在小学数学中培养学生的思维能力问题

　　培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

　　培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

　　思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

　　（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

　　（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

　　（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

　　1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

　　形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

　　2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

　　从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

　　新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

　　为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

　　（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

　　（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

　　由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

　　有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

　　也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

　　下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

　　（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

　　这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

　　1.培养初步的分析、综合能力。

　　分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

　　分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

　　从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

　　（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

　　（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

　　（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

　　（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

　　两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

　　想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

　　一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

　　要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

　　题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

　　知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

　　（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

　　小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

　　教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

　　（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

　　（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

　　（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

　　（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

　　2.培养初步的比较能力。

　　比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

　　比较在小学

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　　小学生的比较能力也是逐步发展起来的。低年级学生往往只能在直接感知的条件下区分一些直观、具体的事物的异同，或区分个别部分的异同，还不善于区分本质的异同。随着年龄和年级的增长，学生逐步发展到能区分抽象事物的异同，许多部分的异同，并且对简单的事物能区分本质的异同。研究还表明，小学生开始比较容易发现事物的相异点，逐步也能发现事物的相同点或相似点。而且开始发现事物的相异点都是比较明显的，以后逐步能比较细微的差异点。

　　教学生进行比较时要注意以下几点：

　　（1）要比较的事物和对比较的要求必须适合上述小学生在比较方面的年龄特点。例如，低年级要多利用直观，并且多加引导；高年级则要更多地放手让学生进行抽象事物的比较，遇到较难的知识仍可利用直观。开始着重比较明显的相异点，以后逐步练习比较细微的差异点。

　　（2）明确要比较的项目，必须在同一种属性、特点或关系上进行比较。有时在几方面有相同点或不同点，就要引导学生分项依次进行比较。例如引导学生比较长方形和正方形时，先比较它们的边，再比较它们的角，然后综合起来说出它们有什么相同点和不同点。

　　（3）要引导学生抓住本质的属性。特别是分析不同点时，往往有很多非本质的不同点，不要在这些方面花很大力量。例如，方程解应用题和用算术方法解应用题，在解题时有很多相同点和不同点，但最重要的不同点是：用方程解时把未知量当作已知量直接参加列式，算术解法则把未知量作为解答的目标而不参加列式。学生明确这一点，就抓住用方程解应用题的本质。

　　（4）对于易混的概念和法则要着重比较它们的相异点。例如1分米、1平方分米和1立方分米，要通过比较，使学生明确它们的实际长短或占空间的大小，弄清它们分别是长度单位、面积单位和体积单位，它们分别与1米、1平方米和1立方米的进率是10、100和1000，从而获得明确的长度单位、面积单位和体积单位的概念。

　　3.培养初步的抽象、概括能力。

　　抽象是在思维中揭示出事物的本质特征，舍弃其非本质特征。有时本质或非本质特征要根据研究的方向和目标而定。例如：下面的几个形体，可以分别研究它们的形状特征。大小特征，颜色特征或制作的材料特征等。

　　概括则是在思维中把某些事物所抽取出的共同本质特征结合起来，并推广到同类的事物上去。例如，研究大小不同、放的位置也不同的三角形，抽取出它们的共同本质特征，并得出一般结论，即三角形都由三条线段围成的，都有3个角。这就是概括。

　　显然，抽象、概括与分析、比较、综合有着密切的联系。它们是在分析事物的各自特征的基础上，舍弃其中一些非本质的对我们没有意义的特征或属性，分出本质的对我们有意义的特征或属性，并且通过比较不同的事物，找出它们的共同特征或本质属性，再加以综合。因此可以说，这几种逻辑方法是相互联系、相互渗透的。

　　抽象、概括在小学数学中有着广泛的应用。任何一个数学概念都是抽象、概括的结果。例如，认数3时，先数3个杯子，数的时候舍弃了杯子的形状、大小、颜色等特征，区分出数量来；再数3支铅笔、3个球，也同样舍弃其他的特征，只区分出数量的特征。经过比较，可以看到这三种物体具有共同的数量特征，即都是3个，于是概括出数目3。认识形也是一样，先拿一个小圆筒，舍弃它的数量、大小、颜色等特征，而抽取出它的形状特征。那么就看到它有上下两个圆面，还有一个侧面是曲面。如果再拿几个小圆筒，大小、颜色虽然不同，但是形状上具有同样的特征，那么就根据它们具有形状的共同特征把它们归为一类，做出概括。

　　小学生的抽象、概括能力也因年龄和年级的不同而有不同的层次和水平。据心理学家研究，低年级学生主要处于直观形象水平阶段。如认数1、 2、 3， 4、 5……以及认识加、减、乘、除运算的含义等，都是通过操作、直观而抽象、概括出来的。学生在抽象、概括时，他们往往只注意到或概括出事物的直观形象和外部特征。例如，在一年级教学圆柱的认识，有的学生说它的形状是“直上直下的，像个大柱子，圆乎乎的。”在教师的指导下，学生逐步能离开直观，理解一些抽象的数概念，概括出简单的计算法则。中年级学生则发展到形象抽象水平阶段。其特点是：学生注意和区分事物的直观的和外部的特征逐渐减少，而注意和区分事物的内部的和本质的特征逐渐增加。到了高年级，进一步发展到初步的本质抽象水平。其特点是：大多数学生能对事物的本质特征或属性以及事物的内部联系和关系进行抽象、概括。例如，给学生出示几个不同的菱形（来教过），四年级除了一些学生能抽象概括出它们都有 4个角或 4条边外，有 8％的学生能指出它们的四边相等或对角相等。而五六年级除了一些学生能抽象概括出它们都有4个角或4条边外，有21％的学生能指出它们的四边相等或对角相等，还有33％的学生能指出它们是对称图形或有对称轴。高年级学生还能初步理解用字母表示数。但是学生的本质抽象水平的发展还是不完全的，对于离学生生活远的事物或高度的抽象、概括，还感困难。例如分数、小数、质数、合数的本质特征，还需要通过操作或直观来理解。

　　教学生进行抽象、概括时要注意以下几点：

　　（1）要通过直观、具体的材料进行抽象。抽象是与具体相对应的，因此要按照由具体到抽象的原则，提供丰富的直观、具体的材料，并引导学生抽象。直观、具体的程度可根据学生的年龄特点以及平时积累的感性经验多少而定。低年级要多运用一些直观、具体的材料，到高年级遇到过于抽象的概念，如质数、合数、分解质因数、分数等概念，也要注意适当运用直观教具。

　　（2）注意抽象、概括的科学性。进行抽象、概括时，要注意引导学生区分出事物的本质特征，舍弃其非本质特征，以便达到正确理解所学的知识。另外要注意从多个事物进行抽象、概括，避免从一个事例作出概括，以防止得出片面的不正确的结论。即使是通过几个事例进行抽象概括，有时也难免得不到正确的一般概括，因此所举的事例要具有典型性、代表性。例如，低年级教学长方形时，要出不同的放置位置的长方形，特别要注意出现斜着放

　　误认为只有底边是水平放置的长方形才是长方形。

　　（3）进行抽象、概括之后还要注意具体化。具体化和抽象、概括是相反的过程，在抽象、概括出事物的本质的一般特征之后，还要引导学生回到单独的个别的事物上去，以作为对抽象、概括出的结论的应用和验证。通过这一活动还可以加深学生对所学的知识的理解，使学生的思维生动、灵活。例如，教学乘法的初步认识后，可以出现算式3×4，让学生用小圆片摆出这个算式表示的是几个几。另外，如果有些差生对抽象、概括出的概念的本质特征不易理解，还要再回到具体的事例中去以帮助理解。

　　（二）培养学生初步的判断、推理能力

　　前面讲的是思维的过程和方法，但人们在进行思维时，以什么形式表现出来呢？这就是通常所说的概念、判断和推理。无论逻辑学或心理学，都把这三者看作基本的思维形式。

　　1.重视概念的教学。

　　概念是对事物的一般属性和本质特征的反映形式。任何一个概念都是对事物进行抽象、概括的结果。概念与知觉、表象不同。知觉、表象都是事物的具体的映象，具有直观的性质。而概念具有抽象、概括的性质。

　　概念是用词来表达的，它以词的意义的形式而存在。在小学数学中概念有很多，也都是用词来表示的，如整数、分数、小数、约数、倍数、直线、长方形、圆等。

　　（1）概念的定义。

　　任何一个概念都反映事物的本质特征，通常叫做概念的内涵。例如，平行四边形这个概念，它的内涵就是两组对边分别平行的四边形。一个概念还反映了某一类事物的总和或范围，通常叫做概念的外延。例如，三角形的外延就是指所有的三角形，其中包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。可以看出，概念的内涵是说明概念的含义的，概念的外延是说明它的适用范围的。这两者相互联系、相互依赖。每个概念都有确定的内涵和外延，不能混淆。

　　概念一般都要加以定义。通过定义来揭示概念所反映的事物的本质特征。这在小学数学中例子也很多。给概念下定义的方法也有多种，下面举出几种常见的下定义的方法。例如，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（关系定义，说明平行四边形是四边形中的一种，它的本质特征是两组对边分别平行。）

　　已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数的运算叫做减法。（也是关系定义。）

　　一条线段绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。（发生定义，说明这种角的由来。）

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。（条件定义，通常有“如果……那么……”）

　　此外，在某些情况下，概念不好下定义，就采取描述、说明的方法。这在小学数学中还比较多。例如，物体表面或围成平面的大小叫做它们的面积。（描述）

　　把一个合数表示成若干个质数的乘积，叫做分解质因数。（说明、解释）

　　1、2、3、4、5……叫做自然数。（指出概念的外延）

　　有些初始概念是不定义的，如集合。（在小学不讲）

　　（2）小学生对概念的掌握。

　　小学生掌握概念有一个逐步提高的过程。低年级学生掌握的概念大部分是具体的；如果是比较抽象的概念，那么必须是通过直观可以了解其本质特征的。据心理学家研究，儿童对概念的掌握的水平是与其概括的发展水平相适应的。低年级学生掌握概念的水平主要是描述型和功用型，如果给概念下定义，学生还较难接受。另外，学生往往对概念的本质特征不很清楚，也不易全面掌握。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形。中年级学生可以初步理解和掌握一些概念的本质特征，但是由于抽象、概括水平的限制，对某些概念的本质特征的理解和掌握还有困难，而且往往不能脱离直观形象的支持。例如，中年级学生掌握亿以内的数比较容易，对亿以上的数就比较困难。分数、小数的概念，还需要通过操作、直观来逐步理解它们的含义。另据研究，四年级学生能识别垂线、直角三角形、平行四边形、正方形、梯形、圆这6种图形的平均正确率可达62.3％，但是能说明图形特征的平均正确率只有28.3％。这说明要掌握几何图形的本质特征还是比较难的。到了高年级，学生能够掌握一些概念的本质特征，理解一些概念的抽象定义。据测试，五年级能正确掌握所学平面图形特征的可达50％。但是有些概念还需要通过直接的经验或感性的表象来掌握。例如教学分数时，仍需要借助一些直观材料来说明概念的意义。高年级学生还能理解和掌握一些概念间的逻辑联系或概念系统，如平行四边形、长方形和正方形之间的联系和区别。但对概念的本质特征的理解和掌握也有不完全、逻辑性差等缺点，有时甚至发生混淆。例如，学生往往难以区分质数、互质数和质因数的含义，在计算时还往往用错术语。

　　（3）教学数学概念时要注意的几点。

　　①正确说明所教概念的意义，首先教师要弄清概念的意义。要把数学的科学概念与日常生活中的概念的含义区别开来。例如“角”在数学中指的是平面的角，与日常生活“角”的含义不同。

　　要防止不适当地扩大或缩小概念的内涵或外延。例如教学“整数”不能只包括0和自然数。

　　教学概念的意义时避免同一词语的反复。例如不能说“求两个数加在一起是多少叫做加法”。

　　不能任意解释一个概念。例如教学体积概念时，用粉笔盒说明装多少支粉笔就是体积的大小。

　　要注意在理解的基础上给学生分析概念的定义。例如教学平行四边形，首先说明它是一个四边形，再说明它与一般的四边形的差别在于两组对边分别平行。

　　②注意形成概念要符合儿童的认知特点。由于数学概念都是抽象的，一般要按照如下的认知顺序进行教学：动作、感知→表象→概念、符号。如教学数目3，先出数量是3的各种实物图（可让学生自己摆），然后出点子图，最后出数字“3”。教学质数和合数，可以先引导学生对20以内数的约数的多少进行分析，找出它们的特点，然后进行分类，把2、3、5、7、11、13、17、19归为一类，把4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20归为另一类，最后概括出质数和合数的概念。

　　③注意概念的具体化。概念的形成是把具体事物进行抽象化的过程，形成概念以后还要回到具体化，以利于学生正确理解并加深理解概念的意义。例如教学乘法的含义后，给出一个乘法算式，让学生用小棒摆出它表示的是几个几。教学分数的意义后，让学生举实例说明它的含义。

　　④注意概念间的联系和区别。这对于加深学生对概念的理解有重要的作用。

　　了解概念的联系也就是了解概念间的关系。概念间的关系一般有以下几种。

　　从属关系：如四边形、平行四边形和长方形的从属关系可以用下图表示。

　　同一关系：说明两个概念完全相同。如等边三角形和等角三角形，质数和素数。

　　矛盾关系：如加法和减法，正比例和反比例。

　　并列关系：如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，奇数和偶数。

　　交叉关系：如等腰三角形和直角三角形，可以用下图表示。

　　了解概念间的区别，就是要精确地掌握概念的内涵，弄清各概念的本质特征有什么不同。如长方形的周长和面积，要通过操作和直观使学生弄清楚各指长方形的哪一部分，用的计量单位和计算方法各有什么不同。

　　对于一些有联系的概念，到适当时候可以引导学生把所学的概念纳入概念系统中去，使知识系统化。例如，整数四则运算通过下表可把知识系统化。

　　⑤重视概念的应用和巩固。牢固地掌握一个概念，必须是能识别和应用它，理解概念的意义，而不是一字不差地背出概念的定义。

　　为了使学生识别和理解概念，可以出现如下的练习，让学生判断是否正确。

　　最小的自然数是0。（ ）

　　角的两边越长，角就越大。（ ）

　　为了使学生学会应用概念，可以出现如下的练习。

　　用加法的意义说明下面的应用题为什么用加法算：

　　“小明有15张邮票，小强比小明多3张，小强有多少张邮票？”

　　能整除120的质数有_____。

　　2.培养初步的判断能力。

　　判断是对事物具有某种特征或属性的肯定或否定的思考。例如，“自然数和0都是整数”，“含有质因数3的数不能化成有限小数”，都是判断。很明显，判断是用语句来表达的。而语句是由词联结成的，因此判断是由概念联结成的。也可以说，判断是反映概念间的联系的形式，它反映一个概念是不是包含于另一个概念之中。例如，“减法是加法的逆运算”这个判断，它首先说明减法是一种运算

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　　小学数学中有关概念的定义，法则，定律和公式等一般都用判断形式来表示。

　　（1）判断的分类。

　　①简单判断：指一个判断中不包含其他的判断。根据事物的数量、各种性质以及不同的关系，简单判断可以分成很多种。这里结合小学数学举出常见的几种。

　　按照肯定或否定某一种性质来分，有：

　　肯定判断：如，能被2整除的数都是偶数。

　　否定判断：如，0不是自然数；分母含有2、5以外的质因数的分数，不能化成有限小数。

　　按照事物的数量来分，有：

　　单称判断：判断中只关系到一个事物。如，1不是质数，也不是合数。

　　特称判断：判断中关系到某些事物。如，有些质数是奇数。

　　全称判断：判断中关系到某一类事物的全部。如，任意三角形的内角和是180°。

　　按照判断中所确定的事物与事物间的关系来分，有：

　　对称性的：如，3加2等于5；1米等于100厘米。

　　非对称性的：如，5大于3。

　　传递性的：如，小明比小华高，小华比小林高，小明比小林高。

　　②复合判断：它是由几个简单判断结合而成的。常见的有：

　　联言判断：它是断定几个事物情况同时存在的判断。如，3和5都是质数；15既是3的倍数，又是5的倍数。

　　选言判断：它是断定几个可能的事物情况至少有一个存在的判断。如，互质的两个数，或者一个是质数一个是合数，或者两个都是质数，或者两个都是合数。

　　假言判断：它断定的是在某一条件下事物才具有某种属性。如，如果一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；（如果）小数的小数点向右移动一位，小数就扩大10倍。

　　（2）小学生判断能力的发展。

　　小学生的判断能力也是逐步发展的。低年级学生已能作一些简单判断，但是大多属于感知形式的直接判断。例如，教师出示5朵红花，学生点数后说出“红花是5朵”。在学生所进行的简单判断中，很多是对事物是否具有某种属性的直接断定。如“红花是5朵”，“正方形的四条边是相等的”。还有大量的判断是反映事物间的关系的。如“5比3大”，“红花比黄花少3朵”，“羊的头数是牛的2倍”，“3加2等于5”，“1米等于100厘米”等。这些判断，在教学的影响下，学生一般都能掌握。有时还用到一些稍复杂的判断。例如，“在没有括号的算式里，有乘法和加、减法，要先算乘法。这实际上是一个假言判断，只是在法则中把“如果……那么……”给省略了。通过实际例子，低年级学生还是能够理解和运用的。进入中年级，学生的判断能力有了一定的发展。有些学生能够离开直观进行一些抽象的判断。例如，对“两个加数的和一定比每个加数大”，有43.9％能做出正确的判断。但有些比较难的问题，判断的正确率比较低。有些学生能对所做的判断提出根据，但仍是少数。例如，在出示x×3=24，让学生求未知数x时，大多数学生能做对，但只有9.6％的学生能说出根据什么用除法计算。中年级学生能理解和掌握比较容易的假言判断。在数学课上通过具体事例，多数学生能理解和掌握积的变化规律和商不变的规律。例如，“一个数和35相乘，积是7000，如果这个数缩小10倍，积变成（ ）。”正确率达76.7％。高年级学生的判断能力有较大的发展。多数学生能进行抽象的判断。例如，对“一个近似数是350，它可以表示的准确数里，最小的是351。”64.5％的学生能做出正确的判断。多数学生还能对做出的判断提出简单的论证或说明根据。例如，在解x×3=24时，68.7％的学生能回答出计算的根据。据心理学家研究，高年级学生还能论证一些比较复杂的或然判断，提出各种可能的原因，并从中确定正确的原因或主要原因。但是根据数学测试，当一道题有不同的判断时，学生能答出几个可能的判断的只占12.4％，大多数学生只做出一种判断。这可能与平时教学解题时只有一个正确答案有关。尽管如此，这些事例已能说明高年级学生具有一定的逻辑判断能力。

　　（3）培养学生初步的判断能力要注意的几点。

　　①要正确理解数学知识中的每个判断，能从逻辑角度弄清它属于哪类判断，挖掘数学知识中的逻辑因素，才便于教学中有意识地引导学生做出合乎逻辑的判断。例如，三角形的内角和是180°，这是一个全称判断，因此教学时要对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形分别加以考察、分析，然后再做结论。教学后还要问一问学生，为什么能做出结论说“任意三角形的内角和是180°”呢？

　　②要根据学生的年龄特点，通过具体例子引导学生做出正确的判断。在低年级还要多运用操作、直观，在高年级对一般的判断可以脱离直观，但对比较抽象又难理解的判断，如有关分数大小的比较，还要适当运用直观。

　　③要使学生正确理解判断中所确定的量，事物间的关系以及所具有的属性的特点。首先要分清一个判断是单称的、特称的或是全称的。其次要分清判断中概念间的关系。有些可通过画图来说明（如下图）。

　　对于假言判断，要使学生弄清条件。如小数点移位引起小数大小的变化，要弄清什么条件下小数的大小发生变化，怎样变；什么条件下小数的大小不变（即小数的基本性质）。

　　④设计好判断的练习。这是培养学生判断能力的重要途径。做一些判断是否正确的题目很有好处。例如，

　　所有的偶数都是合数。（ ）

　　分数都比1小。（ ）

　　互质的两个数一定都是质数。（ ）

　　对于学生的回答，要注意引导学生检查和纠正其判断中的逻辑错误。也可进行这样的练习。例如，

　　任意两个等底等高的三角形可以拼成一个平行四边形。（“任意”两字应改为“有些”，即把全称判断改成特称判断。）

　　不同一。）

　　不能化成有限小数？

　　3.培养初步的推理能力。

　　推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。推理所依据的判断叫做前提，推出的新判断叫做结论。

　　人们在实践中常常运用逻辑推理的方法获得新知识。推理在学习数学知识方面起着极其重要的作用。大部分数学知识是由一些基本判断推导出来的。

　　根据前提的数目来分，推理有两种：

　　直接推理：是以一个判断作前提的推理。例如，由“5比3大”推出“3比5小”。

　　有些直接推理也并不是很容易掌握的。例如，由“自然数和0都是整数”推出“整数就是自然数和0”，就错了。

　　间接推理：是有两个或两个以上的判断作前提的推理。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除；

　　375各位上的数的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　　（1）几种常用的间接推理。

　　①归纳推理：它是从特殊判断到一般判断的推理。这种推理又分为完全归纳和不完全归纳两种。

　　完全归纳是根据某类事物的每一种特殊情况（即对所有情况都一一考察）做出一般结论。这在小学数学中是少见的。下面可以算作接近完全归纳的例子。例如，通过直观得出，

　　直角三角形的内角和是180°；

　　锐角三角形的内角和是180°；

　　钝角三角形的内角和是180°；

　　所以，任意三角形的内角和是180°。

　　不完全归纳是仅根据某类事物中的部分情况具有某种属性做出一般性结论。这在小学数学中有广泛的应用。例如，教学0的乘法、运算定律、分数的基本性质等，一般举几个例子，分别做出个别结论（即单称判断），然后做出一般结论（即全称判断）。

　　应用不完全归纳推理，有时根据不多的几个事实，会得出不正确的结论。例如，

　　3是质数，也是奇数；

　　7是质数，也是奇数；

　　11是质数，也是奇数；

　　所以，所有的质数都是奇数。（2是质数，却是偶数。）

　　因此使用不完全归纳推理必须十分谨慎，所举事实必须注意代表性，做出结论后要进一步加以验证。

　　②演绎推理：它是从一般判断到特殊判断的推理。演绎推理中最常用的是三段论形式。例如，

　　分数的分子、分母是互质数的是最简分数；（大前提）

　　可以看出，三段论是由3个判断组成的，前两个判断分别叫大前提和小前提，最后是结论。在大前提中提供了一般原理原则，在小前提中提供了一个特殊情况（即特殊判断）。三段论通常都是从大前提开始的。但在实际中也往往从小前提开始，然后再提出大前提。因此在思维时两个前提可以颠倒顺序。但必须分清哪个是大前提，哪个是小前提。

　　在小学数学中应用法则、公式、定律等解决具体问题时，都运用了演绎推理。但往往不是严格按照三段论形式，而采取了简略的推理形式。例如，

　　所以，375能被3整除。

　　（这里省略了大前提。）

　　另外，在说明算理或论证的时候，实际上是先说了结论，再补充前提。例如，

　　判断下面哪些数能被3整除：375，……

　　回答：375能被3整除。（这是结论。）

　　为什么？—因为375各位上的数的和能被3整除。（只说出小前提，省略了大前提。）

　　也可能答：因为各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除。（只说出大前提，省略了小前提。）

　　③类比推理：是根据两个事物在一系列属性上有相似之点，已知其中一个事物还有其他属性，由此做出另一个事物也具有同样的其他属性的结论。它的推理方式如下。

　　事物A具有属性 a、b、c、d；

　　所以，事物B也具有属性d。

　　可以看出，这是从特殊判断到特殊判断的推理。

　　类比推理在小学数学教学中也有一些应用。例如，

　　整数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐，从低位加起；

　　小数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐(就是小数点对齐）；

　　所以，小数加法也要从低位加起。

　　有关平面图形的许多判断通过类比推理可推到立体图形上去。例如，

　　长方形的面积等于相邻两条边的乘积；长方体的体积等于相邻三条棱的乘积。

　　圆可以分成一些相等的扇形，再拼成一个近似的长方形，从而导出圆面积计算公式；直圆柱的两底面是半径相等的圆，因此可以把圆柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切开，再拼成一个近似的长方体，从而导出圆柱体体积计算公式。

　　必须注意，用类比推理所得的结论不总是真实的。因为进行类比推理的两个事物虽有许多相似之点，但仍有一些差异，如果遇到有差异的属性，或者在第二个事物中根本没有这种属性，而仍使用类比推理，就会出现错误。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数，能被3整除；

　　9是3的3倍，各位上的数的和能被9整除的数，能被9整除；

　　27是9的3倍，各位上的数的和能被27整除的数，却不一定能被27整除。（这里的27是两位数）

　　由于类比推理所得的结论有或然性，它不能代替科学论证，所以在推出结论后，需要进一步论证或在实践中检验。

　　（2）小学生推理能力的发展。

　　小学生的推理能力，是随着年龄的增长以及教学的影响逐步发展起来的。低年级学生首先掌握的是简单的直接推理，如由“5比3大”直接推出“3比5小”。遇到带有逆思考性质的推理，则有些学生感到困难。例如，一年级算14-9，要求用加法想出得数，有些中、下学生开始感到困难，要通过操作、直观和多次练习才能逐步掌握。低年级学生也开始初步发展了间接推理，当然只限于简单易懂的，而且要借助直观或熟悉的事例。例如，配合直观出示6+0=6，8+0=8，0+5=5……学生在教师的引导下能归纳出一个数加上0还得原来的数。又如，加法的交换性质，一年级结合直观进行归纳也不困难。实验表明，低年级学生由几个例子归纳出一条法则比较容易，如果要归纳两条或更多条法则就比较困难。低年级学生的演绎推理能力也获得初步发展，因为在数学课上经常要把归纳出的法则用到具体的计算中去。但是学生的演绎推理往往不是严格地按照三段论的形式进行的。例如计算8+9，学生知道用9+8来计算，但不会都想到调换两个加数的位置和不变这个大前提。往往经过教师提问，学生才把大前提补上。低年级解两步应用题时，开始学习多步的演绎推理，多数感到困难，经过较长时间的训练，能掌握的也还达不到半数。但是列式解答比较容易的两步应用题，一般没有困难。这也说明，学习解答两步应用题的能力和口头分析两步应用题的能力不是同步发展的。进入中年级，学生的推理能力有了一定的发展。多数学生能进行比较容易的间接推理。他们能结合直观进行归纳推理，但进行抽象的归纳推理还感困难。学生单独归纳一般规律也比较困难，而且表述时也往往不够确切。例如，加法结合律，学生还不善于从几个特殊判断上升到一般判断，需要教师加以引导。中年级学生大都能进行简单的演绎推理，但是在数学课上把已学的法则运用到个别问题中去时，往往是不自觉的。在解答两三步计算的应用题时，学生口头分析、推理的能力比低年级有较大的提高。中年级学生的类比推理能力也有了一些发展。据研究，具有正确类推能力的学生约占35％，有很多新知识可以在已学的基础上类推出来，但往往需要加以引导。总的来看学生独立类推的能力还较差。到了高年级，学生的推理能力有较大发展。据心理学家研究，12岁学生归纳推理的正确率比10岁的有较大增加。从数学教学来看，多数学生能从几个具体例子归纳出一般结论，但是能从特殊结论合乎逻辑地逐步上升到一般结论，仍占少数。高年级学生的演绎推理也比中年级有了较大发展。例如给出一个未学过的法则，让学生按照所给的法则对某个式子进行运算。四年级学生能做对的只有13.2％，五年级做对的达45.9％，六年级则达58.3％。学生综合运用归纳和演绎推理的能力还较差。从测试情况看，问题中所反映的规律是比较简单明显的，学生容易推出，规律比较复杂和不明显的，则感到困难。例如，给出一列数：7，8，13，15，20，23，（），（），要求找出数的排列规律并在括号里填数，做对的只有16.5％。高年级学生的类比推理也有进一步发展。据心理学家研究，高年级能正确类推的达59％。在高年级数学教学中较多运用类比推理，不仅为加快理解和掌握数学知识提供了有利条件，也促进了学生类比推理的发展。但是学生也容易出现类比推理的错误。例如，在低年级学过甲比乙多20，反过来就推出乙比甲少20。到高年级学过分数，多数学生易把这种方法错误地类推到分数中去，即如果甲比乙多20％，反过来就推出乙比甲少20％。

　　（3）培养学生初步的推理能力要注意的几点。

　　①在引导学生进行归纳推理时，注意要举几个事例，避免只举一个事例就做出一般结论。同时要引导学生对每一事例的属性或特征做出正确的特殊判断，最后再上升到一般判断。例如，教学加法交换律，先就每个等式做出特殊判断：

　　3+5=5+3 3和5这两个加数调换位置，和不变；

　　10+8=8+10 10和8这两个加数调换位置，和不变；

　　129+46=46+129 129和46这两个加数调换位置，和不变；

　　所以，加法中两个加数调换位置，和不变。

　　另外，由于不完全归纳所得的结论不一定真实，在这之后还要引导学生把一般结论应用于个别例子中加以检验。

　　②为了培养学生的初步推理能力，每教一个新的法则、性质、公式后，再应用于具体情况时，要注意让学生说根据。在这时并不要求学生严格按照三段论的形式来回答，但是当学生回答时缺少大前提，教师要通过提问，使学生明确补上所缺少的大前提。

　　③应用演绎推理必须遵循一定的规则，否则会出现逻辑错误。例如，

　　凡9的倍数都是3的倍数；

　　所以，20不是3的倍数。

　　这个例子的结论是对的，但推理不正确。因为有一条规则是大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的。而这里的小前提是否定的。因此要真正掌握好，还需要深入研究一些逻辑规则。

　　④注意综合运用归纳、演绎推理。一方面，在归纳出新的法则、公式之后要应用于具体情况中去；另一方面，

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　　（a）先找出数的排列规律，再在（ ）里填适当的数。

　　15 16 18 19 21 20（ ）（ ）

　　⑤在解答复合应用题的时候，充分注意培养学生推理能力。解答应用题时，既应用了分析、综合，又应用了判断、推理。如解答两步应用题时实际上是应用了多步的演绎推理。例如，“一个食堂原有煤200吨，用去3/5，还剩多少吨？”推理的步骤如下：

　　要求还剩多少吨，必须知道原有的吨数和用去的吨数；

　　所以，必须先求出用去的吨数。

　　要求用去的吨数，必须知道原有的吨数和用去的占原有的几分之几；

　　所以，可以求出用去的吨数。

　　根据分数乘法的意义，可以求一个数的几分之几；

　　……

　　当然只在开始时这样一步一步地推理，以后可以适当简缩推理过程。

　　⑥使用类比推理时，要注意学生是否有乱用类比推理的错误，发现后要及时纠正。例如，

　　错把加法的分别对位计算的方法类推到乘法。（开始学两位数乘法，学生容易出现这样的错误。）

　　《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》除了强调发展学生初步的逻辑思维能力外，还注意培养思维的敏捷性和灵活性。这属于培养思维品质问题，也称智慧品质，有人也称这些为科学思维素质。心理学关于思维品质的研究是从50年代才开始的。国内外一些心理学家认为，“在构成人的特殊的、个体的各种个性品质中，智慧品质起着重要的作用”。“思维品质的实质，是人的思维能力的差异的表现，亦即智力差异的表现。”由此看出，思维品质是思维能力中不可缺少的组成部分。在各科教学中都要始终注意在发展学生逻辑思维的同时，培养学生的思维品质。近来我国心理、教育工作者也开始注意这方面的研究。

　　关于思维品质包括哪些内容，还没有一致的看法。一般来说包括思维的独立性、敏捷性、灵活性、创造性，还有人提出思维的深刻性、批判性等。结合小学数学的学科特点，我认为主要是培养思维的敏捷性和灵活性，而这两者与思维的创造性又有密切的联系。

　　（一）小学生思维品质的发展

　　低年级学生的思维品质已经有了一些发展。其特点是：1.思维的自觉性还很差。由于低年级学生的逻辑思维刚刚开始发展，一方面还不会思考问题，另一方面还不能意识到自己的思维过程。往往学生做完一道题，答不出他是怎样想的。至于自觉地检查、调整或论证自己的思维过程就更差。但是通过有意识地培养，可以逐步提高学生思维的自觉性。2.学生间的思维速度差异比较大。一般思维快的和思维慢的能够相差几倍。但是在正确的教育下，特别是针对学生的不同特点，及时地有区别地采取一些措施，可以逐步提高学生思维的敏捷性。3.思维的灵活性一般都比较差，思维的惰性比较大。这与儿童的生理发展，特别是与脑的成熟的程度有关。另一方面，由于个体发展的差异，以及环境教育的影响，学生之间也存在着一定的差异。例如，对一年级出了这样一道题，“5个相同加数的和是20，这个相同加数是几？”由于学生没学过除法，只能根据乘法的含义运用口诀想出答案。较好的班级做对的可达70％，而较差的班级做对的仅有30％。又例如，在二年级教过一位数除多位数商中间有0的简便算法，有极少数学生一下掌握不了，宁愿照前边学过的方法一步不漏地去除。

　　中年级学生的思维品质有所发展。具体表现在：1.在教学的影响下，学生思维的自觉性有提高。有些学生明显地表现出对数学的兴趣，喜欢做一些稍费思考的题目，有些学生还喜欢看数学课外读物。2.学生思维的敏捷性和灵活性有所发展。在数学课上学生能够选用简便的方法进行计算，能用不同的方法解答应用题。但是学生之间往往有很大差异。实验说明，如果教学得法，差异还是可以缩小的。3.学生思维的创造性也有一些发展。例如，用小棒连续摆成6个正方形（不出图），要求学生列式计算小棒的根数。结果四年级有21％的学生列出各种综合算式（连加除外），有7.9％的学生能在前面计算的基础上概括出一般的计算公式，还有少数学生做出初步概括，但表述不完善或使用述语不确切。这表明已有少数学生在探究能力和思维的创造性方面有一定的发展。

　　高年级学生的思维品质进一步发展，特别是思维的敏捷性和灵活性有较大的发展。在教学的影响下，学生的计算速度有进一步提高，灵活运用简便算法的能力有所增强；对一道题想出不同解法的能力也有发展。据心理学家研究，高年级学生一般都能用两种方法解答一道应用题，能用三种方法解答的学生可达80％以上。教学实践表明，有些分数应用题，一般学生选用两种方法解答不大困难；但用三种方法解答，中、差生感到困难。学生思维的创造性比中年级也有较大发展。据测试，上述用小棒摆正方形的问题，能概括出一般计算公式的达30.2％，其中有些学生还能用字母公式表示。这表明，一部分学生在探究能力和思维的创造性方面有较好的发展。

　　（二）对培养学生思维品质的几点建议

　　1.培养思维的敏捷性。

　　培养思维敏捷很重要。要提高民族素质，其中重要的一条是人人讲求工作效率，对临时遇到的问题能及时进行思考，正确判断，迅速做出结论或决策。思维敏捷要与思维轻率严格区别开来。思维敏捷不仅在速度上要求快，而且注意考虑周密。

　　从一年级就要注意思维敏捷的培养，但是不能要求过高、过急。教学时首先要注意留给学生思考的时间，引导学生去想，逐步要求学生注意很快地想出问题解决的方法，并对想得快的又想得对的给以鼓励。同时注意防止学生单纯地为了求快，思考轻率而不够周密。计算要在正确的基础上适当提出速度要求，注意适当安排限定时间的练习。有些计算或应用题的分析，要在适当时候引导学生简缩思维。例如9+3，经过一些练习和掌握口算步骤以后，引导学生想，“9加1是10，还有2，得12”。中年级以后要注意适当教一些简便算法。如，被乘数、乘数中间、末尾有0的乘法，要启发学生想有什么简便算法，并在计算中自觉地运用。

　　2.培养思维的灵活性。

　　思维的灵活性的特点主要表现在，善于从不同角度、不同方向来思考问题，能用多种方法解决问题；能根据具体情况，灵活地运用知识来处理问题。

　　从低年级起就要注意培养学生思维的灵活性。但是开始不能要求很高，要随着年级的增长逐步提高要求。例如，在低年级，某些计算可在教师的指导下想出不同的计算方法，中年级以后就鼓励学生自己想出不同的计算方法，而且要找出简便的算法。要培养思维的灵活性，首先要加强算理教学，使学生切实理解和掌握规律性知识和一般计算方法，通过练习逐步巩固并加深理解，避免死记硬背。学生切实掌握了，就为灵活运用奠定了基础。教师在教学计算步骤、解题过程以及书写格式等做出一些规定是必要的，但在一定条件下要允许学生灵活，不宜统得过死。例如，中年级学过乘法交换律以后，在算式中就要允许被乘数、乘数交换位置书写。分数混合运算只要求适当保留运算的过程，不必强调把每一步计算都完整地写出来。在练习中要注意适当出现一些概念或习题的变式，还要安排一些逆思考的题目，以利于培养思维的灵活性。例如，低年级出加法应用题，要避免每问都出现“一共”二字。各年级都要注意变换叙述方式。例如，“桃比梨少40千克，梨和桃的重量比是5∶4，求梨、桃各有多少千克。”通过这题把比和分数联系起来，虽然出现比的形式，但仍可用分数来计算，从而培养学生思维的灵活性。此外，适当安排一些有多个答案的开放型的题目，也有助于培养思维的灵活性。例如，“3□4，如果这个数能被6整除，十位上可以填几？”

　　3.培养思维的创造性。

　　它与创造思维有联系又有区别。创造思维强调的是思维过程，或把它看作一种能力。而思维的创造性强调把它作为一种思维品质。作为品质来说，它的特点是假设、方案、结论独特新颖，包含新的因素。具有思维创造性品质的不仅限于少数创造发明者，也可以是小学生。小学生的独特新颖的解法也同样具有创造性。心理学家克鲁捷茨基认为，学生的创造性虽然没有客观的价值，但对学生自己说，从主观上看是新的，研究过程是创造性的。

　　发展学生思维的创造性，首先要给学生探索发现的机会。从低年级就要注意这一点。例如，让学生看20以内进位加法表，看看它的排列有什么规律；教学口算时，让学生想出不同的口算方法，等等。随着年级的增高，可以适当增加这方面的内容。例如，中年级探索积、商的变化规律，高年级探索小数点移动位置引起小数大小的变化规律等。除了教学新知识外，还要适当安排一些练习题。要适当加强发散思维的练习。从低年级起就要安排一些题目，要求学生用不同的方法计算或解答。随着年级的增高，还要引导学生从不同的角度，运用不同的知识来解同一个问题。例如，“豆腐坊用50千克黄豆做200千克豆腐，照这样计算，125千克黄豆可以做多少千克豆腐？”开始只要求用整数计算，以后可以要求分别用小数或分数计算，还可要求用比例知识来解。在较高年级，适当发展学生的直觉思维，对于培养学生思维的创造性有一定好处。直觉思维是在对所研究的问题作整体的了解，应用自己的经验，一下子做出直接的判断，找出解决问题的方法。进行直觉思维时，人们意识不到赖以求得答案的过程，缺少清晰的确定的步骤。但是由于对有关的基础知识及其结构的了解，使得思维产生了飞跃，迅速地越过某些个别细节和步骤。因此这种思维有时在一定程度上具有创造件成分。例如，

　　求上面两个长方形的面积一共是多少？这道题一般列式为：6×8+4×6=72（平方米）。但是有的学生经过总体观察，很快答出72平方米。因为他们不仅发现两个长方形有一边同样长，而且发现大长方形的另一边是小长方形的另一边的2倍，从而很快想到它们的面积和应是小长方形面积的3倍。当然进行这样的练习不一定作为共同的基本要求。

　　最后简单谈谈在小学数学中培养学生思维能力应注意的几个问题，也可以说是应遵循的几个原则。

　　（一）培养学生思维能力要与数学知识的教学紧密结合

　　这一点新大纲已明确指出，“学生初步的逻辑思维能力的发展，……要有意识地结合教学内容进行。”因为数学基础知识的教学与思维能力的培养是相辅相成的。基础知识为培养思维能力提供富有逻辑性的素材，反过来培养了思维能力又为很好地掌握数学基础知识创造有利的条件。把两者分离开来教学，无论对学习数学基础知识或培养思维能力都不会有好的效果。为此，备课时要认真研究教材，弄清数学知识本身的科学性、系统性和逻辑性，分析教材中含有哪些培养学生思维能力的因素。制订一节课的教学计划时，不仅要明确数学知识方面的教学目的要求，而且要明确在培养思维能力上侧重哪些方面，达到什么要求，并且力求在教案中有所体现。教学时要考虑选定什么样的方法，既能做到使学生较好地理解和掌握数学知识，又有助于激发学生思考，培养学生的思维能力。

　　（二）要把培养学生思维能力贯穿在各年级数学教学的始终

　　这一点也是新大纲中明确指出的，“要把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。”小学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维逐渐过渡的阶段，思维能力需要一个长期的逐步培养和训练的过程，因此就要求数学教学适应儿童年龄发展的特点，有计划有步骤地培养学生的思维能力，并且贯穿在小学数学教学的全过程。为此，每个年级，每节课，每个教学环节都要考虑在学习数学基础知识的同时，如何发展学生的思维能力。如果低年级忽视思维能力的培养，就会给中、高年级增加教学的困难；反过来，如果低、中年级重视发展思维能力，到高年级有所忽视，也会给进一步发展思维造成不利的影响。为了很好地贯彻这一条原则，就要很好地研究各年级学生的思维发展特点，适应学生的年龄特点，紧密结合知识内容，提出适当的发展思维能力的要求。例如，同样是培养分析能力，低年级就要多结合操作、直观，引导学生分析；高年级则要逐步离开直观，着重培养学生独立进行抽象分析的能力，只在必要的时候才结合直观来进行具体分析。

　　（三）适应小学生心理特点，注意把操作、思维和言语表达结合起来

　　这里有两层意思。一是适应小学生特点，注意把思维与操作、直观结合起来。二是适应小学生特点，把思维与言语表达结合起来。关于第一点，是由小学生的思维特点决定的。低年级学生的思维特点仍以具体形象思维为主，中、高年级学生的思维虽然逐步向抽象逻辑思维过渡，但是在许多情况下，特别是遇到较抽象

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　　（四）既重视思维过程，又重视思维结果

　　传统的教学只重视思维的结果，忽视思维的过程。现代教学论则十分重视思维的过程，这样有利于发展学生的思维能力。为此新大纲也明确提出“要重视学生获取知识的思维过程。”其目的在于纠正过去只重视思维的结果的片面做法。但是反过来也不能因此只重视思维过程，而忽视思维的结果。特别是数学，计算或解答是否正确还是很重要的。为了加强对思维过程的重视，首先要加强算理的教学，说明一种算法或一个公式的来源。解应用题要重视分析数量关系。做练习时要多让学生说明自己是怎样想的，必要的时候要说出论据，而不是简单地对一下得数。学生在练习中出现错误，要引导他们找出错误的原因，检查在分析、推理方面存在什么问题。低年级学生还要注意结合操作、直观来说明算理、分析数量关系，使学生的思维过程具体形象化，更便于理解、掌握和检查。还要注意逐步培养学生认真听别人叙述的思维过程，并能评价别人的思维过程是否正确、合理，从而提高表达思维过程的能力。

　　（五）加强教师的示范和指导

　　培养学生的思维能力，教师加强示范和指导具有十分重要的作用。

　　加强教师的示范，首先要求教师在讲授数学知识时注意正确运用逻辑方法，揭示每一逻辑思维过程。例如，在教学加法结合律时运用了不完全归纳推理，教师的整个讲述过程，要符合不完全归纳推理的顺序和思维过程，这样就为学生的思维树立了良好的范例，对学生的思维起了潜移默化的作用。其次在练习时教师还要继续给学生示范，引导学生有顺序地合乎逻辑地思考。例如，演绎推理如何按照三段论的形式来思考，以后如何简缩思维，还是比较难的，就需要教师做出示范，使学生便于模仿。

　　加强教师的指导，首先要求教师有计划有步骤地设计教学，每次明确在逻辑思维方面的要求和训练步骤。其次在练习中注意给以必要检查和指导。要了解学生的思维过程，思考的方法是否符合逻辑，有没有逻辑的错误，在适当时候要引导学生共同分析、订正。例如，学过质数和质因数以后，有的学生把两个概念弄混，这时有必要从本质特质上分清两个概念的联系和区别。特别要明确不能孤立地说某个数是质因数，必须说某个数是×的质因数。

　　最后，教师要做到加强示范和指导，最根本的是要提高自己的逻辑学和心理学水平，不断研究和总结发展学生思维能力的经验。这样才能切实完成新大纲规定的有关这方面的教学任务。