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负数的本质与有理数乘法法则——从数学的角度解析“负负得正”

时间：2023-02-19 22:36:07 数学论文我要投稿

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负数的本质与有理数乘法法则——从数学的角度解析“负负得正”
　　
　　曾小平　石冶郝
　　
　　(首都师范大学初等教育学院，北京100048)
　　
　　一、有理数乘法法则需要数学证明
　　
　　有理数乘法法则是初中数学的重要内容，“负负得正”是其中的难点，研究表明，虽然学生都能准确记忆有理数乘法法则，并能依据法则进行计算，然而绝大多数学生都不能举出实例来验证法则，更没有学生能够解释法则背后的数学道理，这也就是说，学生仅仅掌握了有理数乘法的算法，且只能遵循算法进行机械计算，并没有真正理解其中的算理，
　　
　　导致这种现状的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理数乘法的算理是什么，即法则怎么来的，笔者带着这一问题查阅了现行各版本的初中数学教材，发现各版本教材只给出了有理数的乘法法则，而没有给出其中的理由．但教材为了让学生发现有理数乘法法则，创设了一个生活化的数学情境，作为脚手架来帮助学生学习法则，
　　
　　比如，人教版教材创设的是“蜗牛爬行”的情境，一只蜗牛沿着直线Z爬行，它现在的位置恰好在f上的点O．让学生根据生活经验推断：如果蜗牛一直以每分钟2厘米的速度向右／左爬行，3分钟后／前它在什么位置，在此情境中，“被乘数”、“乘数”和“积”涉及3个物理量（速度、时间和位移），每个量有3个基准（基准点O、约定正方向和负方向），三者关系比较复杂，弄得学生昏头转向，苏教版、浙教版教材也是采用类似的情境来引入有理数乘法的．由于这类情境中的关系极为复杂，学生并不感兴趣，更不可能从中归纳概括出有理数乘法法则．
　　
　　再如，北师大版教材采用了归纳模型，即让学生在计算（-3）×3=-9、（-3）×2=-6、（-3）×1=-3、（-3）x0=0的基础上，让学生猜想（-3）×（-1）=?、（-3）×（-2）=?、（-3）×（-3）=?等算式的结果，进而归纳出有理数乘法法则．而华东师大版教材采用的是相反数模型，即从算式3x2=6和（-3）x2=-6出发，得到结论“两个数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数”，并用此结论计算3×（-2）=?和(-3)×（-2）=?，进而概括出有理数乘法法则．然而，学生很难接受这两种模型，因为“两个因数变小了，而乘积却变大了”，这与学生已有经验相矛盾。
　　
　　其实，有理数乘法法则并非人为规定，也不是根据生活实例和计算结果归纳出来的，而是由正负数的数学本质和运算的定义决定的．也就是说，有理数乘法法则是依赖于数学的特征和数学和谐运转的需要，它的正确性可以用数学逻辑来证明．遗憾的是，现有证明都用到抽象代数中集、群、环的相关理论，非专业人士很难理解，不可能用于初中数学教学。
　　
　　然而，只要我们从负数的数学本质人手，根据整数四则运算的常用结论，可以证明有理数乘法法则．该证明难度不大，比较轻松地突破了“负负得正”，初中学生容易理解．同时，从数学出发用推理的方式证明有理数乘法法则，可以弥补上述教材所采用的归纳方法的逻辑缺陷。
　　
　　二、负数的数学本质与有理数乘法法则
　　
　　在非负数范围内，加法可以畅通无阻地进行，即任何两个非负数相加，其结果是非负数，可是，在非负数范围内，减法却不能畅通无阻地进行，当减数大于被减数时差不是非负数．然而，减法和加法互为逆运算，应当具备同样的性质，其地位才是对等的，因此，要适当延伸非负数，即增加一些新的数，得到一个更广阔的范围，在这个范围内，减法可以畅通无阻地进行，而原来能在非负数范围内进行的四则运算仍然保持原来的结果和运算律（加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律）。
　　
　　1．负数的数学本质
　　
　　负数最早出现在中国古代数学名著《九章算术》的“方程术”中，在用加减消元法解多元一次方程组时，为了表示小数减大数的运算结果，便引入了负数．后来，魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中对负数的出现作了解释，“两算得失相反．要令正负以名之”，著名数学家柯朗在《什么是数学》中进一步解释道：“引进了符号-1，-2，-3，…以及对b<a的情况，定义b-a=-(a-b)．这保证了减法能在正整数和负整数范围内无限制的进行。”
　　
　　由此可见，负数的产生，是源于减法的需要，负数的本质是小数减去大数所得的差，即负数c=-(a-b)=b-a（此时b<a）．举个例子来说，在非负数范围内，我们没办法计算5-8，但可以尽量将它化简，即根据差不变的性质，得到5-8=0-3．把0-3看做一个新的数，简单记作-3.而原来在非负数范围内可以进行的减法还按原来的方法进行，比如8-5=3-0=0+3=3.更一般的，数学上规定形如3(=0+3)、5(=0+5)这样的数叫做正数，形如-3(=0—3)、-5(=0-5)这样的数叫做负数，把正数、零和负数统称为有理数。
　　
　　2．有理数乘法法则的推导
　　
　　在有理数范围内，借助负数的本质，可将有理数乘法转化为非负数乘法来讨论，而且该过程并不复杂（但要事先规定：零乘任何数都等于零）．为了论述方便，我们用a，6表示任意两个正有理数，而用-a，-b表示任意两个负有理数，对任意两个非零有理数相乘的四种情况分别介绍如下：
　　
　　(1)正数×正数，仍然按照非负数的方式进行，即axb=ab：
　　
　　(2)正数×负数，a×(-b=ax(O-b)=a×O-a×b=0-ab=-(ab-O)=-ab（其中第二个等号成立的依据是乘法分配律，第四个等号成立的依据是负数的定义）；
　　
　　(3)负数×正数，(-a)xb=(O-a)xb=Oxb-axb=0-ab=-(ab-O)=-ab；
　　
　　(4)负数×负数，（-a）×(-b)=(0-a×(-b)=0×(-b)-a×（-b）=O-a（-b）=-a（一6）=-（-ab）=-（O-ab）=ab-O=ab(其中，第五个等号成立的依据(2)中的结果，第六个和第七个等号成立的依据是负数的定义）．
　　
　　可见，“负负得正”并非想象的那么复杂，也并非不可证明．还可以验证，在有理数范围内，乘法交换律、结合律和分配律成立．此外，我们可以用类似方法证明有理数的加减法法则和除法法则，难度也不大，感兴趣的读者可自行证明．
　　
　　三、有理数乘法法则的教学
　　
　　笔者设想：只要学生能够理解负数的数学本质和运用负数的数学意义，并善于将与负数有关的问题转化为与正数有关的问题，那么学生就可能以推理的方式推导出有理数乘法法则，从数学逻辑上理解“负负得正”的含义．为了验证这一设想，笔者随机选择了初一年级一个班的学生，按照设想方式进行教学实验，一个月后检查发现这些学生大都能正确推导出有理数的乘法法则．现将教学过程简要介绍如下，仅供老师们教学时作参考．
　　
　　1．复习旧知．引入课题
　　
　　师：请问负数的本质是什么？
　　
　　生：负数是小数减大数的差，也就是说，当b<a时，定义-(a-b)=b-a，比如，-3=0-3=2—5=…
　　
　　师：进入初中后，我们学习了有理数的加减运算．请你想想，有理数的加减运算和小学中非负数的加减运算有何异同？
　　
　　生：相同点是，非负数里加减的结果仍然等于现在有理数里加减的结果，加法交换律和结合律都成立；不同点是，有理数里参与运算的数可正可负也可为零。
　　
　　生：从非负数到有理数，数的范围扩大了，参与运算的数更多了，但运算结果和运算律并没有改变，
　　
　　师：我们今天学习有理数的乘法，你觉得有理数的乘法应当满足哪些特征呢？
　　
　　生：最好也满足交换律、结合律和分配律．
　　
　　生：非负数中乘法的结果要等于有理数中乘法的结果．因为非负数是有理数的一部分，两个乘法的结果应当一样，否则，出现多个结果，就不知道谁对谁错，数学计算的结果应当是确定的！
　　
　　师：乘法从小学的非负数范围拓展到我们现在的有理数范围，(教学论文　www.fwsir.com)确实要考虑两点，即同原来的运算结果相等和满足原来的运算律，大家想一想，有理数的乘法到底有哪些情形呢？请举例说明。
　　
　　生：按正数、负数和零来划分，有理数的乘法有九种情形：零乘零，O×0；零乘正数，O×3；零乘负数，Ox（-3）；正数乘零，4x0；负数乘零，（-3）×0；正数乘正数，(+4)×(+3)；负数乘正数，(-4)×(+3)；正数乘负数，(+4)×（-3）；负数乘负数，(-4)×（-3）．
　　
　　2．巧妙转化，解决问题
　　
　　师：根据目前的知识，你能算出哪些结果？
　　
　　生：因为零表示没有，零与任何数相乘都应该等于零，这样就有：O×0=0，0×3=0，0×（-3）=0，4×0=0，（-3）×0=0.
　　
　　生：正数乘正数，这和小学一样，所以(+4)x(+3)=12。
　　
　　师：一般的，两个正数相乘(+a)×(+b)=ab．其余三个怎么办呢？怎么转化成已经学习过的问题来解决呢？
　　
　　生：我解决负数乘正数的问题，根据负数的定义(-4)=0-4，那么（-4）x(+3)=(0-4)x3=Ox3-4x3=0-12=-12．
　　
　　师：对于任意负数乘正数问题，比如（-a）×(+b)，你能解决吗？
　　
　　生：能，（具体过程略）
　　
　　生：我解决正数乘负数的问题。（过程略）
　　
　　师：对于任意负数乘正数问题，比如（+a）×(-b)，你能解决吗？
　　
　　生：能。（过程略）
　　
　　生：我解决负数乘负数问题，(-4)×（一3）=(0-4)×（-3）=0×(-3)一4×（-3）=-（-12）=-(0-12)，根据负数的定义，等于12-0=12。
　　
　　师：对于任意负数乘负数问题，比如（-a）×（-b），你能解决吗？
　　
　　生：能。（过程略）
　　
　　师：可见，两个负数相乘，结果是正数，这就是所谓的“负负得正”。
　　
　　3．总结归纳，形成法则
　　
　　师：下面，我们把两个非零有理数相乘的结论总结一下。
　　
　　生：同号的两个数相乘，结果等于它们的绝对值相乘；异号的两个数相乘，结果等于它们绝对值乘积的相反数。
　　
　　生：两个数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
　　
　　评析：通过负数的数学本质，巧妙的将有理数的乘法问题转化成非负数的问题来解决．沟通了前后知识的联系；同时，从特定算式到一般情况的推理，让学生明白了，判断数学结论正确性的依据是推理论证，而不仅仅是观察归纳。
　　
　　四、关注数学知识的本质理解
　　
　　重视数学的生活化，将数学同实际生活联系起来进行教学，让学生体会到数学的有趣有用，是值得提倡的．然而，过度追求数学的生活化，可能会造成数学与生活生搬硬套的联系，导致牵强附会的理解．况且数学在现实生活中的应用仅仅是数学极小的一个部分，数学更多的思想精华体现在数学进行抽象、概括、推理的过程中．如果仅仅以直观的实例和虚构的模型来代替数学推理与论证，其结果只能是牺牲数学的科学性，让学生不能真正理解数学核心内容和主要意义。
　　
　　因此，学习数学，更重要的是学习数学的内在实质，即学习数学化的思考与推理，学习数学提出问题、分析问题、解决问题的方法，为此，教师要精通数学学科的知识内容、把握数学的本质与特征、领悟数学思想方法的精髓、理解数学教学的价值，将它们渗透到数学教学当中，也就是说，数学教学，要展示数学核心概念的发生发展过程和基本结论的发现、证明和运用过程，展示数学提出和解决问题的思维过程，这样，学生才能以“再创造”的方式获得数学的基础知识，领悟数学的思想方法和分析与解决问题的策略，进而发展思维、提高能力。
　　
　　参考文献：
　　
　　[1]曾小平，涂荣豹．基于数学规定的“有理数乘法”教学[J].中学数学教学参考（初中版），2009(1-2)，48-51.
　　
　　[2]巩子坤，“负负得正”教学的有效模型[J].教学月刊·中学版（教学参考），2010(1)，6-11.
　　
　　[3]陈绮云，何小亚．摆脱法则的枷锁[J].数学教学通讯（教师版），2010(10)，24-25.
　　
　　[4]周超．三谈“负负得正”[J].中学数学教学参考（初中版），2008(11)，56-58.
　　
　　[5]杜瑞芝，刘琳．中国、印度和阿拉伯国家使用负数的历史的比较[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2004(3)，274-278.
　　
　　[6]R．柯朗，H．罗宾．什么是数学[M].左平，张饴慈，译．上海：复旦大学出版社，2005:67.

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