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“问题解决教学”为学生创造发展空间
“问题解决教学”为学生创造发展空间
李红婷
原国家教委“师范教育科研课题”——“‘问题解决教学’的研究”，其研究成果在各级教育类期刊上发表和报道后，引起了数学教育界的广泛关注，尤其在本刊连续报道后，反响更为强烈，这是我们预想不到的．一些专家、教授和一线教师纷纷来函进行咨询或索取资料，并给予热情洋溢的称赞，令我们激动不已！借此机会，我们深深地感谢大家的支持和关怀！感谢《中学数学教学参考》的厚爱！我们热切期待着更多更好的意见和建议．
?继本刊“问题解决教学”的理论与教学结构［1］、对课题负责人访谈［2］、对实验教师访谈［3］之后，我们又推出了对实验班学生访谈，期望大家对我们的研究有更深入的了解．
?访谈时间：2000年3月山东省教育社贾庆祥副社长等对本课题的专访摘录
?2000年至今课题组多次进入课题实验基地时的随访摘录
?访谈对象：山东临沂六中、费县师范、沂水县许家湖二中等实验班的学生
?访谈形式：座谈、专访、问卷、学习报告
?访谈地点：临沂师院及各实验基地
?访谈目的：了解实验班学生对课题实验的认识和真实感受
?话题 你喜欢学数学吗？数学教学实验给你的数学学习带来哪些变化？变化的主要原因是什么？
?（以下谈话标题是作者所加．此外，笔者对访谈材料进行归类整理，并对文字进行了加工润色．）
?●数学有点“生动”了●
?学生1：过去我不喜欢学数学，数学里充满了定义、定理、图形和符号等，“冷冰冰”的，靠意志无法抗拒大脑的排斥．进入初二（课题实验开始），说不清是什么原因，这些冷冰冰的东西渐渐有点生动了，我也越来越喜欢学数学了．我甚至会认为自己也能创造数学！面对一个数学问题，老师总是先让我们自己观察问题，提出问题，找出其中的量和关系，设计问题解决策略等．有了想法说出来常常受到老师的表扬，说我们的想法很有创见．或许是鼓励的作用，我觉得自己能行，大脑似乎比以前灵活了许多．数学就像连环套，我们七嘴八舌，顺藤摸瓜，就把一个完整的数学过程构建起来了，还常常有意外的、精彩的收获，这时老师会说我们是数学天才．老师说我学数学有天赋，也许真是这样，关键时候我的回答常令老师和同学们眼前一亮，只是有时考虑不太周全而已．老师会给我们数学好的同学提供一些课外读物，或是安排我们解决一些比较复杂的数学问题，有时我们会发现“高招”，让老师都吃惊，这时我们会受到老师的大力表扬和奖励，有时我们会享有做不做数学作业都可以的特权．我开始关注各种数学学习资料和考试信息，喜欢看数学家的故事，我希望自己将来能成为数学家，不是异想天开吧？
?●学数学有用●
?学生2：我很重视学数学，因为学数学有用，能解决生活中的许多问题，数学实验课让我体会最深．老师总是在新课题学习时呈现给我们一个实际问题或是一种生活现象，让我们认识到数学来源于生活，数学中每一个新的知识点，都是从解决实际问题出发建立起来的，为了解决实际问题而提出一些方法和策略，抽去这些方法和策略的实际背景，就形成了数学模型，再把这些数学模型应用到解决实际问题的过程中去，一个新的课题就诞生了．数学总是从实践中来到实践中去．学会了数学，就学会了思维，尤其是逻辑思维；学会了思维就学会了解决问题的方法；掌握了方法，就有了学习其他科学的工具，这一点我们在学习物理、化学等课程时也已经意识到了．因此，我们在思想上都很重视学数学，再加上数学老师的教法新颖，每一个同学在数学学习中都有表现自己的机会，所以，我们班的同学都喜欢学数学．
?●数学问题有魅力●
?学生3：过去我的数学成绩不好，但我不愿意承认自己差，我觉得自己还有一点聪明，家长和同学也这样认为．我知道学好数学很重要，只是学不进去．也许是数学问题的魅力，让我在回答问题的同时，学会了思考，树立了信心．进入实验班后，一个明显的感觉是，老师似乎民主了许多，很在乎我们怎么想．老师说，面对一个数学问题，你只要有想法并敢于把想法说出来，你就一定能学好数学．过去回答问题时，我很怕回答得很“蠢”，引起同学嘲笑，我认为有这种思想负担的同学很多，这也是我们不愿意回答问题的重要原因．现在这种忧虑没了，老师并不只表扬答案正确、表达准确的同学，而是关注你是怎样思考问题的，你的想法有多少合理性．一般说来，每一个同学的想法都有一定的合理性，只是有可能暂时偏离目标，但这不等于说在其他问题的处理上你的方法无效．老师会把注意力引向让我们比较我们自己所设计的众多方法中哪一种最优，如何表达更理想等方面来．很多时候，数学课的学习内容是我们自己建构完成的，老师的作用是通过设计问题，为我们提供研究方向．尽管老师常用精彩、精辟、有创建等词汇肯定我们提出的方案，但在关键时候，老师总是技高一筹，老师毕竟是老师，我们心服口服！我们与老师有如此大的差距，老师还是经常用十分赞赏的语言表扬我们，让我们备受鼓舞，这是不是一种教学策略？我很喜欢这样的老师．
?●善于联想就学会了数学●
?学生4：我的数学成绩一直不错，但这并不代表我喜欢学数学．过去我学数学的方法是：死记硬背＋题海战术．课本上写的、老师讲的统统都要背；课本上的题要做，参考书上的题也要做，大部分精力都用于学数学．参加实验让我明白了一个道理：学习数学要弄清楚其知识结构，数学知识结构是浓缩了的数学，可以减轻记忆的负担，使知识存放有序，也便于更有效地提取和迁移．学习知识结构是通过认知结构的不断充实和完善实现的，认知结构又是通过主动联想知识之间的内在联系构建起来的，就是说，学会了联想就学会了数学．如我们学习了全等三角形的判定“角边角公理”后，老师让我们思考这个公理能不能转化成其他形式，许多同学都考虑到把条件转移，但不知道如何进行，因为三角形内角和定理学了很长时间了，不容易联想起来，我第一个考虑到用这个定理把已知的两角对应相等转化成第三个角对应相等，我说出了自己的想法，并较完整地表达了结论（公理的推论），引来一片赞许．老师又问在特殊三角形内这种判定有没有变化？我们很快想到在直角三角形中可省略叙述对应角相等，只需要叙述一角一边对应相等即可，于是我们又得到了这个公理的第二个推论．当我们在习题中看到有关直角三角形判定的两个问题时，觉得太容易了．学数学说难很难，说容易也很容易，只要你善于联想，打通知识之间的联系，即可谓一通百通．
?●数学让我学会了思维●
?学生5：在我过去的认识里，数学是很抽象、很深奥的学问，不是一般人能学好的，需要把课本上所有的结论统统背熟，然后模仿例题做习题、再做习题．只有“死拚”数学题，命中考题的可能性才大一些．我脑海里常浮现古人“头悬梁、锥刺骨”的镜头．我想象中的数学家，一定是那种演习草纸用麻袋装的与世隔绝的超人．现在看来有一些可笑．实际上，人人都能学好数学．仅就解题而言，通过两年多的实验，我的认识提高了，也学到了许多“招术”．面对一个数学题，首先要弄清问题的条件和结论，要考虑获得结论还需要哪些条件？如何才能得到这些条件？可采用图象、图形或表格等形式来作解释．可设计多种解题方案并把最好的方案找出来．如果从正面去解答很困难时，就可以考虑从反面入手解决它．解题之后反思一下：还有更好的解法吗？有没有其他推广形式？满足该题的条件还能推出哪些结论？很多问题我们是以合作小组的形式进行讨论，有时同学们会争得面红耳赤，一些奇思妙想也正是在这时候产生的．我的体会是：做每一题都要讲求效益并总结解题经验，坚持这样做便可事半功倍、触类旁通．我想，作为社会生活中的人，面对各种错综复杂的问题，也应该像解决数学问题那样，正确地利用各中工具、方法和策略，以适应环境，学会生存．数学让我学会了思维，改变了我的处世态度，让我体会到了自我的价值，建立了成功的自信．
?●“做庄”使我勤奋●
?学生6：我们实验班设了合作学习小组，活动很多，如课内小组讨论、课外习题研究、课外阅读、帮助后进生等，合作小组的主持轮流担任，如果有人暂时不想担任，可由小组成员推荐他人，我们常把主持戏称“做庄”．尽管我没有明确表示我喜欢“做庄”，但心里越来越希望有更多的做庄机会．做庄有成就感，能激发你的学习热情，常常有弄不懂决不罢休的劲头．做得好，老师夸你，同学服你．我数学一般，要做得好就要比别人多下苦功，我常常把可能在合作小组内进行的课内、课外问题反复思考，不仅要弄清楚，而且还要考虑最好的表达方式．我的庄越做越好，不时赢得同学们的称赞，也常令我兴奋不已．合作学习也使我学会了与同学交流，一些想法常常是在争论中清晰起来的．我的数学成绩在不经意间有了很大提高，对进一步学好数学我也有了更强烈的愿望．
?●老师时刻在激励着我●
?学生7：我对自己的学习能力很怀疑，我的学习目标是不倒数就成．进入实验班后，数学老师对我们特负责．有时上完数学课，老师会悄悄问像我这样学习不好的同学：那个问题弄明白了吗？它的证明学不会可以不学，后边的两个习题可以不做．当老师问我的时候，我会满不在乎地点一下头来敷衍老师，心想，不要在我这里下功夫，你失望时可别后悔．有一次老师竟然在课堂上提问我，我不假思索地回答：不会！引来哄堂大笑．老师说：这个问题可能有点难了．像是安慰我，又像是自言自语，我禁不住有些同情老师．我认真想了一下：刚才的问题不难，我能回答．我后悔刚才的表现，心想，我以后要好好听．但转念一想，老师再也不会提问我了，因为老师今天已经领教了我这种“无赖”．尽管这样想，但以后的数学课我听得很认真，心里企盼着老师再次提问我．不知是老师读懂了我的心思，还是仍不甘心放弃我，没过几天老师又提问了我，这次我回答得很精彩，老师看上去有些激动，大力表扬了我，还让全班同学为我鼓掌．这一幕在以后的数学课里反复重演．每次回答问题，我都有种不同寻常的感觉，有时我认为自己回答得很精彩．时间过去了近两年，老师时刻在激励着我，我不仅学好了数学，同时也建立起了自信，我知道我能行．我很想对老师说句感谢的话，在数学课题学习报告里多次欲言又止，尽管写学习体会是经常的．我想这个时候向老师说出我的心里话，分量太轻了，等我考上大学以后再告诉老师，一定让老师分享我的快乐！
?●我们在学习报告中交流●
?学生8：我的数学作业，尤其是数学学习报告常常得“甲＋”，还时常配有老师用红笔写的评语，令同学们羡慕不已．我觉得数学老师很理解我们，其他任课老师未必如此．比如我的英语作业最好时得“乙＋”，有时我用两节课的时间抄写英语作业，结果依然让我失望．看来英语老师已经把我化归到“一般”水平，任凭我怎么努力都无济于事了．数学老师则大不相同，如果你把课堂上同学们没有想到的好方法写出来，或是提出一个好的问题，老师会在你这段文字下面画上漂亮的红色曲线，并在旁边加写一段表扬的话；如果你把疑难的问题写上去，老师会给你附上解答（有时指定同学帮你解答）；如果你的学习报告写得很好，对所学知识认识很深刻，语言表达也好，老师会像语文作文课读范文那样，在全班同学面前表扬你；如果你有好的建议，不仅会受到表扬，而且极有可能被采纳；学习差的同学也有得“甲＋”的机会，不一定做得最好，只要你比以前进步了就行．你甚至可以给老师提意见．刚进入实验班时，对老师让我们了解知识产生的背景、形成过程、知识之间内在联系等不理解，认为不是课本知识，考试也不考这些东西，是白白浪费时间．我如实地把我的想法写到学习报告里了，意想不到我不仅得了“甲＋”，老师还表扬我敢于把自己的想法说出来，并约我到老师办公室里谈谈．老师极有耐心地给我讲了这其中的道理（这些道理在我以后的学习中体会越来越深刻）．书写课题学习报告，不仅加强了同学与老师间的交流，而且还训练了我们的表达能力和写作能力．
?笔者结合被采访者的谈话，作如下透视分析：
?1．数学教学要帮助学生形成数学观念
?数学观念是人们对数学的基本看法和整体认识，是人类思维的重要特征之一．数学教育只有把落脚点放在形成学生的数学观念上，才能将教学活动真正纳入到素质教育的轨道上来．“问题解决教学”把培养学生的思维能力摆在了教学的突出位置，注意观察、归纳
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学生在数学学习过程中思维活动的规律，研究思维活动的发展过程，把数学观念的培养和教育纳入到了数学知识的学习、思维的训练、能力的提高和情感教育等过程中去．对此，被采访者的谈话中有一些体现：数学就像连环套（学生1），学数学有用（学生2），数学问题有魅力（学生3），善于联想就学会了数学（学生4），数学让我学会了思维（学生5），数学教学中使用的一些教学方法在其他学科的教学中也可以采用（学生8）．数学教育本质上是理性思维的教育，它使人们在社会生活中面对纷繁复杂的实际问题能够进行理性的思考．因此，不能把数学仅仅看成是计算和推理的工具、科学技术的基础，而且要考虑它对于形成尊重真理、讲究科学的思维习惯和严肃认真的生活态度，进而形成学生辩证唯物主义世界观和方法论方面的作用．这是基于观念层面上的数学教育，是注重学生的可持续发展的教育，是着眼于提高国民素质的教育．
?2．数学学习的过程是学生主动建构知识的过程
?建构主义学习理论认为，学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极主动地建构知识的过程．弗赖登塔尔说：“数学是系统化了的常识．”从本质上讲，数学是关于客观世界模式和秩序的科学，数、形、关系、可能性、数据处理等，是源于人们对现实世界的数学把握，并反过来不断地接受客观事实的检验和矫正中发展起来的．而数学过程则是在人们对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象、概括，形成模型、理论和方法的过程，这一过程是一个充满探索性和创造性的建构过程．“问题解决教学”的四个环节的教学过程，是基于不同教育功能和不同建构策略的实践过程．让学生体验到数学源于生活和经验，通过对业已形成的数学知识进行加工、改造，向更高层次推进，并反作用于更为广泛的现实，对其作出解释和应用．因此，“学数学有用”（学生2），参与过程建构起来的“数学有点‘生动’了”（学生1），历尽数学思维活动的发展过程，深谙“善于联想就学会了数学”（学生4）．以“课题”形式组织课程内容，着眼于系统认知结构的整体建构，更加趋于信息的条理化，适应学生思维存储和提取的需要，提高教学效率．
?3．重组教学内容让学生在数学再创造中学习
?以现成的体系来教数学，虽然在较短的时间内也能向学生传授较多的知识，但也存在种种负面影响：数学枯燥、数学神秘，数学是书上写的、老师讲的等．很多学生单纯靠记忆学习数学，使数学学习失去应有的魅力，表现为：靠意志无法抗拒大脑的排斥（学生1）、死记硬背＋题海战术（学生4）、知道学数学很重要但学不进去（学生3）．发现是一种乐趣，是人的天性．我国新的课程标准的研制强调科学过程、科学精神、科学态度和科学能力．“问题解决教学”对课程内容进行重组，以“课题”的形式组织教学，倡导学习过程的探索性，让学生在再创造过程中学习，使数学学习过程充满生机和活力．笔者认为，为学生提供适合再创造的学习材料，有了一些数学观念和方法的铺垫，有了学生之间的相互讨论，即使是普通的学生也能够创造出数学（一般指原创的模拟）．通过再创造能够培养学生用数学的观点和方法认识世界、解释现象的数学能力，帮助学生正确地认识数学体系的建构和形成过程，体会数学的精神．数学是研究模式的科学，是基于思维的推理形式和方法建构而成的，因此，数学教学应重视知识的系统结构，重视问题的发现和提出过程、问题的解决策略与方法．这是一个再创造的过程，这个过程不仅要涉及学生数学学习的知识目标、过程目标和情感目标，而且要涉及后人在前人的基础上的发展．这不仅是数学教学的手段，而且是数学教育的重要目标．
?4．情感注入是开启学生心扉的钥匙
?情感教育理论认为，情感作为主要的非认知因素，制导着认知学习．实践也证明了良好的情感可推动人趋向学习目标，激发想象力，使创造性思维得到充分发挥，反之则会压抑人学习的主动性和创造性［4］．“问题解决教学”十分重视数学学习过程，除了研究学生智力方面的因素，如认知、理解、应用等规律外，还重视他们在学习活动过程中所表现出来的信念、态度和情绪等情感因素，关注学生的情感体验，主张以学生的兴趣、内在动机来引导学生学习．实验让我们认识到，情感注入是开启学生心扉的钥匙，正如被采访学生谈话中所述：现在这种忧虑没了、我很喜欢这样的老师（学生3）．越来越希望有更多的做庄机会（学生6）；有不同寻常的感觉（学生7）；你甚至可以给老师提意见（学生8）；选择恰当方式，灵活把握契机，教师的情感注入才更加有效．从学生的谈话中我们可以找到反映教师情感注入的影子：老师会说我们是数学天才，老师说我学数学有天赋（学生1）；精彩、精辟、有创建（学生3）；让全班同学为我鼓掌（学生7）；文字下面画上漂亮的红色曲线、像语文作文课读范文那样（学生8）．这种情感的注入，在对待优秀生和后进生的教学策略方面也有所体现：学不会可以不学（学生6）、提供一些课外读物或安排我们解决一些比较复杂的数学问题、享有做不做数学作业都可以的特权（学生1）．人本主义教育心理学家罗杰斯（Ｃ.R.Rogers）认为，真实的问题情境和活动是最能引起态度和个性情绪的学习方式．精心设计数学问题，创设适宜的教学情景，使学生的情绪受到感染，利用情感对认知学习的制导作用，来驱动、诱导学生的学习动机，产生为达到目标而迫切学习的心理倾向，学生的创造性潜能就常常会有异常的表现：我们会发现“高招”，让老师都吃惊（学生1）；引来一片赞许（学生4）；不时赢得同学们的称赞，也常令我兴奋不已（学生6）；这次我回答得很精彩（学生7）．总之，让学生从整体上理解数学认识结构和系统建构过程，在强调自主探索和学生理解性思维活动的同时，加强教师情感的注入，关注学生情感的变化，尊重学生的个性，让学生积极主动地进行探索式学习是进行教学改革的基本指导思想．
?5．让学生学会合作与交流
?学会与人共处，学会合作，学会交流，是生活在信息社会的人应具备的基本素质．了解自己，尊重他人，既有良好的合作意识和合作技巧，又善于表达和交流，是当代社会中求得生存和发展的一种能力，也是新世纪人才培养模式的重要标志．合作的有效性往往取决于合理分工、有团队精神、民主决策等，而发展学生的交流与沟通能力需要提供适宜的机会、环境，满足主体展示自我的愿望．“问题解决教学”强调用问题启动学生思维，让学生在探索中学习，与传统的教学方式相比，学生合作与交流的几率大大增加了．另外，
以合作小组和书写课题反思性学习报告的形式，开展师生之间、生生之间的多边活动，使学生有了更多的讨论、交流和表达的机会，这种多边合作互动，有利于激发集体创造力，培养学生的合作能力和群体创造意识．表现为：这种忧虑没了，老师很在乎我们怎么想（学生3）；这次我回答得很精彩，老师看上去有些激动（学生7）；加强了同学与老师间的交流，训练了我们的表达能力和写作能力（学生8）．
?“问题解决教学”的研究已经进行了近四年的时间，尽管历尽艰辛，但我们的心情始终是快乐的．太多太多的感动难以言表：临沂师院和临沂市教委的领导对课题研究给予了大力支持，并为课题提供了必要的经费和实验环境，令我们感动；实验点的领导和老师对开展实验那种渴求和投入，令我们感动；让我们最感动的还是我们实验班的学生，那种自信、那种无畏的创新精神和创造力，常常令我们激动不已．国外评价中国学生创新和实践能力差，不是天生就差，是我们的教育观念和教育方式束缚了学生的发展．我们的学生蕴藏着极为丰富和巨大的创造潜能，关键是我们的教育能否营造适应于他们发展的环境，能否为他们创设发展空间，提供发挥其创造潜能的机会．
?参考文献
?1 李红婷.“问题解决教学”的理论与教学结构.中学数学教学参考，2001，6
?2 李红婷.在探索中学习，再创造中发展.中学数学教学参考，2001，7
?3 李红婷.“问题解决教学”的实践与认识.中学数学教学参考，2001，10
?4 李红婷.数学创新教育中的教学原则探微.数学通报，2001，3
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