抽象思维的局限性及教学对策

抽象思维的局限性及教学对策

[作者]  宜春师专数学系 郭森明

[内容]

我们将客观对象的其它特征抛弃，而仅取出它的空间形式和数量关系进行研究，便得到了数学的抽象形式，这就是数学的抽象性。高度的抽象性是数学学科特点之一。

鉴于初中生的年龄特点、思维特征以及认知结构，他们的抽象思维具有一定的局限性，这就要求教师在教学中应该采取相应的对策，以利于教学质量的提高。下面结合义务教育教科书内容谈谈这方面的认识。

１．依赖具体的材料初中生对数学概念的理解，对一些抽象结论的接受，往往需要从具体的实例出发，表现对具体材料的依赖性。

数学尽管抽象，但有广泛的具体性。在教学中，教师完全可以凭借十分具体的素材作为模型，列举足够数量的实例，或者让学生自己通过观察、试验，动手量量、画画、做做，再总结得到结论或者猜想。

义务教育教科书很重视实例的教学作用。例如，通过列举温度、海拔高度、水库水位、物体运动、商品的重量和大小等多个实例，在学生对“相反意义的量”有了感知的基础上，才引入正、负数的概念。这样做，学生是乐于接受，也易于接受的，再如通过与分数运算相对比，让学生理解和掌握分式运算。皮亚杰认为：“传统数学的缺点，在于往往口头上讲解，而不是从实际操作开始数学教学。”让学生实践操作是针对学生“对具体素材的依赖”这一思维的局限性提出的。有经验的教师都会要学生自己亲手将三角形纸片的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，从而抽象出三角形内角和的定理。即使是对一些没有确定结论要我们进行探索的抽象问题，只要能“动手操作”，就不妨一试，问题可能会变得具体、简单。义务教育初中几何第二册中有一道“想一想”的问题：以３根火柴为边，可以组成一个三角形，用６根火柴能组成４个三角形吗？由“火柴”很容易激发学生动手操作，经过在桌面上和在空间中的操作实验，学生有了实感，也就不难得到实验结果。

在教学中，我们会碰到有些概念、规律并不一定都是从具体实例引出的，而是现有的知识经过运算、推演的结果，纵然如此，教师还要恰当选择实例，作为理解抽象概念和规律的补充。

由此可见，从具体实例出发，是学生思维特点的需要，也符合抽象性和具体性的基本关系，有利于学生理解抽象结论。从具体出发，并不是迁就学生思维的局限性，而是有其积极意义的。

２．具体和抽象割裂不少学生对数学抽象结论只是形式地掌握，带有片面性、局限性，记住的只是结论的条文，而不是掌握其实质。例如，学生往往对“绝对值”这一概念形式上认识。由于训练了一定数量的求具体数的绝对值的练习题，就把绝对值看成是“将数前面符号去掉就是该数的绝对值”，致使以后遇到｜－ａ｜就认为｜－ａ｜＝ａ。义务教育初中代数讲绝对值，是采用几何意义———距离而定义的，如果只是停留在对“距离”的理解（不进行再抽象），那么抽象的式的绝对值应该表示什么就难以解决了。

具体和抽象的割裂还表现在学生局限于教师列举过的具体内容或者类型十分相近的内容，不会作出简单的推广。

要防止具体和抽象的割裂，教师一方面要善于从具体素材出发，引出概念，揭示规律，选择具体素材要有典型性、全面性。在感知的基础上进行理性分析，通过分析、比较、概括，使具体向抽象转化。另一方面，更要引导学生运用抽象理论去认识、检验具体素材，使抽象理论具体化。例如，义务教育初中代数教材，将具体的２、３、－７、３２、π等数写成小数的形式，让学生观察这些小数的特点，抽象出这一类“无限不循环小数”为无理数，从而我们可以根据无理数的本质特征（即概念的内涵）去检验２３、４＋２也是无理数，而形式上相同的４、－３２７就不是无理数。

由此说来，在教学中，我们要从具体内容出发，再上升到抽象理论，再一次上升到更丰富、更广泛的具体内容。

３．抽象能力较弱初中生独立抽象问题的能力较弱，不会从具体的问题中抽象出有关的数量关系。有的学生知道３２－１、５２－１、７２－１，都能被８整除，却抽象不出当ｎ是奇数时ｎ２－１能被８整除。四边形被一条对角线分成两个三角形，五边形被由同一顶点出发的对角线分成三个三角形，却抽象不出ｎ边形的情形，从而推导ｎ边形的内角和公式也会感到困难。

在教学中，有意识地让学生从一些具体数量中观察和抽象出它们的关系是有益的。下面两题不失为训练学生抽象能力的好题，这就是义务教育初中代数第一册（上）Ｐ３９Ｂ组第３题与第４题。第三题通过观察表格中的和Ｓ以及加数的个数ｎ的规律，抽象出从１开始连续ｎ个奇数相加的和是ｓ＝ｎ２；第４题则通过观察三角形点图，抽象出每个图形的总的点数ｓ和三角形每条边（包括两个顶点）上点数ｎ的关系式是：ｓ＝３ｎ－３。

在具体到抽象的过程中，以观察为基础，还要运用分析、比较、综合、概括、归纳、演绎等逻辑方法，这是关键。我们常说的发现法，就体现了“观察→分析、综合、归纳、类比→抽象、概括→证明”这一认识过程。义务教育初中几何对“平行四边形”的教学是先讲平行四边形定义，再讲性质，最后讲判定定理，这是传统的编排顺序，有的教师先组织学生观察图形或模型，总结出平行四边形的全部本质属性（即是教材中作为定义的平行四边形的本质属性以及作为性质和判定的本质属性），然后让学生分析应该选择哪一本质属性作为定义，哪些属性作为性质，哪些属性作为判定定理，最后一一完成定义和定理的表述及证明。这一过程实际上融汇了观察实验与逻辑方法这两种方法。因此，有针对性地进行逻辑方法的训练，有助于发展学生的抽象能力。

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