认识数学问题的本质探究简捷的方法

认识数学问题的本质探究简捷的方法

　　认识数学问题的本质探究简捷的方法

　　钱桂保

　　（江苏省南京市临江高级中学，江苏南京210000）

　　摘要：对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解，弄清数学概念、知识间的内在关联，是数学问题解决的必不可少的前提。解题的过程也是在探究命题人在题干中给出的函数模型产生的过程，通过这种探究体验到考题命制的源与流，感受到了数学的魅力。

　　关键词：数学问题；解题；探究方法

　　数学问题的解决需要综合运用数学基础知识，如运用数学中的基本概念、性质、公式、定理等，并进行合理的判断、推理、演算，因此，对数学中的基本概念、性质、公式、定理等的深入理解，弄清数学概念、知识间的内在关联，是数学问题解决的必不可少的前提。随着学习的深入，理解的深度加深，必然会对问题顺利、快速解决有积极的影响，理解越是深刻，产生的解法越简单。

　　例1.已知函数f（x）=x2+x+a，（a>0），若f（m）<0，试判断f（m+1）的符号？

　　解法一：∵f （m）<0，代入得：m2+m+a<0，即∴m2+m<-a，因为a>0，所以m2+m<0，解得-1<m<0。∴m+1>0而（f m+1）＝（m＋1）2+（m＋1）+a，其中的每一项均大于0，∴f（m+1）＞0，即f（m+1）的符号是正。

　　上述的解法实质是通过f（m+1）的表达式的符号判断的，但这种解法并不能刻画此题的背景和实质，那么这题的本质究竟是什么呢？我们来看解法二。

　　解法二：若设f（x）=x2+x+a≤0的解集为A，那么由f（m）<0知m∈A，而要判断f（m+1）的符号就相当于判断m+1是否是集合A中的元素。

 

　　既然认识到了本题的实质就是判断m+1与解集A的关系，那么有没有更加直观、更加简洁的解法呢？若能直接判断数m+1与解集A的归属关系，那无疑是最简单的方法了，正因如此让我们想到数形结合。

　　解法三：如下图所示，由于f（x）=x2+x图像与x轴交点之间的距离MO＝1，∵a>0∴f（x）=x2+x+a图像与x轴交点之间的距离AB＜1，由于f（m）<0知：m在区间（A，B）之间，但m+1必在B右边，因此：f（m+1）＞0，即f（m+1）的符号是正。

　　由上可以知道，抓好基本概念的理解，了解其内涵和外延，积极探索数学命题的本质，随着我们对命题的理解的深刻，必然就会产生更加简单的解法。

　　例2：在等差数列｛an｝中，若它的前m项的和Sm=Sn，（m≠n），试求Sm+n的值。

　　初看本题，涉及到等差数列概念，自然想到用基本量来解决，即：

　　解法一：∵｛an｝是等差数列，且首项为a1，不妨设其公差为d，

　　诚然，用基本量的方法解决等差或等比数列是一种通性通法，思路自然，结果正确，但计算较为烦琐。若要探讨它有没有更加简单的解法，这就需要我们对本题的本质更加深刻的理解。事实上，本题的本质并不是等差数列概念，而是对等差数列的若干项和的认识，若对等差数列的前n项和的认识深刻些，如解法二，显然过程自然简单些，计算量也小一些了。

　　解法二：设Sn＝An2+Bn，Sm=Am2+Bm，

　　∴Sn-Sm=（An2+Bn）-（Am2+Bm）=（n-m）[A（n+m）+B]=0

　　即A（n+m）+B=0

　　而Sm+n=（m+n）[A（n+m）+B]，∴Sm+n=0。

　　本题主要是针对等差数列前n项和Sn＝An2+Bn的结构特点进行计算，明显简单。若换一个角度来审视Sn＝An2+Bn这一表达式，就会产生出新的解法来，即：

 

　　解法三：若考察相对应的函数Sn=Ax2+Bx，

　　∵Sm＝Sn，它的对称轴是x= m+n/2，又∵函数Sn（x）的图像过坐标原点（0，0），∴它必过另一点（m+n，0），即Sm+n=0.

　　解法三实质上是采用数形结合思想方法进行探究的一种解法，过程明显简洁快捷。通过上述几种不同解法中，不难发现，随着对本题的本质Sn认识的深刻，由此产生的解法也更加简单些，可见，不同的思维层次，所产生的解题方法也不同，理解越深刻，解法也就越简单。

　　通过上面的论述，对我们的学习有所启示，有所触动，这就是我们要加强理解，不能停留在概念的表面，还要加强理解的深入，认识到概念的本质，既要纵向，还要横向，例如高中数学教材中P的不等式题，我们一起来横向理解这道题所蕴含的函数本质。

　　例3.已知a，b，m都是正数，且a<b，求证

　　这道题的生活背景大家都很清楚，即“杯子里装有b克糖水，其中含有a克糖的，若在糖水里再添加m克糖（假设全部融解），那么糖水将会变得更甜”这一变化的一种数学反映，本题的证明，既可用分析法，还可构造斜率加以证明，这里不再赘述。

　　下面我们讨论对此题所蕴含的函数本质的探讨。我们知道，不等式（或方程）与函数是密切相关，紧密联系的，用函数的观点解决不等式（或方程）是一种普遍的思维模式，如何揭示出此题所给的不等式与某个函数间的超级链接，是这一解法的关键。显然这个等

　　由此可见，这种用函数证明不等式的解法，需要对相应函数的深入认识。以后在解题过程中遇到类似的不等式证明问题，可以通过横向的对应函数加以深入研究，探究相应不等式的问题的有效解决。

　　由于变量的选取是自主的，因此相对应的函数的构造可能不止一种，其表达的形式也是多样的，但最终结果却是一致的，这在证法一、证法二中得到体现。事实上，解题的过程也是在探究命题人在题干中给出的函数模型产生的过程，通过这种探究体验到考题命制的源与流，感受到了数学的魅力！

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