基于表格法化简逻辑函数

基于表格法化简逻辑函数

在设计逻辑电路图时，由真值表直接得到的函数往往比较复杂。代数法和卡诺图法等方法对于变量数目较多的逻辑函数则效果不佳，本文介绍一种可以化简复杂逻辑函数的方法──表格法，该方法可以对变量数目较多的逻辑函数也可以进行化简。

2、原理

在介绍化减法之前，先说明三个概念：

蕴涵项──在函数的任何积之和式中，每个乘积项称为该函数的蕴涵项。对应于卡诺图中的任一标1单元(最小项)以及2^m个相邻单元所形成的圈都是函数的蕴涵项。

素项──若函数的一个蕴涵项不是该函数中其它蕴涵项的一个子集，则此蕴涵项称为素蕴涵项，简称素项。

实质素项──若函数的一个素项所包含的某一最小项，不包括在该函数的其它任何素项中则此素项称为实质素蕴涵项，简称实质素项。

列表化简法的基本原理是利用逻辑函数的最小项，通过对相邻最小项的合并，消去多余变量因子，获得逻辑函数的最简式的。列表化简法的思路是先找出给定函数F的全部素项，然后找出其中的实质素项；若实质素项不能覆盖F的所有最小项，则进一步找出所需素项，以构成F的最简素项集。

下面用列表化简法将下列函数化简为最简与或表达式。

F(A,B,C,D)＝Σ(0,3,4,5,6,7,8,10,11)

3、建立素项表

首先，找出给定函数的全部素项。

(1)先将每个最小项所对应的二进制数按其“1”的个数分组得表1；

表1 最小项

组号

项号

二进制数

0

0

0000

1

4

8

0100

1000

2

3

5

6

10

0011

0101

0110

1010

3

7

11

0111

1011

　

(2)将表1中的相邻两个组之间二进制数进行比较、合并得到一次化简结果，称为一次乘积项，其项号记为i(j－i)，其中i为最小项中的小项号，j为最小项中的大项号，得表2；

表2 一次乘积项

组号

项号

二进制数

0

a₀(4)

b₀(8)

0-00

-000

1

4(1)

4(2)

c₈(2)

010-

01-0

10-0

2

d₃(4)

e₃(8)

5(2)

6(1)

f₁₀(1)

0-11

-011

01-1

011-

101-

　

(3)再将表2中的相邻两组内的二进制数进行比较、合并、便得到第二次化简结果，称为二次乘积项，其项号记为i(n,m)，其中i为两个一次乘积项中的小项号，n为原最小项的项号差，m为一次乘积项的项号差，得表3；

表3 二次乘积项

组号

项号

二进制数

1

g₄(1,2)

4(2,1)

01--

01--

　

不能与其它一次乘积项合并的一次乘积项是素项，分别以a,b,c,d,e,f记之，不能合并的二次乘积项也是素项，以g记之。

4、实质素项

建立实质素项产生表，找出实质素项。

先用×标出每个素项覆盖最小项的情况，再找出实质最小项5、6，在×上标括号以示区别，可找出对应实质素项g，在其前标*，最后一行用“V”标出实质素项覆盖最小项的情况，可看出还有最小项0、3、8、10、11未被覆盖。如表4所示。

表4实质素项产生式

最小项

素项

0

3

4

5

6

7

8

10

11

a₀(4)

X

　

X

　 　 　 　 　 　

b₀(8)

X

　 　 　 　 　

X

　 　

c₈(2)

　 　 　 　 　 　

X

X

　

d₃(4)

　

X

　 　 　

X

　 　 　

e₃(8)

　

X

　 　 　 　 　 　

X

f₁₀(1)

　 　 　 　 　 　 　

X

X

*g₄(1,2)

　 　

X

X

X

X

　 　 　

覆盖情况

　 　

V

V

V

V

　 　 　

　

5、素项产生式

第三步：建立所需素项产生表，找出所需素项，所需素项集应覆盖所有未被实质素项覆盖的最小项，得表5。再用行列消去法来找，选优势行b₀(8)，e₃(8)，划去劣势行a₀(4)及d₃(4)得表6，再选最小项为0、3的劣势列，划去最小项为8，11的优势列，得表7。找出新的实质素项b，e，取该两项作为所需素项后，尚有最小项10未被覆盖，可选取c或f求得所需素项集为(b,e,c)或(b,e,f)，

表5

最小项

素项

0

3

8

10

11

a₀(4)

Ｘ

　 　 　 　

b₀(8)

Ｘ

　

Ｘ

　 　

c₈(2)

　 　

Ｘ

Ｘ

　

d₃(4)

　

Ｘ

　 　 　

e₃(8)

　

Ｘ

　 　

Ｘ

f₁₀(1)

　 　 　

Ｘ

Ｘ

　

表6

最小项

素项

0

3

8

10

11

b₀(8)

X

　

X

　 　

c₈(2)

　 　

X

X

　

e₃(8)

　

X

　 　

X

f₁₀(1)

　 　 　

X

X

　

表7

最小项

素项

0

3

10

**b₀(8)

(X)

　 　

c₈(2)

　 　

X

**e₃(8)

　

(X)

　

f₁₀(1)

　 　

X

得F＝g＋b＋c＋e＝AB＋BCD＋ABD＋BCD

或F＝g＋b＋e＋f＝AB＋BCD＋BCD＋ABC

6、结论

通过上面介绍可以看出，逻辑化简能否以最快的速度进行，从而得到最简的逻辑表达式，与化简者的经验和对公式、方法掌握与运用的熟练程度有密切关系；而列表化简法思路清晰、准确，有规律可循，可得到多种可能答案，但化简过程比较繁琐，适宜于用微机处理并实现。

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