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学龄前儿童数概念的发展
近年来，无论在国内或国外，由于社会生产和科学技术的迅速发展，需要加速培养人才，人们都越来越重视儿童的早期数学教育。目前对学龄前儿童进行数学教育有各种做法，究竟哪种比较好，是个值得深入研究的问题。其中很重要的一点是必须先了解幼儿数学初步概念形成和发展的特点，否则盲目地进行教育，不但收不到良好的效果，反而会妨碍幼儿身心的发展。本文根据一些调查研究材料就幼儿数概念发展的特点作一概述，并对如何发展幼儿的数概念提几点看法。数（这里指自然数，下同）概念是数学中最基础的知识，也是幼儿开始积累数学的感性经验首先遇到的问题之一。掌握数概念是一个比较复杂的过程，不仅要会数数，还要理解数的含义，知道数的顺序和大小，理解数的组成和数的守恒，掌握数的读写法。因为幼儿年龄小，身心都在发育中，要在不断积累感性经验的基础上逐步形成数概念，所以要经历一个较长期的过程。下面着重从四个方面进行一些分析研究。
一 计 数
计数活动的实质是在所数的物体集合的元素与自然数列中从1起各数之间建立一一对应，而把最后一个元素所对应的那个数作为计数的结果。有些幼儿虽然很早就能按顺序说出数词一、二、三……，但不能同所数的物体一一对应，或者不能确定数得的结果，这样不能认为具有计数的能力。幼儿的计数能力是逐步发展起来的。研究表明，一般遵循以下的发展顺序：先口头数，然后点物数，再到说出计数的结果。
最初，幼儿没有数量的观念，对物体集合的感知模糊不清。以后逐渐能区别数量的多少。例如，给一岁多的幼儿每只手里放一块饼干，如果拿走一块，他会不满意。两岁左右，在成人的教育影响下，逐步学会个别的数词，如“一”、“二”，但往往不能正确地用以表示物体的数量。例如，当问到物体“有多少”时，有些幼儿往往都用“两个”来回答。两岁至三岁的城市幼儿，有一些开始能数几个数，有少数能数到10以上，但也有些（约1/3）完全不会数。三岁多的幼儿，多数能数到10。四岁多的幼儿，多数能数20以内的数，其中少数能数到100。五岁多的幼儿，多数能数30以上的数，其中约半数能数到100。六岁多的幼儿，大多数能数到100。农村的幼儿，由于环境和教育条件差一些，口头数数的能力发展迟缓一些，但是到六岁以后大多数也能数20以内的数，即使是没有入过学前班的，也有25％的幼儿能数到100。
幼儿在口头数数的发展过程中有以下几个特点：1.四岁以下的幼儿掌握一些数词，但是往往分不清它们的先后顺序，因而常出现跳数、乱数的现象，返回重数的情况也较多。2.四、五岁的幼儿，数到几十九再接下去数困难较多，出现停顿、跳数、返回重数等现象。3.年龄较小的幼儿只会从1数起，五岁以上的幼儿开始有些能从中间任意一个数起接着数。这表明幼儿随着年龄的增长，逐渐地在数词之间建立起较牢固的联系，并且对计数规律有了一定的理解。
幼儿虽然很早能口头数一些数，但是大部分属于“顺口溜”的性质，很多幼儿不能把数词同所数的物体一一对应起来。幼儿从口头数一些数发展到初步能够点物数是一个很大的进步。因为点物数需要多种分析器参加，并且协同动作。不仅语言运动分析器参加活动，运动分析器和视觉分析器也参加活动，正确地说出数词的同时，手依次指点着一个个物体，眼同时注视着一个个物体，并且监视手指的运动。幼儿（特别是五岁以下）的大脑皮质抑制机能的发展还比较差，口手眼协调动作还不灵活，再加上口头数数还不熟悉，在点物数时常常顾此失彼，因而出现漏数、重复数等不对应的情况。据调查，五岁以下的幼儿，点物数的能力大都落后于口头数的能力。两岁多的幼儿，有少一半能点物数三五个数，有25％只能点数到2，其余的完全不会点数。三岁多的幼儿，大都能点物数5以内的数，其中有些能点数到10。四岁多的幼儿点数时不对应的情况明显减少，大都能点数10以内的数，有些幼儿点数的数目已接近口头数的数目。五岁多的幼儿，大多数能点物数，点数的数目与口头数的数目范围基本趋于一致。六岁多的幼儿（包括农村的），基本上都具有点物数20以内数的能力。
幼儿说出计数的结果比点物数的能力的发展更迟缓一些。因为这需要在掌握点物数的基础上理解数到最后一个物体，它所对应的数词就表示这一组物体的总数，也就是说在数词与物体的数量之间建立起联系。由于幼儿的理解和概括能力较差，需要一个较长时间的反复实践才能逐步掌握。据调查，两岁多的幼儿，有些虽能点物数几个数，但其中有40％左右不能说出计数的结果，能说出计数结果的幼儿也大都小于点物数的数目范围，最多不超过3。但是也有25％的幼儿，完全不会点物数，却能说出两个或三个物体的总数，这是他们长期直接感知的结果。三岁多的幼儿，仍有20％左右会点物数几个数但不会说出计数的结果；1/3的幼儿只能说出两个或三个物体的总数；有些幼儿能说出五、六个物体的总数，但是也明显落后于他们的点物数的能力。三岁多的幼儿，大多还不能按指定的数（5以内）取物，有些幼儿所取物体的数量是对的，但是当问到所取的总数是多少时，又说错了。四岁多的幼儿，大多数能说出数量在10以内的物体的总数，而且能按指定的数（10以内）取物；约半数的幼儿说出计数结果的数目范围与点物数的数目范围大体趋于一致。这表明幼儿初步理解了数的基数含义。五六岁的幼儿，不仅计数的范围逐步扩大，计数的准确性也不断提高，基本上都能按指定的数正确地取出物体。计数的技巧也在发展着，表现在从逐一计数发展到按群计数。五岁多的幼儿有极少数已能两个两个地数，六岁多的幼儿能两个两个地数的达40%左右，极少数还能五个五个地数。计数时也逐步摆脱了手触摸物体。六岁多的幼儿中，有1/3能直接用眼看着数，以眼的活动代替了手的活动。
二 数的序列
掌握数的序列结构，是掌握数概念的一个重要组成部分。其中包括知道自然数的顺序，每个数在自然数列中的位置，数与数间的顺序关系和大小比较，以及序数的含义。
幼儿在学习计数的过程中，已经接触到数的序列，也逐渐认识一些自然数的顺序。但是从掌握数的序列结构来说，还是很初步的。特别是在开始学习计数时，往往是把一个数词与另一个数词机械地建立起联系，并不明白数的顺序关系。随着比较实物的数量的多少、给实物或数目排序等活动，逐渐掌握数的顺序关系。
幼儿比较数的大小能力比计数能力发展要晚一些。三岁多的幼儿，多数能从1数到10，但是若问7和9哪个多，大都不知道；四岁多的幼儿能答对的也不到一半，五岁至五岁半的幼儿也只有50% 能答对。有的幼儿提出要求说，“你得拿出（东西）来让我数”。由此可见，较小的幼儿，只能看着实物依靠数数来比较数的大小，还没有建立起抽象数的顺序与数的大小的明确关系。五岁半以后，一般幼儿都能较顺利地比较10以内数的大小。
给三个以上的实物或数字卡片排序的能力，也反映幼儿掌握自然数的顺序和大小的水平。幼儿在这方面的能力发展得更晚一些。因为在排序时不仅要熟悉数的顺序，还要能比较每两个数的大小，而且能协调几个数目间的关系，每次选择的一个数要比前面的一个数大而比后面的一个数小，这对幼儿来说是比较难的。调查表明，四岁以下的幼儿大都没有排序的能力。四五岁的幼儿，排序的能力明显提高，但是也有少一半不会做。例如，能给画着l—5只小猫的画片排序的达58.3% ，能给三张10以内的点子图排序的约75% 。给数字卡片排序的成绩稍好一些。这阶段的幼儿在排序时大多采取尝试错误的方法。到六岁以后，一般都能按照数的顺序比较顺利地排出20以内的数的顺序，显示大多数幼儿掌握了20以内数的顺序关系。
掌握数的序列的另一重要方面是理解数的序数含义。前面所讲的计数还都是从数的基数含义方面来理解的，就是懂得用数可以表示物体集合中元素的个数。而理解数的序数含义，却是要懂得用数可以表示集合中某一元素在序列中的位置。幼儿理解和掌握数的序数含义，一般比较晚。因为这需要幼儿先掌握开头几个数的顺序，能够一一对应地点数物体，还要有给物体或数目排序的经验。据研究，幼儿最初分不清基数与序数，两者常发生混淆。例如，当问到“这是第几个”时，两三岁的幼儿常不会回答，或者用基数回答“三个”“五个”。要求他们按指定的序数取物更困难些，大多数拿第一个或最后一个，有的还随便拿一个或两个。四岁多的幼儿，序数观念有了较快的发展，多数能指出5个以内的物体的排列顺序；五六岁的幼儿，大都能理解10个以内的物体的排列顺序，但仍有少数对基数与序数发生混淆。
三 数的组成
掌握数的组成，从本质上说是从整体与部分的关系上来掌握数的结构。前面讲到计数，只是把物体集合看作一个整体，并不涉及它能划分成几个部分，以及几个部分间的关系。数的组成揭示了一个数可以分成几个数，反过来几个数可以组成一个数。这样使幼儿从整体与部分的关系上理解数与数之间的关系，不仅加深对数概念的理解，思维能力也得到发展。
幼儿对数的组成的理解比较晚，也经历了一个较长的过程。据研究，最初给幼儿几个物体，幼儿看到的只是一个个单个的物体，还不能把它们看作一个整体。在成人的教育影响下，幼儿逐渐能把它们看作一个整体，数出它们的个数。在点数物体的过程中，由开始知道一个数是由若干个一组成的，逐渐发展到知道一个数可以由几个相同的或不相同的数组成。五岁以下的幼儿对数的组成理解的很少。如给幼儿3个木块，让他摆成两堆，看几个和几个合起来是3个，能答对的不到10% ；五岁多的幼儿能答对的也不过25% ，另有1/3的幼儿能答对一部分。他们往往看不出部分与整体的关系，如答“3和3合起来”，“2合起来3”，“3个合在一起是3个”等。六岁多的幼儿，由于成人和教学的影响，答对的可达75%，其余的幼儿能答对一部分。但若给幼儿10以内的一个抽象数，要求说出它的组成，六岁以下的幼儿大都要依靠扳手指才能答对一部分，六岁多的幼儿能答对也只有1/3，另有一些能答对一部分，其中有些仍需要扳手指。这些情况表明，由于幼儿的抽象思维水平较低，分析、综合的能力也较差，要完全理解和掌握10以内数的组成还有一些困难。
四 数的守恒
数的守恒指的是一组物体的数目不因其排列方式的改变而改变。瑞士心理学家皮亚杰认为，数量的守恒本身并不是数的概念，而是一个逻辑的概念，但是儿童必须掌握了数量的守恒原理，才能发展数的概念。因此理解和掌握数的守恒是发展儿童数概念的必不可少的一个组成部分。
幼儿开始理解数的守恒也比较晚。据皮亚杰研究，若把一行木片排得密一些或稀一些，幼儿一般要到六岁半到七岁才知道总数不变。对我国幼儿的测试，结果相似。六岁以下的幼儿绝大多数不理解数的守恒。例如，把数目相同的两组物体一一对应地排成两行，然后把第二行物体的间隔拉大，六岁以下绝大多数幼儿根据物体排列的长短来判定第二行的数目多，六岁多的幼儿能理解的有明显的增长，可达75%。把数目不同的两组物体一一对应地排成两行，然后把第二行物体（数目较少）的间隔拉大，使两行的两端分别对齐，测试结果与前面基本相同。虽然六岁多的幼儿能正确回答的增多了，但还有不少幼儿说不清理由。七岁以后，大多数儿童才既能正确回答又能说明理由，达到完全理解数的守恒。
五 对发展幼儿数概念的几点看法
从上面的研究可以看出，幼儿数概念的发展具有一定的顺序性和阶段性。两三岁幼儿大都处在数量感知阶段，对数仅有模糊观念，有些幼儿虽认识几个数，大多是靠直接感知的。四五岁幼儿大都进入数概念开始形成阶段，能点数数量不多的物体，并说出计数的结果，初步掌握一些数的顺序和大小，初步理解数的基数和序数含义。六七岁幼儿大都进入数概念基本形成阶段，能较顺利地一个一个点数较多的物体，有些还能按群计数，开始理解数的组成和数的守恒。但另一方面，也要看到幼儿数概念的发展是不平衡的，个别差异很大。其原因是多方面的，同先天的遗传素质有关，但是环境和教育的影响更大。国内外有很多试验和调查可以说明这一点。当前我国城乡幼儿数概念的发展同解放初比较，已有了较大的提高，也说明我国社会主义制度和教育起了重要的作用。我国城乡幼儿数概念的发展还存在一些差别，随着农村生产的发展，物质、文化和教育条件的改善，城乡的差别逐步缩小，城乡幼儿数概念的发展的差别也正在逐渐缩小。
如果把上面的调查研究结果同一些外国的材料比较，可以看出，我国幼儿数概念的发展并不比外国的幼儿低。例如，日本的幼儿，三岁左右能正确地从1数到5；五岁时能口头数到30和40左右，而作为数概念能理解到10左右；六岁时能口头数到100左右，点实物能数到20左右。美国幼儿的认数能力比日本幼儿低一些。苏联的五岁多幼儿一般会10以内计数，有些能数到12—15。这可能与各国语言中数词的难易有关。
下面就如何根据幼儿的年龄特点，有计划有步骤地发展幼儿的数概念，简单地谈谈个人的几点看法。
（一）发展幼儿数概念，必须在保证完成幼儿教育的总目标、总任务的前提下来进行。有的家长或幼儿园教师希望孩子早日成才，往往不适当地提早或提高要求幼儿能数较多的数，成套地说数的组成，甚至计算一些进位加法和退位减法，结果使幼儿对数学产生了畏惧，妨碍了身心的发展。为此，确定幼儿的认数范围和要求，应注意是幼儿一般不需要费力就能达到的。如日本，在幼儿园大纲中明确规定，不应当让幼儿记过多的数词和数过多的数。
（二）教学的重点，不是教会幼儿数很多的数，而是通过不大的数目使幼儿初步理解数的意义，形成正确的数概念。例如，要能够一一对应地点数10以内（最多不超过20）的物体，知道数到最后一个数既可以表示所数物体的总数，也可以表示最后一个物体的排列次序，知道数的顺序和大小，结合直观初步知道数与数间的关系，认数字等。另外，要着重把教幼儿认数同发展幼儿的智力结合起来，通过认数活动发展幼儿的操作能力、观察力、注意力和思维能力。这样既可以给小学数学的学习做较好的准备，又避免同小学的过多重复。
（三）教学的顺序应注意与幼儿数概念发展的先后顺序大体相适应。例如，幼儿对数的守恒的理解比较晚，就不宜过早提出这方面的要求；对数的组成的教学也不宜过早，应重在理解。安排教学还要适当考虑如何便于幼儿掌握数概念。例如，家长教两三岁幼儿往往从口头数数开始，但是目前国外的早期数学教育趋向于从物体集合的分类、一一对应和给物体排序等实际操作开始，而不是先教幼儿顺口溜地数数，这是掌握数概念的重要基础。
（四）教学方法要适合幼儿的年龄特点。教学时要充分利用游戏和有趣的活动引导幼儿认数，使幼儿对认数发生兴趣，在有趣的活动中接受数学教育。教学时要按照实物操作→表象→抽象概念的顺序逐步使幼儿形成正确的数概念。还要根据各年龄幼儿的生理、心理发展水平恰当地提出要求。
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