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数学教学论文："点”在临界点“拨”在关键处 口王东
数学教学论文："点”在临界点“拨”在关键处
口王东
（江阴市华士实验中学，江苏江阴214421）
数学家乔治·波利亚在《怎样解题》中提出：中学数学教育的根本宗旨是“教会学生思考”，“教师对学生的帮助要不多不少”，应当“不显眼地帮助学生”，“应该顺其自然”．学生在解题过程中，常常会出现这样的情况，由于思维受阻，一时难以下手，这时需要教师用简练、精辟的语言启迪学生的思维，促使学生产生“顿悟”，此即谓之“点拨”．点拨是让学生走出解题迷宫的有效方法，点拨是否恰当到位．能反映出一个教师的教学是否已走向成熟，教学是否具有艺术性．
新《课标》指出：教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件，其主旨是强调了教师的作用和地位，即在学生迫切需要的时候给予指引、帮助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰当的点拨，精妙的点拨就是课堂教学中重要的一环，教师要努力做到“点”在思维的临界点，“拨”在问题的关键处．
一、突破思维的临界点，产生“茅塞顿开”之感
在一堂课的全程和一个教学环节中，从学生思维走向的情况看，便是学生感知教材或具体题目后，开始进入思维状态，此时经常会出现思维由活跃到受阻、停滞的过程，我们不妨把思维处于胶着状态时，称之为学生思维的临界点，此时教师应当把准临界点，适时点拨，让学生突破思维的临界状态，完成思维质的突破，带学生进入“柳岸花明又一村”的佳境，
例1有一张8cmx8cm的正方形的纸片，面积是64cm2.把这张纸片按图1左图所示剪开，把剪出的4个小块按图1右图所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2.这可能吗？
课堂上，摆出这个问题后，我们应该给予学生充分的时间和空间来思考解决问题，学生思考过程中，都带着怀疑的眼光看着图1右图，他们不会相信图l右图中纸片的面积是65cm2，但又无法说明自己观察的结果是错误的．“僵局”在此出现，就在类似这样的节骨眼上，也就是在学生思维的迷茫之际，即为思维的临界点，笔者教学中根据课堂教学的推进，在三处进行了突破点拨．笔者点拨1，大家可以实际操作一下，大部分学生若有所悟，开始动手．操作中学生发现图1右图中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积，此时学生产生“茅塞顿开”之感．笔者点拨2，大家可以测量图形左上角或者右下角，学生操作发现确实不是直角．笔者点拨3，告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程．接下来的过程可以由学生自主探索，最后交流得出三角形不相似，并可以在证明过程中加深对相似图形的理解．
学生的思维都会自然出现一个由活跃到受阻、停滞的过程，即出现临界点，三次点拨，点在了学生思维的断裂之处，这样才能有利于学生思维的开通、开窍，促进思维的延伸，完成思维上的质的突破，叶圣陶先生说：“教师之教，不在于全盘讲授，而在于相机诱导，（www.fwsir.com）”所谓“相机诱导”，也就是适时点拨，使学生的思维在临界点发生质的飞跃，取得良好的教学效应，
二、建构知识的生长点，产生“思路接通”效应
我们常常埋怨学生经启发后仍然无动于衷，其实是在我们的教学过程中，学生的思维尚未进入“愤”、“悱”状态，教师启发的“机”与“时”把握得不准而造成的．只有创设一定的思维情境，引领学生的思维进入状态，点拨方能奏效．拨要拨在关键处，如果拨的时机过早，学生缺乏一定的思维主动，不能建构新旧知识的生长和联系，达不到思路的接通效应，思维过程则是由老师直接强加给他，我们称之为“被思维”或者“伪思维”．如果学生经过自己的思考，完成了思维的全过程，得到了正确的结论，那么，教师就不必讲授，这就节约了时间，提高了教学效率．
例2如图2，在△ABC中，点D是AC上的一个动点，过点0作直线mn／／BC，设MN交LBCA的平分线于点E，交LBCA的外角平分线于点F(1)请猜测OE与OF之间的关系，并说明你的理由；(2)点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程．
我们可以对比以下的两种点拨过程：
1．某老师忽视给学生留思维时间，读完题后就向学生提问：(i)由CE，CF分别为△ABC的内外角平分线，我们可以得到什么？学生回答两组角相等；由MN∥BC，我们可以得到什么？学生说角相等；有这么多角相等，我们可以得到哪些角也是相等的呢？学生这样解决了问题(1).老师说四边形AECF中，已经有哪些条件了？学生说OE=OF=OC，显然条件在对角线上，那么请同学们想想，对角线满足什么特征的四边形是矩形呢，学生回答出也就解决问题(2)了．
2．另一位老师让学生读完题后，先自主探索．当学生思考一段时间感觉有困难时，教师请学生先看图3，已知OC平分LAOB，CD∥OB，观察△OCD是什么三角形．学生可以顺利得出结论，并能从中归纳出角平分线、平行线都可以得角相等，由角相等可以转化成边相等，进而可以解决第一个问题了，学生归纳出后，还可以继续点拨，在平行线的条件下，通过增加角平分线可以构建一个等腰三角形，延伸可得，这三个条件组合，有其中任意两个作为题设，第三个就可以作为结论，这样问题(1)解决了，问题(2)可由学生自主解决．
分析这两种点拨，我们不难发现第一位老师总是一点一滴地“点拨”学生．看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？这种“引君入瓮”般点拨使学生得到问题的解答，整个环节似乎非常流畅，但这并不能真正培养学生的思维，这样的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，因而不能在新旧知识上建构知识生长点，学生缺失建立思路的可能性，更谈不上接通思路了，显然，这样的教学是不利于学生的终身发展的，
而第二位老师的点拨过程，在学生在思维的临界点处点拨，学生已经可以把单独的思路如角平分线性质，平行线的性质建构起来，教师的点拨起到了接通学生思路的效果，即把角平分线的性质和平行线的性质联系起来，让学生在知识上生长了新的知识，形成经验，促使学生主动思维，提升思维的能动性．
三、激活思维的兴奋点，产生“得寸进尺”欲望
在点拨艺术上，抓住时机是最为重要的．教学过程是师生相互交流的过程，学生苦思冥想，解决不了问题时，我们的点拨就会像及时雨那样浇灌学生的心灵，激活学生思维的兴奋点，让学生产生“得寸进尺”的欲望．当然如果我们一味地调动学生的胃口，不能及时点拨，也会给学生造成心理的障碍，使学生害怕解决数学问题，导致失去兴趣．
例3如图4，有一块塑料矩形模板ABCD，长为lOcm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A，D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.(2)再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE-2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由，
首先让学生独立思考问题，当学生达到“愤”与“悱”的状态时，我们可以进行点拨。
问题(1)这问较为简单，大部分学生能独立完成，笔者引导学生画出如图5的简单图形，
由LA=LD=LBPC=900，可得△ABP一△DPC，从而解决问题．
问题(2)由学生画出如图5的图形，进行思考探究．教师巡视可以发现，大多数学生不易解决．这时教师就会点拨，大家可以从图形中，寻找相似的三角形，如△QCE△QDP´-△PAB，然后可以通过方程思想来解决，此时学生可以开始进行深度探究了，个别环节可以师生共同完成．这个环节结束后，或许还有老师会点拨学生借助相似并结合直角三角形勾股定理来解决，但由于这个方法非常麻烦，不宜让学生将这种方法深入下去，否则就会失去时机．那么我们应该怎么办呢，由于刚才的第一种方案就已经把问题的解决方法变得麻烦了，所以此时教师应该抓住时机，点拨学生，能否从第一问中达到启发，利用化归的数学思想方法来解决这个问题，
点拨过程：在问题(1)的解决中，我们利用了AABP△DPC，现在直角三角形的另一边没有经过C点，而是经过了BC边上的E点，这样我们可以把此时的△PFE看成△DPC(如图6)，即将CD平移至EF的位置，接下来由学生完成思路的延续和问题的解决，
两种思路的对比我们会发现后，学生发现原来如此，此时学生心情非常愉悦，思维也达到了兴奋的状态．这时教师继续点拨此类问题在解决的过程中，图形发生了变化，然而解决问题时如果能利用化归思想，转化的方法，往往可以更好更快捷简便地解决类似的问题，学生此处的收获就会很大，效率更高，超越了一个题目自身的解决价值，发挥了题目的最大价值，让学生有“得寸进尺”的解题欲望，而非惧怕数学的心理．
随着新课程改革的深入，课堂教学中师生的地位转变越来越受到重视．课堂上以生为本，提高课堂教学效率成为了主旋律．充分考虑学生主体地位，在学生最为需要时给予思路的指引，方法的引导，是提高教学有效性的重要环节．在解题教学过程中，教师既要有充分的准备，也要能把握好临场的教学时机；教师既要能身心俱人其境，也要能保持清晰的思维，要敏锐地捕捉到学生思维的信息并进行迅速、深入地加工、重组、提炼，面对学生思维活动中的停滞、定势、中断、旁逸等问题，教师总能迅速判断，即时点拨，“塞者凿之，陡者级之，断者架木通之，悬者置梯接之”，以促使学生思维品质得到不断提升．
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