对小学数学教育几个问题的思考
在国际上，数学教育始终都是备受关注的领域。在基础教育课程体系中，小学数学一直处于重要位置。随着新世纪的到来，数学科学本身有了大的发展，人们对小学数学教育的要求也发生了变化，小学数学教育面临巨大挑战，理论上与实践上日益暴露出很多复杂的矛盾冲突。
一、关于满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾冲突
在教育问题上，经常会出现这样的情况，矛盾和冲突的双方似乎都有一定的合理性。满足学生的兴趣和需要与小学数学教育的强迫性就是这种矛盾的双方。现代社会要求尊重每一个学生的权利，尊重学生的兴趣和需要。它是现代教育的一个原则。然而，扪心自问，对学生真正需要和感兴趣的事情，我们成人无论如何努力，恐怕永远都不能完全地满足他们。对一个具有强烈的社会责任感的教师而言，出于长远考虑，从社会和国家的要求出发，有时会强迫学生服从教师的意志，听从教师的安排，尤其是在基础教育阶段更是如此。在小学阶段，数学教育具有基础性和普及性，是一种为学生打基础的教育，是要求人人都要接受的普通教育。当学生对数学缺乏兴趣时，满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾就显得更为突出。
事实上，我们无法否认有一部分学生是极其喜爱数学的，哪怕有升学的压力和高分的诱惑，对这些孩子来说，热爱数学是首要的学习动力源泉。但同时，我们也得承认有相当一部分学生是不喜欢数学的，甚至还有极少一部分学生是厌恶数学，一听到数学就头疼的。对这些学生来说，得到父母的肯定和教师的赞扬以及满足升级、升学的要求等，则是学习数学的主要动力。遵循满足学生需要和兴趣的原则，对那些不喜欢数学的孩子，教师应该表示宽容和理解。但对孩子来说，一个能够容忍他在数学课上看漫画书、开小差的教师，就其一生来说，是他的幸还是不幸呢?若因教师的宽容和放任，儿童失去了更好的发展机会，等长大成人以后一事无成，他对这样的教师是心存感激，还是心怀怨言呢?但是，反过来，如果教师对孩子实施强迫性的教育，致使他们对数学产生了一种消极的不愉快的情绪，影响了他们学习的积极性，甚至怀疑他们自己的能力，对数学产生了畏惧心理，这又岂不是得不偿失?
因此，在小学数学教育上，如何既能满足学生的兴趣需要，又能达成小学数学教育的目标是一件极为困难的事情。在这一问题上，前苏联教育家阿莫纳什维利给我们提供了很好的成功案例和积极的思想观念。他说：“如果一个儿童学习有困难，而我们确实想帮助他，那么，最主要的事——我们应该从何人手，什么是我们应该始终不渝地信守的原则——就是使他能感到，他像所有其他儿童一样，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天赋’。”[1]在这里，阿莫纳什维利所谓的“应该始终不渝地信守的原则”其实就是人性的原则。这个人性的原则超越了简单地满足学生的兴趣需要或实施强迫性数学教育的理念，既不以升级为目的，也不是简单地满足学生当前的需要，而是以使学生获得自信和对学习的兴趣为目的。基于此，在处理学生兴趣需要与数学教育的强迫性矛盾时，我们的初步认识是既不能简单地服从学生的兴趣和需要，降低对他们的要求，也不能过分强迫学生，给学生施加升级和升学的压力，而是要淡化要求，降低强迫性，创造一个合乎人性的学习环境，帮助学生取得进步，增强学生的自信心。
二、关于大众数学教育与精英数学教育之间的矛盾冲突
20世纪80年代以来，国际数学教育界就存在着“大众数学教育”与“精英数学教育”的矛盾冲突。所谓“大众数学教育”是一种面向人人，希望使数学对大多数学生来说更有吸引力和力所能及的教育理念。在我国，主导的大众数学教育思想认为，“大众数学意义下的数学教育体系所追求的教育目标，就是让每个人都能够掌握有用的数学”。[2]其基本含义包括“人人学有用的数学”“人人掌握数学”“不同的人学习不同的数学”。[3]国家教育部2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》又将这一思想进一步阐发为：“人人学有价值的数学”“人人都能获得必需的数学”“不同的人在数学上得到不同的发展”。所谓“精英数学教育”，就是指以培养数学精英人才为目的的数学教育，比如为大学数学专业输送人才、培养以数学研究或应用为职业的人等。
长期以来，我国的数学教育是一种典型的精英教育。人们批评这种教育是为了个别学生的发展，牺牲大多数学生的发展利益。数学教育的内容不是学生掌握不了，就是学了也没用。这种教育的价值是为高一级的学校筛选有能力的人，体现的是“筛子”的功能。它不能使大多数人体验到学习数学的成功喜悦，获得学习的自信心。但是，现代社会的发展又需要精英，需要有专业知识和专业精神的人，全盘否定精英教育的价值也是不可取的。因此，大众数学教育强调“不同的人在数学上得到不同的发展”，就有解决大众数学教育和精英数学教育的矛盾冲突的意思，认为大众数学与精英教育并不对立。“恰恰相反，大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会”。[4]在美国，大众数学教育和精英数学教育的矛盾具体化为“公平”和“优秀”之间的矛盾。“许多专门的计划都在探索着如何促进公平和优秀。其中最好的计划是对具有不同需要水平的学生提供不同水平的期望。”“提高期望可保证对一切人公平和优秀。”[5]这也就是所谓的“数学上普遍的高标准”，是一种要求人人能数学地思考的教育观念。
一些数学家对大众数学思想提出质疑，[6]包括这种保证对一切人公平和优秀的数学教育的质疑。他们的问题有：1.“这是否还是数学”。有数学家怀疑大众数学由于过分强调问题的开放性和问题的“真实意义”，导致学生对数学的本质形成错误的认识，认为数学是无意义和毫无用处的，因而有人质问“大众数学是否就意味着没有数学”了呢?2.“(大众)数学：一或多?”数学界对大众数学有不同的理解。经典意义上的数学是希腊人开创的传统，强调演绎和推理；古埃及和古巴比伦的数学传统是“经验的方法”；我国的传统是“问题一算法”，强调实用、经验归纳等。因此，人们不禁要问“我们究竟需要什么样的大众数学”?3.“是否人人都需要数学?”“是否人人都需要高质量的数学?”在数学家Noddings看来，“数学上普遍的高标准”不是一个正确的口号，他说：“我将帮助那些对数学有着强烈兴趣的学生学习数学家观察世界的方式，但我并不要求所有的学生‘像数学家那样地思维’，他们应当按照自己的目标来学会如何应用数学”“除基本的算术以外，任何现行的课目都不能被认为是完全必要的”。
显然，大众数学教育和精英数学教育之间的矛盾并没有那么容易解决。稍有一点专业知识的人都明白，一个人如果没有精深的数学专业素养是不可能领略数学之美，透彻领会数学内蕴之深厚的。大众数学教育所倡导的数学教育思想必须依托于数学学科的成熟发展。对个体来说，整体认识数学全貌及其全过程，具备准确到位的数感以及数的意识等，非得有专业训练不可。我国基础教育数学新课程改革要求课程内容的学习强调学生的数学活动、发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力等。还有当前人们试图通过数学教育来传达的种种关于数学价值的阐释，比如，“数学是一种文化”“数学是理解世界的工具”“数学是一种意识”“数学是一种思维方式”“数学是一种技术”等等，这一切对小学生来说是否是一种更高、更难达到的要求，是值得思考的。在数学教育问题上，有时要求越多，越不知如何去做，最后的结果就可能不尽如人意。有时抓住一点，扎扎实实，深入做下去，反而兼顾整体。这不失为解决数学的大众教育与精英教育之间矛盾的一种思路。
三、关于数学专家的建议与学校数学教育目标之间的差距
数学专家的期望能否直接进入学校教育领域，成为教育的目的呢?这一问题也值得讨论。
1989年，美国促进科学协会出版了《普及科学——美国2061计划》。计划内容涉及学习目标问题。但是“参与2061计划第一阶段的数学家在本报告中提出的一些思想，将在计划的第二阶段由另一些人转化成课程方案，这些人的职业工作使他们非常熟悉有关孩子们早期经历的各种解释”。[7]由此可以看到，美国2061计划的专家建议并不是直接进入教育领域，而是通过一系列的转化工作。任何一门学科都有极其丰富的文化价值和教育价值，但是否有价值就要进入学校教育领域呢?从目前学校的状况来说，这是不可能的。一门科学要想成为学校的一门学科，其内容要想进入学校课程领域，必然经过一个被选择和筛选的过程。这个筛选过程在古典课程论专家拉尔夫·泰勒那里被理解为两个环节：一是在选择教育目标时运用哲学。究其原因是由于达到教育目标需要有一定的时间，学校的目标应该是少量的，而不应该太多。如果试图达到众多目标，而实际完成的却极少，那么，这种教育计划是无效的。同时有些目标之间也存在一定的矛盾冲突，这样容易引起学生的困惑，因此为了选择少量非常重要而又互相一致的目标，必须对已经获得的大量庞杂的目标进行筛选。而“学校信奉的教育和社会的哲学可用作第一个筛子。人们可以根据学校的哲学陈述的或隐含的价值观，对最初列出的教育目标加以鉴别，确定那些具有高度价值的目标。”[8]二是在选择教育目标时运用学习心理学。“这道筛子是学习心理学说提示的选择教育目标的准则。教育目标即教育宗旨，是经过学习而得到的结果。除非这些教育宗旨是与学习的内部条件相一致的，否则它们作为教育目标是没有价值的。”[9]泰勒的这两个筛选教育目标的原则是针对一般的课程编制而言，是极为有价值的，对小学数学教育目标的确定也很有启发。除此之外，笔者以为，确立小学数学教育的目标还必须考虑以下几个方面。
首先，是促进学生发展的原则。在这点上，维果茨基的最近发展区理论给我们提供了很好的借鉴。维果茨基认为，“只有跑到发展前面的教学才是好的教学”。[10]小学数学教育目标应该设置在儿童的最近发展区内。低于儿童现实发展水平的目标要求是没有意义的，而高于儿童明天的发展水平，任学生付出多么大的努力都不能达到的目标同样是没有价值的。比如，培养学生的“数感”问题、学生对数学与日常生活之间的联系的体验问题等，都是有层次之分的。数学专业人士所拥有的数感，以及他们所感受的数学对生活的重大意义不是所有的人都能理解和接受的。就连“数学是思维的体操”这样一句很多人耳熟能详的名言，恐怕也不是小学阶段的孩子们能够理解的了的。至于数学文化、数学意识、数学思维、数学技术等种种数学观念，如何以合理的方式进入学校，以促进学生的最大发展，都是必须解决的问题。
其次，必须考虑师资条件。20世纪60年代，美国的“新数学”运动失败了。其中一个重要的原因就是没有充分考虑当时的师资条件。“新数学”之新是毫无疑问的，“新数学”的教育理念也是先进的、现代的，但它对教师的要求之高也是众所周知的。尽管它也为教师提供了相应的培训和辅助教学材料，但终因要花费大量的时间和金钱，而并没有多少学校和教师真正采用和实施。因此，要求教师必须具备数学家的素养才能胜任的数学教育，有可能也会重蹈“新数学”运动的覆辙。
再有，经济条件也是一个重要制约因素。比如，吴文俊院士1995年在《数学教育现代化问题》一文中说：“我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中学里边推行，可就是不敢，因为中学里边是不能随便讲的，而且当时条件不具备，你要用计算机，可在中学里边根本不可能。”[11]一种教育目的的达成如果需要大笔经费的支撑，而这一大笔经费又根本是个画饼，是目前社会的经济发展水平不能提供的，这样的教育目标自然会因其不现实而不能达成。
四、关于小学数学教育目的的功利性与过程的非功利性之间的矛盾冲突
小学数学教育还须处理功利性目标与非功利性过程之间的矛盾冲突。教育是一种实践活动，就其追求来说，是现实的、功利的。人类任何科学领域的内容要进入学校领域都是以其是否有价值来衡量的。然而一旦进入学校教育领域，人们要求的理想的学习方式又是非功利的。
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比如，美国学者要求人人都来关心数学教育时，强调的都是数学教育的功利价值，像这样的陈述有“数学是打开机会大门的钥匙”“它以直接的和基本的方式为商业、财政、健康和国防作出贡献。它为学生打开职业的大门；它使国民能够作出有充分依据的决定；它为国家提供技术经济竞争的学问。”“对所有学生进行优质的数学教育是兴旺发达的经济所必需的”等等。[12]大多数数学专家则认为引导学生对数学本身感兴趣，比对数学的应用感兴趣更有价值。这是一种追求数学的内在学习价值的观念，是非常好的。但是，对不想从事与数学专业有密切关系的专业的人们来说，我们不能不理解他们的功利追求。我们不但不反对人们这样问：学数学对我有什么用?有时反而还要顺着这一问题思考：对不想做数学家，不想从事数学专业的人来说，学数学有什么用呢?比如，泰勒认为“向学科专家提出的问题应该是这样的‘这门学科对外行或一般公民有什么贡献?’学科专家倘若能够回答这样的问题，就能作出重大的贡献，因为他们可能具有这个专业领域大量的知识，而且其中许多人可能已有机会看到这门学科对他们自己以及对与他们一起工作的人有什么用处”。[13]美国2061计划第一阶段数学专家的小组报告的第一句话就是“本报告回答一个问题：‘当一个人到了18岁的时候，有哪些重要的数学思想是他应该知道并且明白的’”[14]而这里所谓“重要的数学思想”，“并不是按照培养数学家或者即使是培养大学生的标准来设计的”。[15]
无论是泰勒还是参与2061计划的数学专家都尽量避免从个别“数学天才”的角度来回答上述问题，而强调数学的应用价值，使数学教育目的具有鲜明的功利追求。但在我们看来，数学教育的组织如果仅以满足大多数外行的要求为原则，则有可能会降低数学的科学性、使数学被大众歪曲应用，甚至对数学本身产生难以消除的误解。因为真正理想的数学教育过程是非功利性的，在这样的过程中，学生的学习是被数学本身的魅力和数学学习本身的乐趣所引发，学生的状态是积极主动的、自觉自愿的。只有非功利性的数学教育过程才能充分发挥学生的潜力，因为儿童都有一种与生俱来的以自我为中心的探索性动机，正如苏霍姆林斯基所说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”[16]因此，在处理这一问题上，保持谨慎的态度不失为一种明智的选择。我们体会，尊重数学家的建议，借鉴赞科夫的教学过程性原则，尽量挖掘数学本身的内在价值，将数学教育组织得丰富有趣，既能吸引学生，又能保证在学生力所能及的基础上，接受具有一定难度的挑战，可能有助于处理这一矛盾冲突。
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