与导数的函数题的统一解题技巧分析

与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

　　与导数有关的函数题的统一解题技巧分析
　　
　　与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F （x）和如何构造函数F （x）不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构造函数F （x），给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。
　　
　　一、与导数有关的函数题概述
　　
　　与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参（一元参数或二元参数）方程根的个数与范围，含参（一元参数或二元参数）不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参（一元参数或二元参数）不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参（一元参数或二元参数）方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以 f（x）≥g（x）的形式来说明。
　　
　　二、程序化构造函数F （x）的统一模式
　　
　　1.直接法：令F （x）= f（x）-g（x）。
　　
　　2.化积法：若 f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）≥0,令F （x）= k（x）。
　　
　　3.伸缩法：若 f（x）≥ f1（x），则令F （x）= f1（x）-g（x），其中，f1（x）通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。
　　
　　4.控元法：含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F （x）（F （x）不含参数）。
　　
　　5.分离变量法：若能分离出变量k≥k（x），则令F （x）=k（x）。
　　
　　三、程序化构造函数F （x）的统一模式在高考题中的运用
　　
　　例1 （2013年高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）。
　　
　　（Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m,并讨论 f（x）的单调性。
　　
　　（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.
　　
　　（Ⅰ）解：m=1. f（x）在（-1,0）上单调递减，在（0,+∞）上单调递增。（解答过程省略）
　　
　　（Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时，ln（x+2）≥ln（x+m）。记F （x）=ex-ln（x+2），则F ′（x）=ex- .
　　
　　∵F ′′（x）=ex+ >0,∴F ′（x）在（-2,+∞）上单调递增。
　　
　　∵F ′（0）=1- >0,F ′（-1）= -1<0,即 = ,x0=-ln（x0+2），∴F （x0）= -ln（x0+2）= +x0= >0.
　　
　　当x∈（-2,x0）时，F ′（x）<0,此时函数F （x）单调递减；当x∈（x0,+∞）时，F ′（x）>0,此时函数F （x）单调递增。
　　
　　∴ f（x）≥F （x）≥F min（x）=F （x0）>0.
　　
　　小结 本题是一道含参不等式的证明题，考生若不假思索地直接采用构造F （x）=左-右，则在求F ′（x）=0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。
　　
　　例2 （2012年高考山东理科卷第22题）已知函数f（x）= （k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y= f（x）在点（1,f（1））处的切线与x轴平行。
　　
　　（Ⅰ）求k的值。
　　
　　（Ⅱ）求 f（x）的单调区间。
　　
　　（Ⅲ）设g（x）=（x2+x） f ′（x），其中 f ′（x）为 f （x）的导函数。证明：对任意x>0,g（x）<1+e-2.
　　
　　（Ⅰ）解：k=1.（解答过程省略）
　　
　　（Ⅱ）解：函数 f（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减。（解答过程省略）
　　
　　（Ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）· =（1+x）· .
　　
　　欲证g（x）<1+e-2,即证1-x（ln x+1）< （1+e-2）。①
　　
　　令F 1（x）=1-x（ln x+1），则F （x）=-ln x-2.令F （x）=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈（0,+∞）。
　　
　　当x∈（0,e- 2）时，F （x）>0,此时F 1（x）单调递增；当x∈（e- 2,+∞）时，F （x）<0,此时F 1（x）单调递减。∴F 1max（x）=F1 （e- 2）=1+e- 2.
　　
　　令F 2（x）= .∵F （x）= = > 0,∴F 2（x）在（0,+∞）上单调递增。∴F 2（x）>F 2（0）=1.∴不等式①得证。∴ g（x）<1+e- 2（x>0）。
　　
　　小结 如何构造函数F（x），关键在于F ′（x）=0是否易求（或易估）。若直接求g（x），则g′（x）=0的求解将陷入泥潭。
　　
　　例3 （2012年高考辽宁理科卷第21题）设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a,b∈R,a,b为常数），曲线y= f（x）与直线y= x在（0,0）点相切。
　　
　　（Ⅰ）求a,b的值。
　　
　　（Ⅱ）证明：当0  （Ⅰ）解：a=0,b=-1.（解答过程省略）
　　
　　（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+ -1.
　　
　　∵ < （0  构造F （x）=ln（x+1）+ - ,则F ′（x）= + - = .
　　
　　当x∈（0,2）时，∵x2+15x-36<0,∴F ′（x）<0.∴F （x）单调递减。∴F （x）  ∴ln（x+1）+ < .∴ln（x+1）+ -1< ,即f（x）< .
　　
　　小结 本题若直接对f（x）求导，则会在计算f ′（x）=0时碰壁。原因在于对 求导时，既有根式又有分式，而ln（x+1）的导数仅有分式，使得在求f ′（x）=0时眼到手不到。
　　
　　（作者单位：厦门工商旅游学校；厦门英才学校）
　　
　　（责任编校/周峰）
　　
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　　《利用二次求导巧解高考函数压轴题》
　　
　　随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，现在已由前几年高考只在解决问题中起辅助作用，上升为分析与解决问题时不可缺少的工具。

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