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运用等价变形题指导学生解题
有些数学应用题，因为数量关系较为复杂，学生会感到无从下手，这时，老师可运用非等价变形引导学生进行分析并解答。
例1、一个面积为20平方厘米的正方形内有一个最大的圆，求这个圆的面积是多少？
分析与解答：这题中正方形的面积是个非完全平方数，如果要让学生求出圆的半径，然后再求出这个圆的面积学生是无从下手的。
因此可先出示这样一道比较题：“已知一个面积为1平方厘米的正方形内有一个面积最大的圆，求这个圆的面积。”
因为正方形的面积是1平方厘米，学生很快能理解这个正方形的边长即为1厘米，因此面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为：3.14×(1÷2)2＝0.785（平方厘米）。
在学生求解出面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积后，老师可再将此题同例1进行比较，这样学生就能很快求出面积为20平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为：0.785×20＝15.7（平方厘米）。
例2、某校上学期共有学生1040人，本学期有学生1360人，其中男生比上学期增加48%，女生比上学期增加20%，求这所学校本学期有男女生各多少人？
分析与解答：这题中两个百分率无直接关系，因此给解题带来了一定的难度。
因此可先出示这样一道比较题：“某校上学期共有学生1040人，本学期男女生都比上学期增加了20%，求本学期这所学校共有多少人？”
这题学生很快能求出答案：本学期学校有学生：1040×（1＋20%）＝1248（人）。
然后再将这题同原来的题目进行比较，学生可发现“男女生都比上学期增加了20%”与原题的“男生比上学期增加48%，女生比上学期增加20%”相差的人数则为：1360－1248＝112（人）。因此可求得，上学期的男生人数应为：112÷（48%－20%）＝400（人），本学期的男生人数则为：400×（1＋48%）＝592（人）。本学期的女生人数则为：1360－592＝768（人）。
例3、某校学生步行去进行郊游活动，在离开学校3千米处，张老师发现有物品遗留在学校，马上骑自行车以每小时9千米的速度返回学校，拿了物品后又追赶学生队伍，已知学生队伍每小时行4千米，求张老师离开队伍几小时又追赶上学生队伍？
分析与解答：这题不明确张老师从何处追及，以及追及距离有多长，学生会感到无法下手。
因此可设计以下一道比较题：“某校学生去进行郊游活动，每小时行4千米，队伍离开学校6千米后，张老师才骑自行车以每小时9千米的速度去追赶队伍，问张老师几小时能追赶上队伍？”
这题学生很快能求出答案：张老师追赶上队伍的时间为：6÷（9－4）＝1.2（小时）。
然后再将此题与例3进行比较，学生很快能看出，张老师在队伍离开学校3千米处再返回学校去拿取物品，然后再追及队伍，追及的距离即为当时队伍与学校的距离的2倍。因此，学生很快能求出例3的答案，张老师追赶上队伍的时间则为：3×2÷（9－4）＝1.2（小时）。
例4、某计划在规定的时间内加工一批零件，若每小时加工30个，则比规定时间晚完成1小时，若每小时加工48个，则比规定时间少用半小时，如果要在规定的时间内完成，每小时要加工几个零件？
分析与解答：这题中，有的学生对“比规定时间晚完成1小时”与“比规定时间少用半小时”这两个条件不理解，因此会感到难以求解。
所以可出示下列一道比较题：“甲、乙两人同时骑摩托车从A地到B地，甲每小时行48千米，乙每小时行30千米，经过若干个小时，乙离B地还有36千米，甲已超过B地24千米，这时两人如果立即掉头往回走，如果两人的速度不变，问甲追上乙要几小时？”
这题是一道追及应用题，学生很快能列式解答：甲追上乙要用的时间为：（24＋30）÷（48－30）＝3（小时）。然后再将此题同例4进行比较，学生即能发现，比较题中的追及时间即为例4中的加工这批零件的规定时间，因此学生很快求出加工这批零件的规定时间为：（30＋48÷2）÷（48－30）＝3（小时）。因此，可求得，在规定的时间内完成这批零件，每小时要加工的零件个数为：30×（3＋1）÷3＝40（个）。
例5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给小班，每人5个则余10个，如果分给大班，每人8个，则有一人分到6个，已知小班比大班多3 人。问这筐苹果有几个？
分析与解答：这题比一般的盈余问题多了“小班比大班多了3人”，因此有的学生会望而却步，不知所措。
因此可出示这样一道比较题：“幼儿园将一筐苹果分给幼儿园大班的小朋友，如果每人5个，则余25个，如果每人8个，则少2个，问这筐苹果共几个？”
这题学生很快能列式求解，大班人数为：（25＋2）÷（8－5）＝9（人）。这筐苹果的个数为：9×8－2＝70（个）；或为：5×9＋25＝70（个）。
再请学生将比较题同例5进行比较，学生很快也能知道，小班比大班多5人，即为小班每人分5个，则要多余：5×3＋10＝25（个）。分给大班，每人8个，一人只分到有个，即为。每人分8个，则少：8－6＝2（个），因此，学生也能够迅速求出这筐苹果的个数为：8×[（25＋2）÷（8－5）]－2＝70（个）。
例6、一项工程，甲、乙两人合作30天完成，如果甲单独做24天后，乙再加入合作，两人合作12天后，甲因有事离开，由乙再单独做了15天才完成这项工程。问这项工程如果甲单独做要用几天才能完成？
分析与解答：这题中，因为甲、乙两人做的时间前后不同，学生会感到束手无策。
因此可出示这样一道比较题：“一项工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙两人合作27天后，甲再用了9天才完成，求甲单独完成这项工程要用几天才能完成？”
这题学生很快能求出甲单独完成这项工程要用的时间为：9÷（1－ 1/30 ×27）＝90（天）。
然后，再引导学生将例6同比较题进行比较，学生即能发现，例6同比较题相比较，只是转换了一捉说法，其实解题的思路是完全相同的。因此，学生也能很快求出甲单独完成这项工程要用的时间为：（24－15）÷[ 1－ 1/30 ×（15＋12）]＝90（天）。
江苏省江阴市青阳镇旌阳小学：蒋仪
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