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数学教学论文：基于策略：解决实际问题的教学诉求
数学教学论文：基于策略：解决实际问题的教学诉求——两步计算实际问题的教学思考
江苏省邳州市教育局教研室聂艳军
[摘要]新教材对于解决实际问题内容采用“以具体思维方法统整教学内容”的编排思路，其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。两步计算实际问题在解决实际问题教学中，占有十分重要的地位，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。教学中，可以采用如下策略：“表征问题”，把潜在的经验曝露出来；陈述思维，体会思考的起点与方向；比较反思，从解题经验中提取可操作的成分；有效练习，在应用中深化体验。
[关键词]解决实际问题解题策略教学价值
新教材对于解决实际问题内容，变以往分类编排为按学生能力发展水平、由易到难编排，采用“以具体思维方法统整教学内容”的教学思路，即通过典型例题引路，在练习中把例题所提供的思维方法作为基本的思考模型，带动一大片题材宽广、数量关系丰富的内容学习。引领学生从过去过分关注问题的“表层结构”（问题所包含的事实性内容及其表述形式）转向现在更加关注它们的“深层结构”（问题内在的数学结构），其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。
两步计算实际问题与复杂实际问题的解题思路实质是相通的，只是计算的步数多少而已，抓好两步计算实际问题的教学对于学生的后续学习具有深远意义。两步计算实际问题的特征是：条件与问题之间存在着形式上的“分离”，即现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍。学生在从当前的问题状态到达需要的目标状态的过程中，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析。完成这种思维进程，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。
下面结合苏教版课程标准实验教科书二下第82页的教学内容谈谈两步计算实际问题的教学思考。
一、“表征问题”，把潜在的经验曝露出来。
“表征问题”，就是让待解决的问题进入解题人的头脑，形成问题表象，也就是通常所说的理解题意。实际问题解答的成功与否，首先依赖于学生对实际问题内容的明确程度。新教材解决实际问题大多采用场景图的形式呈现问题情境。问题情境给学生创造一个模拟的“生活空间”，容易使学生体会到要解决的问题出自自己熟悉的生活原型，有身临其境之感。但是，解决问题所需要的数学信息是以对话、图画、表格、文字等多种形式镶嵌其间的，并呈现一定的无序性、隐蔽性，(教学论文 www.fwsir.com)很难形成对问题的完整印象。由此，指导学生从纷乱的现实情境中收集、整理数学信息，并按事情发生、发展的线索把问题说清楚、说完整、说准确，是首当其冲的。
[教学现场]
动画呈现例1场景图。大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”
师：图中讲了什么事？你能了解到哪些信息？
生1：大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”
生2：大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。
师：根据这些信息，能提一个数学问题吗？
生3：大猴和小猴一共采了多少个桃？
生4：大猴比小猴多采多少个？
师：我们先来研究第一个问题。谁能把条件和问题完整地说一说？
生5：大猴采了3筐桃，每筐12个，小猴采了6个桃。大猴和小猴一共采了多少个桃？
[教学分析]
经历将实际问题转化为数学问题的过程，是形成问题表象的通道。教师分三个层次引导学生经历这种转化的过程：首先，通过“图中讲了什么事？你能了解到哪些信息”，给学生留出充分的时间进入情境，引导学生仔细地看、充分地讲，把实际情境里的数学信息用自己的语言大胆地说出来。接着，要求学生根据信息提问题。收集、整理信息不是罗列条件，还要发现条件之间的联系，从中生成出新的、有用的信息（数学问题），由此唤醒学生的生活积淀和已有的原始经验，并孕育“由条件想问题”的综合思路。最后，通过完整地说一说条件和问题，把情境图表现的实际问题加工成语言讲述的数学问题，形成问题表象。学生经历将实际问题抽象成数学问题的过程，主要信息通过感知，不仅理解题意，形成完整的问题结构，而且把隐含在个体经验里的解题策略进行激活。这样，学生就容易形成对解决问题跃跃欲试的参与状态。
二、陈述思维，体会思考的起点与方向。
分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系，形成解决问题的思路，是解决实际问题的核心。过去的教材教学两步计算的应用题时，在例题下面都有“想：根据和，先求”或“想：要求，需要知道和”。这样安排，漠视学生的主动性与能动性，容易形成限制学生的思维方式。新教材不再呈现思路提示，也并不等于学生可以“随意发挥”，教师无可作为。二年级学生虽然凭经验知道题目怎样算，但很难把自己的思维过程表达得清楚、完整。在初学两步计算的实际问题阶段，教师通过引导，使学生把自己的思维过程表述清楚、完整、有条理，还是需要的。这不仅有利于制定解题计划，更能加深学生对思维方法可操作成分的体验，为掌握基本策略提供物质基础。
[教学现场]
师：怎样才能求出大猴和小猴一共采了多少个桃呢？请小朋友先独立思考，然后在小组里说说自己的想法。
学生汇报讨论结果。
生：先用12×3=36（个），再用36+6=42（个）。
师：能具体地说你是先算什么，再算什么吗？
生：先求出大猴采了多少个桃，再把大猴采的个数和小猴采的个数加起来。
师：为什么先算大猴采了多少个桃呢？
生：因为小猴采桃的个数已经告诉，大猴采多少个桃没有直接告诉。
师：从题目中哪些条件能算出大猴采的个数？
生：根据大猴采了3筐桃，每筐12个，可以先算出大猴采的个数。
师：谁能更完整地说说思考的过程？
生：因为大猴采多少个桃没有直接告诉，所以要先算所以先算大猴采了多少个桃，再把大猴采桃的个数和小猴采桃的个数相加。
生：先根据大猴采了3筐，每筐12个，求出大猴一共采了多少个桃，再和小猴采的6个加起来。
师小结：根据大猴采了3筐，每筐12个这两个条件，能算出大猴采了多少个桃，再用大猴采的个数加上小猴采的个数。
学生在作业本上独立列式解答，然后汇报，教师板书课题。
接下来，研究第二个问题。略。
[教学分析]
简单的乘加、乘减问题，从条件想比较顺畅，学生经常边读题边联系原始经验进行思考。张老师根据学生的学习心理，把思维的重点放在“综合思路”上，符合教材的编写意图。怎样使学生结合解题活动对这种思维方法能有良好的体验呢？“组织交流”是必不可少的环节。在很多教案里，教师也安排了交流，但对交流的内容、交流的重点、交流应达到的目的以及如何引导，没有细致的思考与准备，这样的交流难能让学生形成深刻的体验。在上面的教学中，教师首先鼓励学生独立思考，并在小组里说说自己的想法，这一方面是对学生已有的经验的尊重，另一方面也使得后面的交流活动“有话可说”。在第一个学生发言之后，教师通过“能具体地说说你是先算什么，再算什么的吗？”“为什么先算大猴采了多少个桃呢？”“从题目中哪些条件能算出大猴采的个数？”引导学生的交流逐步从零碎走向完整，从肤浅走向深刻。这样的交流，不仅孵化了解题思路，而且让学生体会到解决问题时思考的起点与方向。
三、比较反思，从解题经验中提取可操作的成分。
实话实说，现在的数学课堂很少再有教师示范解决实际问题的方法，代之而来的是让学生自主探索的解决问题的方法。然而，很多教师只关注学生的算法和结果是否正确，这种“只见树木”的教学行为，很难能让学生把例题学习的经验迁移到新的问题情境中去。由此形成的局面往往是，学生普遍感觉例题容易、练习较难。事实上，学生独立解决问题往往是在生活经验的支持下进行的。他们虽然对问题解决了，但对解决问题的过程与方法缺乏上升到数学层面反思、比较与提升，其认识表现出明显的情境性与局限性。因此，在学生积累一定的解题经验之后，教师应及时组织学生上升到数学的层面，重认自己的解题过程与方法，体会其中的思考，从解题经验中提取可操作的成分。
[教学现场]
师：请同学们仔细观察刚才的两道题，它们有什么相同的地方？
生1：条件相同，都是告诉大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。
生2：都要先算大猴采了多少个桃。
师：为什么都要先算大猴采了多少个桃呢？
生2：因为大猴采多少个桃不知道，不能直接相加、相减，所以要先算大猴采多少个桃。
生3：都是用两步计算。
师：有什么不同的地方？
生4：第二步不一样。一个用加法，一个用减法。
师：为什么呢？
生4：因为第一个问题是求两只猴一共采多少个，所以要把两只猴采的个数相加；第二个问题是求大猴比小猴多采多少个，所以要用大猴采的个数减去小猴采的个数。
师：以后解答问题时，要看清题目条件和问题，弄清先算什么，再算什么。
[教学分析]
回顾与反思是形成“策略”不可缺少的环节。有经验的教师在学生获得对问题的成功解决之后，会组织学生通过回顾与反思，及时把解决问题活动中所形成的潜在的、不规范的经验改造、提炼为有意识的、规范的形态。上面的教学为我们提供了这样一种示范：教师在学生自主探索例题与“试一试”之后，引导学生把解题的过程与方法作为研究对象，通过求同，提取思维方法中的可操作的成分；通过比异，加深对数量关系的进一步理解。学生在交流、比较、反思的过程中，逐渐把解题的感性认识提升成理性认识，并内化为可操作的经验系统。
四、有效练习，在应用中深化体验。
教育心理学家皮连生教授认为，认知策略的学习大致要经过三个阶段，第一个阶段是知道该策略是什么、有什么功用、包含哪些具体的操作步骤（陈述性知识阶段）。第二个阶段是结合该策略适用的情境，对如何运用这一策略进行练习，逐步达到能够熟练地执行策略的操作程序（程序性知识阶段）。第三个阶段是清晰地把握策略适用的条件，知道在什么时候、在什么地方使用这一策略，并主动运用和监控这一策略的使用（元认知阶段）。这三个阶段非一节课所能完成，而是一个连续渐进的过程。在学生初步体验综合思维方法的内涵后，教师应当及时提供题材丰富、数量关系多变的问题情境，让学生在应用方法解决问题的过程中，实现陈述性知识向程序性知识转化。[教学现场]
1.出示“想想做做”第1题。
师：这道题告诉哪些条件？要求的问题是什么？同位两人互相说一说，看谁说得有条理。
师：怎样算一共要多少元呢？先独立思考一下，再做在作业纸上。
学生汇报后，教师追问：15×2算的是什么？为什么先算它？
2.出示“想想做做”第2题。
师：怎样算还有多少棵没有浇？谁来说说自己的想法？
生1：我是这样想的，先根据“有4行树苗，每行14棵”算出一共有多少棵树苗，再从一共的棵数里减去已经浇的棵数。
师：说的太棒了！可以先根据男孩的话算出树苗一共的棵数，再算还没有浇的棵数。
生2：要求还有多少棵没有浇，就是从一共的棵数里减去已经浇的棵数，一共的棵数没有告诉，所以要先算树苗一共的棵数。
师：根据要求的问题去想条件，也是一种重要的思考方法。
学生独立完成。
3.师：老师给每人准备一张卡片(注：小兔拔萝卜情境图)，卡片上有许多条件，还有问题。你们可以根据条件找相应的问题，也可以根据问题找相应的条件。请小朋友四人一组，找条件与问题。
1白兔拔了10个；2灰兔拔了30个；3白兔拔了2篮，4灰兔拔了3篮，
每篮5个；每篮10个。
问题：两只兔一共拔了多少个？
白兔比灰兔少拔多少个？学生讨论后，汇报。
生1：我们组选①②和“白兔比灰兔少拔多少个？”用30-10=20（个）
生2：我们组选①④和“一共拔多少个？”
师：你们是怎样想的？
生2：根据灰兔拔了3篮，每篮10个，先算出灰兔拔了多少个，再用灰兔拔的个数加上白兔拔的个数。
生3：我们组选③④和“一共拔多少个？”
师：你们是怎样想的？
生2：白兔拔的个数没有告诉，灰兔拔的个数也没有告诉。我们可以先求白兔拔了多少个，再求灰兔拔了多少个，最后把白兔拔的个数和灰兔拔的个数加起来。
[教学分析]
整个练习过程，教师的教学视点并非聚焦在学生解题的正确与否，而是突显对基本策略的体验上。教师通过给学生提供应用策略的广阔背景，让策略与解决问题的实践相随相伴，加深对策略要领的体验，获得对策略情感个体感受。首先，选择与例题相似的“乘加”情境，让学生重温解决问题的过程；接着，设计“乘减”的变式情境，引导学生把例题中的思维方法向新的情境迁移；最后的选择搭配是一项富有挑战性的活动，情境给学生提供较宽的可供选择范围，学生带着前面学习所获得的成功体验，积极参与到自主探索、小组合作学习活动中，个体的数学经验、思维方法得以表征、凝固在活动结果上，学生不仅搭配出用一步、两步计算的实际问题，甚至还搭配出用三步计算的实际问题。而隐藏在学生创造性劳动成果背后的是分析条件之间的内在联系，综合思维方法得以充分历练。
综上，分析和综合是人们认识事物的基本思维过程，是解决问题的基本策略。具有并善于运用这些基本策略对分析问题和解决问题非常有益。让学生掌握分析、综合的思维方法，并内化成解决问题的策略，是一项阶段性工程，绝非一日之功，需要教师结合教学内容作出整体规划。
一是规划各阶段基本策略教学的重点。以苏教版教材为例，教材对两步计算的实际问题，分三段编排。第一阶段，二年级下册结合“两位数乘一位数”教学，安排简单的乘加、乘减问题；第二阶段，三年级上册结合“两位数加、减两位数口算”教学，安排“几倍求和（差）”、“比多（少）求和”的实际问题；第三阶段，结合“三位数乘（除以）一位数”教学，安排连乘（除）实际问题。结合学生的学习心理以及教学内容的实际，第一阶段以综合思维方法作为策略教学的重点；第二阶段以分析思维方法作为策略教学的重点；第三阶段重点是巩固分析、综合两种思维方法。“规划”确立了每一阶段教学的侧重点，使教学内容和目标更加明晰，但又要防止在教学中以一种思维方法限制、束缚学生的僵硬做法，要充分尊重学生的自主选择。上面的教学处理得很好：练习第2题，当生2出现“要求还有多少棵没有浇，就是从小树苗一共的棵数里减去已经浇的棵数，小树苗一共的棵数没有告诉，所以要先算小树苗一共的棵数。”教师及时指出：根据要求的问题去想条件，也是一种重要的思考方法。并且在随后的选择条件与问题搭配的练习中，教师将要求调整为“你们可以根据条件找相应的问题，也可以根据问题找相应的条件。”
二是规划基本策略教学的线索。基本策略的教学应当是有计划、有意识、循序渐进的过程。教学中，应做到：前有渗透——如结合一步计算实际问题教学，引导学生收集信息，提出问题，孕育分析、综合思路的萌芽；结合连续两问的实际问题教学，引导学生体会第一问对第二问的作用，积累原始经验等。中有突破——作为一种基本策略，分析和综合既具有共性的可操作成分，又具有个体的体验成分。这种思维方法的掌握蕴含在解决问题的过程中，落实在解决问题的步骤和方法上。因此，解决实际问题的教学，要引导学生经历解决问题的过程，并通过对解题过程与方法的再认与反思，形成对方法的本质特点、价值及使用要领的主观认识。后有迁移——主动、恰当地选择应用策略思考问题，是形成策略的重要标志。教师可以通过组织学生在复杂的情境中根据条件之间的关系提问题、“一步”与“多步”之间的扩缩练习、自主探索多步计算实际问题等活动，促使学生把已有的学习经验迁移到新的情境中，进一步丰富对基本策略的认识，并加以稳固下来。
<小学数学教师>2010.12
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