高等数学与小学数学的相天性

高等数学与小学数学的相天性

    一般人认为小学数学与高等数学相差甚远，事实上它们之间不仅在内容方面，而且在思维形式方面都存在 着密切的联系。如果站在高等数学的高度来理解小学数学，会使人感到小学数学的博大和精深；如果能把小学 数学的内容放在高等数学这一背景中理解，从某种意义上讲小学数学是高等数学的重要组成部分。如果小学数 学教师都能站在高等数学的高度来进行小学数学教学，那将会对小学生学习和理解数学概念起到非常积极的意 义。本文将从内容和思维形式两个方面来揭示小学数学和高等数学之间的联系。
    一、内容的互补性
    高等数学中的一些概念是小学数学中一些量的抽象，而小学数学的内容则是高等数学中抽象概念的实例。 如果站在抽象后的高度对小学数学的内容进行解释，那么小学数学的内容将是有序的、完整的。例如：加、减 、乘、除是小学数学主要的教学内容之一，在高等数学中则是映射（代数运算）的几个特例而已。如果没有小 学数学这些实例，那么就不可能理解、抽象出一般的代数运算的概念；如果在掌握了一般的代数运算的概念的 基础上讲解加、减、乘、除，就会把这些概念讲活讲完整。一般来讲，高等数学和小学数学在内容上是从以下 四个方面进行互补的。
    １．个别和一般
    小学数学中有平均数的计算，平均数在高等数学中就是数学期望值的特例。如果站在数学期望的高度来讲 解平均数，教师就会着重强调平均数和各个数之间差异，学生就会知道全班数学平均分数和每个学生的分数， 虽然都是分数，但是它们的意义是完全不同的。反之，如果学生只会计算平均分数，而没有把平均分数和每个 学生的分数加以区别，那么学生只是多做了一些四则运算的习题。这样不仅不能活跃学生的思维，而且也不利 于提高学生的学习兴趣。再如小学数学中求自然数的正约数的个数问题，则是高等数学中代数基本定理的应用 ，并且求解任一正整数约数个数的计算公式，在高等数学中也有论证。
    ２．有限和无限
    在小学数学中，一般是在有限的范围内讨论问题，有些问题则需要利用高等数学的观点进行解释。如小学 数学中数的认识，内容虽然简单，但是其中数“数”及用“对等”的方法比较两个集合之间元素个数关系问题 必须让学生理解。这是因为数“数”的方法是高等数学中研究可列集、不可列集的基本方法；而“对等”的方 法则是比较两个集合（有限集、无限集）之间元素个数问题的基本方法。又如，小学数学中对于“自然数是无 限的”这一结论，只有用极限的观点来进行解释，学生才能正确地理解这一结论。相反，如果教师没有扎实的 高等数学根底，而是采用一些不正确的方法进行解释，不仅不能帮助学生准确地理解“自然数是无限的”这一 结论，而且会影响学生今后对极限概念的理解。再如，在小学数学中无限循环小数和分数之间的互化问题，这 一问题是高等数学中级数概念的应用，教师在教学中通过“０．９”、“０．９９…９”和“１”之间关系的 解释，就会让学生再一次体会极限的概念。
    ３．静止和运动
    小学数学中的很多概念如果只强调结果，则是静止的。如２＋３这一表达式，只讨论其和为多少是静止的 。如果分析这个表达形式，则是运动的。这是因为：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么这个表达式变为： ３－１＋１＋２，……；若２、３分别表示２号房间和３号房间里人数之和，那么这个表达式的意义又不同了 。通过这一次次的变化，学生对于数学概念的理解更趋完整，这一次次的变化正是代数思想的雏型。而代数思 想是研究数学的最根本的思想之一。
    ４．推算和预测
    小学数学中有一类问题是已知现在的值，求原来的值。例如：现对甲、乙、丙三个车间的人员进行三次调 整。第一次丙车间不动，甲、乙两个车间中的一个车间调出８人给另一车间；第二次乙车间不动，甲、丙两车 间中的一个车间调出８人给另一车间；第三次甲车间不动，乙、丙两车间中的一个车间调出７人给另一车间。 三次调整后甲车间有７人，乙车间有１２人，丙车间有４人。问各车间原来有多少人。
    此题若按调整先后顺序来推算，将很繁琐，而用列表进行推算则十分简单。
    人 数 甲车间 乙车间 丙车间
    第三次调整后 ７ １２ ４
    第二次调整后 ７ ５ １１
    第一次调整后 １５ ５ ３
    原来 ７ １３ ３
    求解这一类问题的方法是用列表（或作图）进行的，一般称这种方法为倒退法。而高等数学中更多的是已 知过去和现在的值，求未来，这一类问题称为预测，也是通过列表（或作图）利用统计的方法进行求解的。
    二、思维形式的相通性
    常用的思维方法有分析和综合、比较和分类、归纳和演绎、系统等方法。研究和学习高等数学必须以科学 的思维方法作指导，这已达成共识，而很多人则把小学数学看成是以培养技巧为主。从小学数学的内容来看， 如果不强调思维的培养，只是一味地训练运算技巧，那么小学数学的教学将会变得非常枯燥乏味。如果在小学 数学中强化科学思维的培养，那么将会产生事半功倍的效果，同时也会提高学生的学习兴趣。下面分别叙述四 种常用的思维方法在小学数学和高等数学中的应用。
    １．分析和综合
    分析，是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察，从而认识事物本质的 思维方法。综合，是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来，形成对研究对象 整体性的新认识的思维方法。
    分析和综合是数学中常用的思维方法，“曹冲称象”这则故事正是分析和综合方法应用的实例。七岁的小 曹冲以“称石头代称象”，运用的就是一种把整体分成若干较小而简单的问题，逐个地加以解决，从而使原问 题得以解决的方法。小学数学中运用分析和综合的方法求解的实例也很多。
    例如：某一项建筑工程，由甲、乙两队承包，１２／５天可以完成，需支付１８００元；由乙、丙两队承 包，１５／４天可以完成，需支付１５００元；由甲、丙两队承包，２０／７天可以完成，需支付１６００元 。在保证“一个星期内完成这项工程”的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
    解答这个问题必须在“天数”和“钱数”上想办法。由于同时兼顾二者难以下手，故采取把整体分成个体 分别求解。
    从天数考虑，甲、乙、丙三队每天共做：
    （５／１２＋４／１５＋７／２０）÷２＝３１／６０
    甲队每天做：３１／６０－４／１５＝１／４
    乙队每天做：３１／６０－７／２０＝１／６
    丙队每天做：３１／６０－５／１２＝１／１０
    即：单独承包这项工程，甲、乙、丙队分别需要４天、６天、１０天。
    从钱数考虑，甲、乙、丙三队合做一天共需支付工资：
    （７５０＋４００＋５６０）÷２＝８５５（元）
    甲队每天所需：８５５－４００＝４５５（元）
    乙队每天所需：８５５－５６０＝２９５（元）
    丙队每天所需：８５５－７５０＝１０５（元）
    综合列表如下：
    单独承包需要天数 单独承包每天工资 完成工程工资
    甲 ４ ４５５元 １８２０元
    乙 ６ ２９５元 １７７０元
    丙 １０ １０５元 １０５０元
    根据题意可知，在一个星期内完成这项工程，选择乙队最理想。
    ２．比较和分类
    比较，是从具有同一性的事物间寻找其差异性，或者从具有差异性的事物间寻找其同一性的思维方法。分 类，是通过比较建立集合的思维方法。
    在高等数学中可以利用同态、同构的方法把整数与多项式、矩阵与线性变换、多面体和平面图等建立联系 。这就是比较、分类的方法。而小学数学中在学生掌握了自然数的四则运算法则的基础上，也是通过比较的方 法使学生掌握小数的四则运算的。
    ３．归纳和演绎
    归纳，是从已知个别的或特殊的知识出发，概括出一般性或普遍性结论的思维方法。演绎，是从已知一般 性的或普遍性的知识出发，推断出个别或特殊的结论的思维方法。
    这一方法在小学数学和高等数学中的应用是最为广泛的，这里就不一一例举了。
    ４．系统的方法
    系统的方法，就是把研究对象作为整体，从整体的部分与部分、整体与环境的相互联系、相互作用中综合 地考察对象的思维方法，即整体思考的思维方法。
    高等数学中的集合、向量空间、群等都是系统方法的应用。在小学数学中，如果利用这一思想方法不仅可 以发展学生的思维，而且在解题时，可以化繁为简，由此及彼。
    例如：猎人甲带着他的猎狗到１２０千米外的猎人乙家去做客，当甲出发时，乙也正好走出家门迎接甲。 甲每小时走１０千米，乙每小时走２０千米，猎狗每小时跑３０千米。当猎狗先与乙相遇后，又返回来迎接甲 ，与甲相遇后，再转头去迎接乙。这样，猎狗在甲、乙之间往返奔跑。试问：当甲乙相遇时，猎狗共跑了多少 路程？
    本题可以从问题的整体出发考虑，因为猎狗从出发起到甲、乙相遇止，它就以每小时３０千米的速度整整 跑了１２０÷（１０＋２０）＝４（小时），所以一共跑了３０×４＝１２０（千米）。
    综合所述，高等数学和小学数学之间确实存在着密切的联系。如果在小学数学的教学过程中能科学地认识 高等数学与小学数学在内容上的互补性，能有意识地运用高等数学与小学数学在思维形式上的相通性，准确地 把握每个知识点的内涵和外延，融会贯通，并且积极发展学生的思维，那么将会对小学数学教学水平的提高起 到一定的推动作用。

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