∴f(x)=cos2x.
乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin(x++φ)=sinx，∴A=，=1，+φ=0，
即A=，ω=2，φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.
丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx，
∴A=，=1，+φ=0.
解得A=，ω=2，φ=-，
∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.
活动:问题①，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.
问题②，让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.
问题③，甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=sinx变换到y=f(x)，解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y=Asin(ωx+φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时，把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+，应该变换成y=Asin[(x+)+φ]，而不是变换成y=Asin(x++φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的
三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误.
讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体，令其分别为0， ，π， ，2π.
②(1)右， ；(2)左， ；(3)先y＝sinx的图象左移，再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).
③略.
提出问题
①回忆物理中简谐运动的相关内容，并阅读本章开头的简谐运动的图象，你能说出简谐运动的函数关系吗？
②回忆物理中简谐运动的相关内容，回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.
活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究，建立与物理知识的联系，了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系，得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.
讨论结果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.
②略.
应用示例
例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
图7
活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的让学生明确解题思路，是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题.完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充.
解:(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.
(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动;如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动.
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，
那么A=2;由=0.8，得ω=;由图象知初相φ=0.
于是所求函数表达式是y=2sinx，x∈［0，+∞).
点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练
函数y=6sin(x-)的振幅是，周期是____________，频率是____________，初相是___________，图象最高点的坐标是_______________.
解:6 8π (8kπ+，6)(k∈Z)
例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，-5)，求这个函数的解析式.
活动:让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系，它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知，取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不像例1那样能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y轴最近的一个即可.
解:由已知条件，知ymax=3，ymin=-5，
则A=(ymax-ymin)=4，B= (ymax+ymin)=-1，=-=.
∴T=π，得ω=2.
故有y=4sin(2x+φ)-1.
由于点(，3)在函数的图象上，故有3=4sin(2×+φ)-1，
即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<，故取+φ=.∴φ=.
故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.
点拨:这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A、ω，进而求得初相φ，但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.
变式训练
已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)一个周期的图象如图8所示，求函数的解析式.
解:根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程ωxi+φ=0，，π，，2π(i=1，2，3，4，5)，得出φ的值.
方法一:由图知A=2，T=3π，
由=3π，得ω=，∴y=2sin(x+φ).
由“五点法”知，第一个零点为(，0)，
∴·+φ=0荭=-，
故y=2sin(x-).
方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.
由图象并结合“五点法”可知，(，0)为第一个零点，(，0)为第二个零点.
∴·+φ=π荭=.
∴y=2sin(x-).
点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法，然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.
2.20xx海南高考，3函数y=sin(2x-)在区间［，π］上的简图是( )
图9
答案:A
知能训练
课本本节练习3、4.
3.振幅为，周期为4π，频率为.先将正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的2倍，最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的倍.
点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系.
4..把正弦曲线在区间［，+∞)的部分向左平行移动个单位长度，就可得到函数y=sin(x+)，x∈［0，+∞)的图象.
点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=sin(x+φ)的图象与正弦曲线的关系.
课堂小结
1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值.
2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同.左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出，特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(，0)作为突破口，一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.
作业
把函数y=cos(3x+)的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
解:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-)]，
∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y=sin(-3x)的图象.
答案:D
点评:本题需逆推，教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的-3x需写成-3(x-)，这样才能确保平移变换的正确性.
设计感想
1.本节课符合新课改精神，突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一.
2.由于本节内容综合性强，所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归.在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力.
高中数学函数教案15
教学目标：
1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；
3．能够综合运用各种法则求函数的导数．
教学重点：
函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
（1）常见函数的导数公式：（默写）
（2）求下列函数的导数：； ； ．
（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．
2．探究活动．
例1 求的导数．
思考 已知，怎样求呢？
二、建构数学
函数的和差积商的'导数求导法则：
三、数学运用
练习 课本P22练习1～5题．
点评：正确运用函数的四则运算的求导法则．
四、拓展探究
点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．
五、回顾小结
函数的和差积商的导数求导法则．
六、课外作业
1．见课本P26习题1.2第1，2，5～7题．
2．补充：已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
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