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浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用
浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用
摘要：在现代的数学教育中，数学思想方法的教学已是数学教学的主要任务，中学数学教材中蕴涵着许多重要的数学思想方法，其中化归思想方法是最基本也是最重要的数学方法之一，化归思想是解决数学问题的指导思想和一种基本策略。所以化归思想的教学是数学教学的重要内容。那么什么是化归思想方法呢？运用化归思想方法要遵循那些问题？它的主要化归方法有哪些？以及其在中学数学中有那些运用呢？
关键词：化归思想方法 规范问题 基本原则 映射反演法 数形结合
Abstract :In the modern mathematics education, mathematics thinking method teaching already was the mathematics teaching primary mission, in the middle school mathematics teaching material is containing many important mathematics thinking method, in which reduction thinking method is most basic also is one of most important mathematics methods, the reduction thought was solves mathematics question guiding ideology and one kind of basic strategy.Therefore the reduction thought teaching is the mathematics teaching important content.Then what is the reduction thinking method? Must follow these questions using the reduction thinking method? Which does its main reduction method have? As well as it has these utilization in the middle school mathematics?
Key word :Reduction thinking method Standard question Basic principle Mapping method of inversion The number shape unifies
当今社会不断地在进步，社会的进步与发展是依赖科技的发达与经济的提高，而现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，这是指在科技与经济中需要某些具体的数学知识，但更依赖数学思想与数学方法的运用，所以在数学教学中，加强数学思想方法的教学已成为数学教学的重要内容。
近几年随着素质教育的不断深入，就开始认识到数学教育应从偏向重视知识教学向重视数学思想方法教学和能力培养转变。要实行数学教育的现代化，那就要进行数学的现代教学，把经过千百年锤炼的数学精华的教育建立的数学的思想教育基础之上，并使用现代数学方法和语言。加强数学教育是当今数学教育现代化的关键。
数学思想方法有很多，其中化归思想是最基本的数学思想，并且化归思想是数学思想的两大“主梁”之一 。要加强对化归思想的教学也是加强数学思想方法教学的重要内容。
笛卡儿认为，任何问题都可以化归为数学问题，这里的“化”就是“化归”，善于使用化归是数学思维方式中的一个重要特点，而化归方法是数学方法中常用的一种方法。
化归思想是非常重要的数学思想方法，是解决一些数学问题的重要方法，对于一些数学问题，我们不能直接对问题展开攻击，而是对问题进行变法、转化，直至把它化归一些已解决问题，或容易解决的问题。
匈牙利著名的数学家P•罗莎的名著《无穷的记忆》中曾用以下的比喻十分生动地说明了化归思想的实质。她写道：“假设在你面前煤气灶，水龙头，水壶和火柴，现在的任务是烧水，你应该怎样做？”正确的回答是“在水壶中放上水，再点燃煤气，再把水放到煤气灶上。”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶已有了水，这时你应该怎么做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，在把水放到煤气灶上。”但罗莎却认为这不是最好的回答，因为“只有物理学家才会这样做，而数学家会倒掉壶中的水，并且声称我已把后一问题化归到先前的问题了，而先前的问题我已回答。” 。“把水倒掉”——这是多么简洁的回答呀！比喻有点夸张，但它的确形象地说出了这种问题解决的方法就是化归方法。
所谓的“化归”，从字面上看可以理解为转化和归结的意思，数学方法论所论及“化归”方法，是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题解答的一种手段和方法 。
以上的解释我们可以初步理解为，化归方法就是要通过某种手段将一个问题转化到另一问题，但要使转化后问题更容易解决。下面就举一个例子来理解一下化归思想方法：
2 解不等式log
分析：当我初看此题时，我们不知道怎么着手解决，思考一下想这类不等式的问题，我们能不能转化为一般不等式的方法呢？通过分析将解这个不等式转化到解以下一般形式的不等式：
（1）
（2）
解（1），（2）可得不等式的解为（-1，0） （3，+ ）。
通过以上例1的解决，我们熟悉了一下化归方法，可以得出化归思想方法的一般思维过程如图1所示：
新问题 问题
解答 解答问题
这也是说理想的化归方法。是通过数学内部联系和矛盾运动，在推移转化中实现问题的转化，也就是把有待解决的问题转化为规范问题，从而使问题得到解决 。化归的方法有多种多样，但是它要将新的问题变得简单，熟悉，容易。这样才有利与新的问题更好得到地解决。盲目随心所欲的化归，可能使新的问题更复杂，更难以解决。化归的目的就是要实现问题的规范化。所以使用化归方法的时候也要遵循一定的原则，使问题规范化。下面就结合具体的例子来谈一下使用化归方法遵循的原则。
1．在解决数学问题时，经常会遇到一些我们无从下手的题目，我们可以通过化归将有待解决的问题转化到比较有利与我们运用的熟悉的知识和问题来解决。
例2．求函数 的值域？
分析：此题若按一般思维，根本无从下手，因为有两个根式，现在我们化简一下根式可得： y
看这个式子我们很熟悉的感到这是 0 P（x,0）x
两点间的距离公式，于是：
我们设P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因为三角形的两边之和大于第三边，则
即
。
所以函数y的值域为（5， ）。
2．用化归方法时尽量的把比较复杂的问题化归到简单及容易确定解题方向的问题，通过对简单问题的解答来实现对复杂的问题的解决。
例3，已知函数 ，求：函数 最大值及取得最大值的自变量x的集合？
分析：此题的三角函数是2次的形式，是一个复杂的三角函数的方程，将这些2次三角函数化简，即有：
在通过对 的确定即有：
当 时有：
取得最大值 。
3在我们解题时常常会遇到一些比较抽象的问题，那我们可以将这些问题化归更加具体直观，使其具体化。将抽象的问题化归得具体，常用数形结合的化归方法。例如：
例4．求函数 ，在[1，4]上的最值？
分析：此题在给的区间上的最值比较模糊，不能确定，那我们有数形化归的思想来确定一下在给定区间上的单调性。那么有：
如图，可知f(x)在区间[1，4]上单调递增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．数学在某种意义上也可以看做是一门艺术，也有数学美，我们用数学方法也讲究数学美，而和谐化是数学内在美的内容之一，所以有些问题我们通过化归使其更加和谐统一，配合恰当和匀称。
例5． 、 、 、 是互不相等的数，求证：
分析：通过观察，发现此题有一定的内在联系，即不等式的左边每个字母都用了3次，但是左右还是不配合不恰当，看不出什么有用的关系。于是我们变形一下不等式，即有：
令
即原不等式化为：
这是比较和谐匀称，于是我们即证
（ ） 16
有因为 、 、 、 是互不相等的数。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命题得证。
以上这些是使用化归思想方法所要遵循的几点原则。我们在中学数学教学中要遵循化归思想方法的基本原则有效的进行化归思想方法的教学。
在中学数学中，经常出现的化归方法有生熟转化，映射转化，数形转化，构造转化及特殊法化归。它的形式也是多中多样的主要有纵向化归，横向化归，同向化归及逆向化归。这些化归方法和形式，始终离不开化归思想的三要素，那就是化归的对象，化归的目标和化归的过程。（引用张雄）。化归的实质是不断的变更问题，有时变更问题的条件，有时是变更问题的结论，有时是将整个问题进行变更，变更为一个与原命题等价的问题。要正确的运用化归思想就要分清化归的对象，目标，来考虑化归过程中要使用的化归方法形式。下面就结合中学数学题目中用到化归思想来讨论一下中学数学中的化归方法及教学。
1．随着现代数学发展和新课程改革深入，化归思想方法做为一般方法原则在现代数学形式下主要表现为关系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，简称RMI法 。这一方法是有我国数学家徐利治教授提出来的。（问题） （问题 ） （结果 ） （结果）。在求复杂问题时可能要借助多步的RMI程序。在中学数学中适当的渗透RMI方法的思想，有助培养学生思维的灵活性，独创性和敏感性，提高学生的现代数学意识。
例6．过点P（2，2）并和椭圆 相切的直线方程？
分析：运用RMI法，对椭圆进行伸缩变换，将椭圆换成圆的问题。
令 ， ，则
P（2，2） 即：
即
即
另一切线不存在，即
因此要求的切线方程为 。
2．化归思想不只在函数中用的是反演映射法，在函数中常用的还有数形化归，以及函数的恒等变形化归。其中例1就是典型的数形结合的化归思想，下面在看一个函数的恒等变形化归的例子：
例7．若
分析：此题若以x值代入来求函数y的值太繁琐了，若利用恒等变形化归，即可化繁为简。
即
又因为
函数
=
所以要求的函数值y为5。
以上就是恒等变形的化归。通过对数行化归和恒等变形化归的教学，可以培养学生们的数学思维能力，使学生灵活的运用有关知识更好的将数与形地结合，也让他们感觉到数学的内在联系及数学内在美，也使学生更加熟练的运用相关的定理推论。
3．在中学里学过平面几何和立体几何，我们经常将平面几何学习问题化归到平行线与相交线的讨论，将立体几何的空间形式转化到平面形式，通过对这些几何问题的化归思想方法的学习与运用，可以培养学生的分剖化归能力，更好地提高学生想象能力及空间思维能力。常用方法如下：
例8．如果用铁丝为成底面为正方形面积为25平方厘米，高为2厘米的长方体，共需要多少铁丝？
分析：这是一个简单而且实际的立体几何的问题，发挥一下想象能力，会发现解这题的一些简单的方法。
方法一：经思考，可以将这个长方体归结为它是由上下两个正方形面加四个高组成的，于是就的到：
需要的长度= （cm）
方法二：我们可以将这个长方体展开为一个平面的形式，
把它化归到平面几何的问题，如图3 （图3）
其中虚线为公共的边不计算，那么计算下实线的长度为48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底边是BC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，求证：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，则取
CD中点F，CF= CD，在证CF=CE
结合图4，只需证
证明：取CD中点F，连结BF，则
BF=
且
又 ，得
因此
即命题得证。
4．化归思想了在以上的应用外，在中学的数列中也会常用到这种思想。例如数学归纳法也用到化归的思想，其中A 为真命题，假设A 为真，则原命题为真。其中证 为真时，就把它化归到命题A 中去。这样的证明就像罗沙说的烧开水这个形象的比喻那样，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已经假设成立，那命题就得证了。
例10．若数列{ }满足 ，证明： 是等差数列？
证明：由题意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
此时我们就发现 又一定的关系，那么可以用数学归纳法，设 为真，将 化归到用 表示，于是我们有：
令 ，
设 ，此时即证
（1），当n=1，2时成立
（2），假设n=k（k ）时也成立，即有： ，那么由③中 的关系，可以将证 的成立化归到 成立中去。
当n=k+1时
有
所以
=
此时，当n=k+1时，成立。
即 成立，所以 ，
因此 是等差数列。
通过对化归思想方法在中学数学应用的探讨，更明白地可以看出，化归思想方法是一种间接解决问题的方法，化归的实质是通过仔细的观察分析，将比较难于解决的问题遵循简单化、熟悉化、具体化和谐化的原则通过变形、分割、映射将其进行转化，归结到一类已解决或容易解决的问题中去。
化归思想方法在中学数学中应用的例子举不胜数，随处可见，关键是老师在其中充当引导的角色，要知道“授之以鱼，不如授之渔”，要教会学生做一题很容易，但更重要的是要教会他们运用科学的思维方式和思考方法，通过对化归思想的学习和运用，可以让学生理解基本概念，提高运算能力和解题能力，也可以培养学生想象能力，可以提高学生的现代数学意识。
转化问题是解决问题的关键，转化思想就是化归的思想，从宏观上看，化归的思想是数学问题解决过程中形成数学构想的方法论依据；从微观上看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题，分析问题，直至化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题的过程。可见，化归方法在数学问题中具有十分重要的意义！
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