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论数学开放题
论数学开放题
有人说“问题是数学的心脏”、“问题解决是数学教学的核心”，这是数学题重要性的体现。数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的教育价值。作为数学教师，主动接受建构主义教学理论的指导，研究数学开放题，构建数学开放题及其教学模式并用之于数学教学是对学生进行素质教育的一种有效途径。
事实上，我国的数学教育者，在“一题多解”、“一题多变”的教学中早就有许多好的经验。但这并不等同于开放题的教学。
一、 数学开放题的特征
根据戴再平的研究，数学开放题一般具有以下特征：
1． 所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。
2． 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
3． 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。
4． 常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
5． 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。
6． 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。
7． 教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。
二、数学开放题的分类与设计策略
1、对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找，则称为综合开放题。
（一）条件开放题，即未知的要素是条件。例如，在北师大版七年级（下）的概率教学中有这样一个问题：（P108试一试）用10个球设计一种摸球游戏，使摸到红球的概率为
（二）结论开放，即未知的要素是判断。例2、如图1，
和AC边上，且BD=2DC，CE=2EA，AD与BE
相交于G，试就有关图形的形状、大小和关
系得出尽可能多的结论。（解略）学生从有
关的角边关系式，面积的关系式等可以得到
不下几十种的结论。其思维的多向性、灵活性
显露得淋漓尽致，学生不但可以巩固知识，培
养技能，而且更可以有表现自己的创造力的机会。
（三）策略开放，即未知的要素是推理。例3：①若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张长方形桌子，有几种拼法？（两种，如图2、3）。
图3
图2
②一张桌子可坐6个人，若按图2方式摆放，2张桌子可坐 人。③按图2方式继续摆放桌子，完成下表：
桌子
张数
3
4
5
6
……
n
可坐
人数
先让学生把表格中的前4项填好，之后再讨论n张桌子可坐几人？
学生可以从不同的角度思考，得到不同的策略：①一张桌子可坐6人，每增加一张桌子增加4人，几张桌子增加4（n-1）人，因此n张桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子无论增加几张，左右两侧始终只能坐2人，而每张桌子的上下两侧都可坐4人，故有（4n+2）人；③每张桌子可坐6人，那么n张桌子按理可坐6n人，但要减去每两张桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一张桌子的一半可坐（2+1）人，n张桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n张桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。这一系列问题的设计给学生的不同见解留下了足够的空间，学生可以在自己原有的知识结构中进行同化，多角度、多方位地去寻找解题策略。
2、从开放题答案的开口情况出发，数学开放题可以定量地分成三类：弱开放题──答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题──答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题──只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题
三、数学开放题的功能
美国加利福尼亚州教育部于1989年指出了开放性问题的五个功能：
1． 为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观是来表达的机会，这和他们的数学发展是一致的。
2． 要求构建他们自己的反映，而不是选择一个简单的答案。
3． 允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的。
4． 鼓励学生用不同的方法来解决问题，反过来提示老师用不同的方法解释数学概念。
5． 开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。
我国的数学教育工作者经过教学试验和理论研究，认为数学开放题有以下几方面的作用：
1．开放题能引起学生认知的不平衡，为学生主动选择信息，超越所给定的信息留下了充分的余地，有利于完善学生的认知结构。
2．开放题由于具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地反映高层次思维，为高层次思维创造条件，因而能更好地培养学生独立思考和探索精神，培养学生创造意识与能力。
3．开放题有助于培养学生对数学的积极态度，调动学生学习的积极性，提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣，帮助学生体验智力活动的欢乐，体验数学学科的灵感。
4．开放题是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，使每个学生的数学才能在自己的基础上有一个最大的发展，体现受教育者公平和人人有份的原则。
5．开放性问题的研究和教学，有利于教师转变教育观念，激发教育热情，摆脱一种浅层次的教学循环，体现教师自身的生命活力。
四、数学开放题对数学教学的意义
数学开放题作为一种教学思想反映在以下几个方面：
1．数学开放题强调了数学知识的整体性。封闭式的例题——习题式的数学教学仅停留在分类介绍技巧和方法的水平，指向知识、技能、原理和它们的适用性，往往会导致学生对某个结论或方法的记忆；重视的是学生计算、演绎等严格推理的能力，忽视的是培养学生的数学实践，寻找相似性等非形式推理的能力。我们嘉兴市2005年中考试题中用相似扇形来考查学生对相似形的最基础的有关知识，而不是通常的用相似三角形，许多学生就不知所云，即证明了这一点。而数学题开放作为一种教学思想把数学教学作为一个互相联系的有机整体，使学生在数学上得到全面的培养。
2．数学开放题强调了数学教学的思维性。封闭的数学题教学面向事实性的知识和程序性的技能而不是强调高层次的技能，而数学开放题作为一个教学思想强调反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维。学生在解答开放题的过程中，以已有认知结构为基础，对问题作出富有个人意义的解释和理解，经历一个从现实条件到用数学语言表述的数学化过程，不断检索或修正、提出解题设想并尝试解决问题。开放性数学题有利于培养学生关键性思考，应用知识和解决问题，让学生进行数学地思维，更好地培养学生的创新思维能力。
3．数学开放题强调解决问题的过程。数学开放题教学与封闭的数学题教学的另一不同点是侧重学生解决问题的思路和策略而不是问题的答案，侧重学生获得解答的过程。因为在数学教学中，不仅要注意其产物，而且要注意其过程，注意对学生解决问题的思路的分析。
4．数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用。在数学学习中，学生会表现出各种不同的特点，对同一数学问题的理解会有不同侧面深刻程度上的差异，具有强烈的个性特质。数学开放题把数学教学建立在以学生的学习基础之上，更能反映出学生的主动性和创造性，反映出学生的主体作用，有利于改变以教师为中心的教学方法。
5．数学开放题有利于提高学生学习的积极性，提高学习的内在动力。数学开放题提供学生以一种数学活动，在活动中展示和提高自己的数学才能，在活动中交流体会，增强主体意识，在解决问题的过程中感受到数学的美感和解决问题的有趣，全体学生都会有收获，特别有利于调动数学成绩较差学生的学习兴趣，让每个学生都有进步。
参考文献：
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10. 王琦《从高考新题型---开放题引起的思考》，北京：数学通报1999
11. 王珍《论数学教学中的问题设计》，浙江：中学教研2005（4）
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