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深究习例开拓能力

时间:2023-02-20 10:55:41 数学论文 我要投稿

深究习例开拓能力

深究是一种重要的思想方法和学习方法。
    教师充分挖掘课本习、例题的潜能,不仅能开拓学生的解题思路,激发学生的学习兴趣,而且还能有效地 开拓学生的能力,提高教学质量。
    一、变形创新,培养思维转换能力
    思维转换能力是指:由一种思维对象转移到另一种思维对象,由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力,也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形,对于调动学生的学习兴趣,学习的积极性和 主动性,激发学生的求知欲望,拓宽解题思路、培养思维转换能力,有着重要意义。如:
    例1,如图1,MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,求证:点A,B与MN的距离和等于⊙O的直径。(《几何》第 三册P116第8题)
    (附图 {图})
    图1
    此题是很普通的习题,但经过深究,不难发现它的内涵之丰富。
    (一)解题方法
    1.连结OC,证明半径OC是直角梯形的中位线。
    2.过C作CG⊥AB,连结AC、BC,证明△ADC≌△AGC,△BEC≌△BGC得AD=AG,BE=BG
    BE AD OC
    3.如图2,连结OC,延长AB交MN于P,显然sinP=──=──=── ?
    PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ,即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
    从而 BE+AD=2OC
    (附图 {图})
    图2
    (二)变形创新
    如果MN不是切线,而是割线,则有
    例2,如图3,AB是⊙O的直径,MN交⊙O于E、F(E、F在AB的同侧)两点,AD⊥MN,BC⊥MN,垂足分别为D、 C,连结AF、AE,设AD=a,CD=b,BC=c,求证:tg∠DAF和tg∠DAE是方程:ax[2,]-bx+c=0的根
    DF+DE DF+DE
    证明:①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
    AD a
    b
    ②过O作OG⊥EF,证DF=CE,得tg∠DAF+tg∠DAE=── ,
    a
    BC
    ③连结BE,证 ∠CEB=∠DAE,tg∠DAE=tg∠CEB=── ,得
    CE
    c
    tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。
    a
    (附图 {图})
    图3
    二、创设反面,培养逆向思维能力
    所谓逆向思维,就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势,启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时,逆向思维往往使人茅塞顿开。因此,创设命题的逆命题,是深究问题的 又一重要方面。如:
    例3,如图4,Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,求: BD的长。(《几何》第三册P128第2题)
    (附图 {图})
    (附图 {图})
    图4
    此题是很简单的解答题,但经深究,可创设:
    命题:如图5,Rt△ABC中,两条直角边是AC、BC,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,过D作圆的切线,交 BC于E,求证:E是BC中点。
    证明:连结CD、OD,证EB=ED
    从而得:E是BC中点。
    (附图 {图})
    图5
    逆命题:BC、AC是Rt△ABC的两条直角边,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,E是BC中点,求证:DE是圆的 切线。
    证明:连结OD、CD、OE,证△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°,结论得证。
    充分挖掘这种习、例题的潜能,创设新颖课题,使学生在积极的探究中学到了知识,发展了智力,提高了 能力。
    三、由此及彼,培养思维的广阔性
    思维的广阔性,也称为思维的广度,是指思路的宽广,富有想象力,善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题,认识问题和解决问题。
    数学习题浩如烟海,如何从“题海”中解脱出来,提高教学能力呢?这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法,而应该挖掘题目中的丰富内涵,训练学生思维的灵活性、广阔性,提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如:
    例4,如图6,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D,求证:DE=DB。(《几何》第三 册P117第12题)

    证明:连结BE,证∠BED=∠DBE?DE=DB。
    (附图 {图})
    图6
    例5,如图7,△ABC中,∠A和∠B的平分线相交于I,AI交边BC于D,交△ABC的外接圆于点E,求证;IE[2, ]=AE·DE。
    证明:连结BE,证△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE,再证IE=BE,即得:IE[2,]=AE·DE。
    (附图 {图})
    图7
    例6,如图8,△ABC中,∠A的平分线交BC于F,交△ABC的外接圆于D,连结BD,过D作△ABC的外接圆的切线 ,交AC的延长线于E,如果AB:AC=3:2,BD=3?,DE+EC=6,求:BF的长。
    (附图 {图})
    图8
    解:连结CD,证BD[2,]=BF·DE,
    36-2EC
    再证AC= ─── ,
    EC
    12
    后证AC= ──,从而求得:BF=4.5。
    EC
    如果AD不是∠A的平分线,而是△ABC外接圆的直径,那么有
    例7,如图9,AE是△ABC外接圆的直径,AE交BC于D,求证:tgB·
    ADtgC=──
    DE
    证明:连结BE、CE,
    AC
    证tgB=tgCEA=──
    CE
    AB
    tgC=tgBEA=──
    BE
    AD AB·AC AD
    再证──=──── ,从而得tgB·tgC=──
    DE BE·CE DE
    (附图 {图})
    图9
    如上所述,抓住题目的特征,适当的演变、引伸、拓宽,不仅沟通了知识间的内在联系,使学生思维活动 始终处于一种由浅入深,由此及彼,由一题到一路的“动态”进程之中,而且充分调动了学生学习的积极性和 主动性,激发了他们的求知欲望和学习兴趣,进一步发展了思维能力。
    四、抛砖引玉,特殊试探,发展智力,提高能力
    为了解题的需要,用一些特殊的数、式、图形位置试探,从而获得解题思路。如:
    例8,如图10,△ABC中,∠A的平分线和外接圆相交于D,BE是圆的切线,DF⊥BC,DG⊥BE,垂足分别为F, G。
    (1)求证:DF=DG(《几何》第三册P131第6题)。
    (2)设R是BD上一点(不包括点B)。
    求证:S△RGB:S△RBC=1:2
    (1)证明:连结BD,证∠CBD=∠EBD,即得DF=DG。
    (2)分析:这是个定值的论证,且定值为1:2,如何寻求这个定值呢?一个命题在一般情况下是正确的,则 在特殊情况下也必然正确。本题动点R在BD上,那么把点R取在点D处,DF⊥BC,垂足为F,不难证明BF:BC=1:2, 也容易证明BD是∠CBE的平分线,点R在BD上,因为点R到∠CBE两边的距离相等,所以△RBG与△RBC的面积比与 R在BD所取的位置无关,现在只要证明BG=BF。
    1
    证明:①证BF=── BC ,
    2
    ②证BG=BF,
    ③设点R到BG、BC的距离分别为h[,1]、h[,2],则h[,1]=h[,2]
    所以,S△RGB:S△RBC=1:2。
    (附图 {图})
    图10
    又如例9,如图11,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于点A、B,PA=PB=4cm,∠APB=40°,C是弧AB上任 意一点,过C作⊙O的切线,分别交PA、PB于D、E。求:(1)△PDE的周长,(2)∠DOE的度数。(《几何》第三册 P133第2题)
    解:连结OA、OB、OC,①证DC=DA,EC=EB,可求得△PAB的周长=PA+PB=8(cm),②证
    1 1
    ∠DOC=─ ∠AOC,∠EOC=─∠BOC
    2 2
    可求得∠DOE=70°
    (附图 {图})
    图11
    本题难度不大,但在原题基础上加以变换更新,能使题目新颖,更有效地培养学生的智力,提高解题能力 。如:
    例10,如图12,P是⊙O外一点,PA、

PB分别和⊙O切于点A,B,PA=PB=L,∠APB=n°,C是弧AB上任意一点 ,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,求证:△PDE的周长和∠DOE的度都为定值。
    分析:定值问题中的所求“定”而无“值”,证明方向不明,这是这类问题最大的难处,如何突破这个难 关呢?可以这样引导和启发学生:C是弧AB上任意一点,那么把点C取在弧AB的中点上,射线PCO是∠APB的对称 轴,射线DO是∠ADC的对称轴,由此可得△PDE的周为定值2L,∠DOE
    1的定值为90°- ──n°,那么一般地就要证明:PD+DC+CE+PE=2L
    2
    1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。从求证式的结构特征,容易想
    2到,证明中必须用切线长定理。
    连结OA、OB、OC
    ∵DA、DC分别切⊙O于A、C
    1
    ∴DC=DA,∠DOC=─ ∠AOC,
    2
    1
    同理:CE=EB,∠EOC=─ ∠BOC
    2
    ∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
    1 1
    ∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
    2 2
    1
    即PD+DE+PE=2L,∠DOE=90°- ──n°,结论已明。
    2
    (附图 {图})
    图12
    课本习、例题有丰富的内涵,对强化双基,开发智力,培养能力,有着极大的潜在价值。深入挖掘其丰富 内涵,引导学生进行适当的观察、比较、猜测、联想、引伸、拓广,由此及彼等思维训练,不仅可以把彼此孤 立的知识串联成线,联结成网,沟通成面,使学生解一题明一路,提高学习效率,而且还可以有效地培养学生 各种思维能力,提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。

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