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加法结合律在有理数运算中的应用
加法结合律在有理数运算中的应用江苏 新沂 刘凯
摘要：教师结合一些相关案例，主要阐述了应用加法结合律使有理数运算简便的几种常用方法：凑整结合法、同号结合法、同分母结合法、同形结合法、同和结合法、拆项分解相消法。
关键词：凑整；同形；同和
学生在初一学了加法结合律：（a+b）+c=a+ （b+c），可使复杂的计算题变得简单易做。比如计算320+427+73，有三种方法：（1）（320+427）+73；（2）（320+73）+427；（3）320+（427+73）。我认为第三种方法最好，因为427 与73 相加可以凑成较整的数500，再计算500+320 就简单了。
经过多年教学经验的积累与不断的自我反思，我总结出以下几种结合的方法。
一、凑整结合法
有理数加减法中有能凑成较“整”的数，如-12+32=1，2+98=100，需要学生仔细审题，独具慧眼，看破玄机，把有特殊关系的数有机结合起来，使计算简便。
例1 计算：
-23-51/2+（-77）=[（-23）+（-77）]-51/2=-100-512=-1051/2。
另外，“互为相反数的两数的和是零”是最常用的结合法，如-6+6=0 等。
二、同号结合法
在有理数的加、减混合运算中经常用到的是同号结合法，即把正数与正数相加，负数与负数相加，然后再把所得的结果相加，学生很容易就能想到。
例2 计算：
（-40）-（+27）+19-24-（-32）=（[ -40）+（-27）+（-24）] +（19+32）=（-91）+51=-40。
不过，这道题还有更简便的结合方法：
解：原式=（-40）+（-27）+19+（-24）+32=（-40）+（[ -27）+（-24）] +（19+32）=（-40）+（-51）+51=（-40）+（[ -51）+51]=-40+0=-40。
但是，这样的结合方法很少有学生能想到，这就需要教师要培养学生的观察与判断能力。
三、同分母结合法
分数的加减是一个难点问题，包括同分母和异分母相加减。同分母分数相加减相对来说比较简单。因此，如果在计算时遇到有同分母分数相加减就可以把它们结合在一起，使运算简便。
例3 计算：
（1）2 7／18+31／4+1 1／18-23／4+5／6=（2 7／18+1 1／18）+（31／4-23／4）+5／6=3 8／18+1／2+5／6=3 8／18+ 91／8+ 5／18=4／79。
（2）1／4-（-2／3）+2／7+ 5／12+（- 3／14）=1／4+2／3+2／7+ 51／2（- 31／4）=（1／4+2／3+ 5／12）+（2／7- 3／14）。
（注：1／4、2／3、5／12结合在一起通分比较容易，2／7、3／14结合在一起通分比较容易）
此例分数之间的结合不明显，值得我们推敲一下。
四、同形结合法
在求几个分数和其他类数字和差时，把分数与其他同类型的数分别结合，使计算简便。
例4 计算：
-2.1+4／3+（-2）+2／3+0.5+（-5）=[（-2.1） +（-2）+0.5+（-5）] + （4／3+2／3）=-8.6+2=-6.6。
（注：分数结合在一起，整数与小数结合）
五、同和结合法
此法适用于拓展和找规律类问题。这类问题一般项数比较多，如果从左向右依次运算是非常麻烦的，这就需要我们把思维打开，充分发挥观察能力，并且能够进行尝试解析，总结出一些恰当的规律来，使运算简便。
例5 快速计算：
-1+3-5+7-…-17+19。
通过观察可以发现，此例中奇数项都是负数，偶数项则都是正数，并且发现：-1+3=2，-5+7=2，…，-17+19=2，也就是从第一项开始，每两项的和都等于2，一共有10 个2 相加。这样，我们就发现了此题的规律，可以快速并且准确地解决问题了。具体的过程如下所示：
解：原式=（-1+3）+（-5+7）+…+（-17+19）=2+2+…+2=2×5=10。
六、拆项分解相消法
这个方法适用与一些探究性比较强的问题，而且难度比较大，能掌握这种方法的学生不是很多。解决这类问题，需要我们具有“一分为二”的数学思想，比如12可以写成11×2，接着可以拆分成11-12，即1-12的形式；16可以写成12×3，可以拆分成12-13的形式……例6 计算：1/1×3+ 1/3×5+ 1/5×7+…+ 1/99×101。
本题与第一题形似，但又有细微的区别——本题中的分母是相邻两个奇数的乘积。这两题的解法相同，但存在细节上的差异：
解：原式=1/2×（1-1/3）+1/2×（1/3-1/5）+…+1/2×（ 1/99- 1/101）=1/2×[（1-1/3）+（1/3-1/5）+…+（ 1/99-1/101）]。
（注：以下解题过程同（1））
经过拆项分解，把互为相反数的两项结合起来达到消项的目的，使计算变得非常简单易做。
以上是我根据自己的教学实际情况总结出来的一些规律，我们在运用时，要根据具体问题，灵活地选择恰当的方法，才能达到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]翟运胜。《加法交换律和加法结合律》教学设计及意图[J].教学与管理，2009（12）。
[2]赵长巧“。 运算律（加法交换律和加法结合律）”教学设计[J]. 中学教学参考，2011（2）。
（新沂市合沟中学）
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