浅谈数学中的一种常用解题策略—转化

浅谈数学中的一种常用解题策略—转化

浅谈数学中的一种常用解题策略——转化

　　 “转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转 化过程，把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数 学的转化方法多种多样，常用的有下列几种：

　　一、高次(或多元)向低次(或低元)转化；

　　 例1已知X2－2X－l＝0，则代数式X3—X2—3X十2的值是 (97年广东省初三数学竞赛第一道试题)

　　(A)O (B)1 (C)2 (D)3

　　分析：此题若通过已知X2－2X－1＝0解得

　　　X＝2土石代入原式求出答案，显然运算量大。因此为了减 少运算量，我们应将问题转化，经分析可知：X2＝2X十1代人原式，从而达到降次的目的，最后得到正确答案(D)，由此可见，通过降次，可以将复杂问题转化为简单低次的问题，从而得到解决。

　　分析：解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为低元方程组，最后转化为一次方程而求得，此题的解题思想方法如下所示： 三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程

　　二、特殊与一般的互相转化从特殊(一船)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科 学领域中进行探索，发现真理知识的重要途径。

　　例3圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半。

　　分析：考虑到圆周角与圆心角的一般关系，我们可以分为下列三种情况来证明。

　　(1)如图1圆心在圆周角的一边上：

　　易证得∠APB＝1／2∠AOB

　　(2)如图2圆心在圆周角的内部：

　　易证∠APB＝∠APS－∠BPS＝1/2∠AOS －1/2∠BOS＝1/2∠AOS

　　(3)如图3圆心在圆周角的外部：

　　易得∠APB＝∠APS－∠BPS ＝∠AOS－1/2∠BOS 』 J ＝1/2∠AOB

　　综上所述，不论哪种情况，圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半，从而命题得证(详细过程参考《几何》第三册P91－92)这是由特殊到一般的转化。

　　例4 如图4，已知定圆⊙O1；与定圆⊙02外切于P点，AB 是过切点P的任一直线分别与⊙01和⊙02交于A、B 求证： AP/BP是一个定值。则应先找出这个定值，而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的半径(不防设为R．r)即要证AP/BP与R，r有 关，由此启发我们过切点P作⊙Ol与⊙02的直径CD构成Rt △APC～Rt△BPD，得出AP/BP＝CP/DP=r/R：参由此可见，找出定值的进程就是由一船到特殊转化的过程。

　　三、正面向反面的转化。

　　　很多数学的问题正面难于入手，但从问题的反面则易于解决，故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问 题。

　　 例5若三个方程

　　至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围。

　　分析：条件“至少有一个方程有实数解”的情况十分复杂，如逐个方程讨论，势必造成运算过程繁琐，且容易出错。但若从 这个问题的反面去思考，将问题转化为“三个方程都没有实数解”，则使问题变得单一、明白，由此可得

　　综合得出－3/2＜a＜－1时，三个方程都没有实数解，由此可知， 当a≤－3/2或a≥－1时，三个方程必定有一个方程有实数根。

　　四、隐含向明朗转化。

　　由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处，但只要我们认真分析找出题中隐蔽原条件，就会使问题迎刃而解。

　　 例6化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(264＋1)＋1

　　(摘初一级第八届“希望杯”培训题)

　　分析：此题初看起来难于动笔，查只要认真分析，观察一下题型结构，较快发现一个隐蔽条件：1＝2－1，再利用平方差公 式，很易使问题得到解决。

　　解：原式＝(2－1)(2－1)(22十1)…(264十1)十1

　　　　　　＝(22－1)(22十1)(24十1)…(264十1)十1

　　　　　　 ＝2128

　　五、致与形的相互转化。

　　例△ABC的三边为连续的自然数，且最大 角为最小角的二倍，求三边长(95年天津市，初 三竞赛题)

　　分析：这道题的常见解法是构造三角形法，依题目的已知条件，构造如图5设∠CAB＝2 ∠C，对应边分别为X－1，X，X十1延长CA到 D，使AD＝AB，连结BD，得到△ADB。△BDC，因此有（x+1)/(x-1)＝(2x-1)/(x+1)，解得x＝5

　　从而得出三角形三边之长

　　 六、综合(或复杂)向单一(或简单)的转化，是解综合题 的常用思维方法之一。

　　例8如图690n与①02外切于点 P，CD为两圆的外公切线，PT为两圆的 内公切线，且①O，与①02的半径分别为— 9和4

　　(1)求PT的长；

　　(2)求Sin01的值；

　　(3)证明PC·PD＝PA·PB；

　　(95年广西壮族自治区升中试第31题)

　　分析：这个综合(或复杂)题可以转化为三个单一(或简 单)的基本问题是：

　　1、在△PCD中，若TC＝Pr＝TD，点T在cD上cD＝12，求 Pr的长；

　　2、在直角梯形DC0102中，若O1C＝9，02D＝4，0102＝13， 求SinOl的值；

　　3、若BC／／AD、CA与BD相交于点P，求证PC·PD＝PA·PB 这样分为三个小题后，问题(1)，(2)易解决，而问题(3) 只证得点C、O、B共线，点D、02、A共线，即可得CB／／DA，从而得出PC/PB＝PD/PA得出结论PC·PD＝PA·四。

　　综上可知，转化的思想方法是解决数学问题的一种最常见最基础的思维方法，也是作为一名中学生(或中学教师)必须掌握 并灵活运用的思维方法，而常见的六种转化，也是中学数学中最 常用的转化手段。